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1、E-mail: 概率论与数理统计0目 录CH1 随机事件与概率CH2 随机变量及其概率分布CH3 二维随机变量及其概率分布CH4 随机变量的数字特征CH5 大数定律与中心极限定理CH6 抽样分布CH7 参数估计CH8 假设检验1CH1 随机事件与概率1.1 随机事件1.2 随机事件的概率1.3 概率的运算法则1.4 全概率公式与贝叶斯公式1.5 独立性 CH1 随机事件与概率21.1一一. 随机事件1.随机试验的样本空间2.随机事件（基本、复合、）3.事件的关系（7个关系,包含-并并-交交-互斥互斥-差差-对立-完备）4.事件的运算（4个定律:交换,结合,分配,对偶律对偶律）5. A+B的分解
2、的分解31.21.统计定义(频率的稳定性)2.公理化定义(3个公理:非负,规范,可列可加可列可加)3.古典定义(古典概型古典概型,计算公式计算公式,四个模型)二. 随机事件的概率4.排列组合排列组合41.3三三. 概率的计算概率的计算 1.古典古典概率2.加法加法公式：并3.减法减法公式：差4.乘法乘法公式：交5.全概率全概率公式：分解6.贝叶斯贝叶斯公式51.4四四. 概率模型概率模型1.古典概型： 摸球摸球、放球放球、随机取数、配对2. n重伯努利概型重伯努利概型：61.5五五. 概念概念六六. 注注1.条件概率条件概率2.独立性独立性3.4.2.有放回、无放回1.互斥与对立、独立7CH2
3、 随机变量及其分布2.1 随机变量的概念2.2 离散型随机变量2.3 连续型随机变量2.4 随机变量的分布函数2.5 正态分布2.6 随机变量函数的分布CH2 随机变量及其概率分布82.1一一.离散型离散型r.v.1.概率分布律概率分布律（2个性质）2.分布函数分布函数（4个性质）3.分布律与分布函数互求4.求概率求概率（2个工具：分布律、分布函数）5.常见分布5（0-1,二项二项,超几何, 泊松泊松,几何几何）最可能取值最可能取值，极限分布，泊松定理92.2二二.连续型连续型r.v.1.概率密度概率密度（2个性质）2.分布函数分布函数（4个性质,意义）3. 密度函数与分布函数互求密度函数与分
4、布函数互求4.求概率求概率（2个工具：密度、分布函数）5.常见分布4(均匀均匀,指数指数,柯西,正态及标准化正态及标准化)无记忆性X N ( , 2) 3公式公式,查表102.3三三.r.v.函数的分布函数的分布 Y = f ( X )1.离散型: 列举法2. 连续型：分布函数法分布函数法X N ( ,2) , Y = a X +b N ( a +b, a22 )结论结论11CH3 二维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布函数3.2 二维离散型随机变量3.3 二维连续型随机变量3.4 条件分布3.5 随机变量的独立性3.6 二维随机变量函数的分布CH3 二维随机变量及其概率分布123.
5、1一一. 二维离散型二维离散型r.v.1. 联合分布律联合分布律（2个性质）2.联合分布函数联合分布函数（5个性质）3.联合分布律与联合分布函数关系133.14. 边缘分布律与边缘分布函数5.求概率求概率（2个工具：分布律、分布函数）6.联合与边缘分布律表联合与边缘分布律表14表表1pip jp1p jp1piyjy1联合分布律及边缘分布律联合分布律及边缘分布律xix1XY 153.2二二. 二维连续型二维连续型r.v.1. 联合密度联合密度（2个性质）2. 联合分布函数联合分布函数（5个性质）3.联合密度与联合分布函数关系联合密度与联合分布函数关系4.边缘密度与边缘分布函数边缘密度与边缘分布
6、函数p(x,y)165.求概率求概率（2个工具：密度、分布函数）6.常见分布 (二维均匀二维均匀,二维正态分布 )( X ,Y ) N(1,12;2,22; )X，Y相互独立二维正态结论二维正态结论(1)(2)X ,Y 相互独立则(3)(3)173.3三三. 随机变量的独立性随机变量的独立性1.二维离散型:联合分布律=边缘分布律的乘积2.二维连续型:联合密度联合密度=边缘密度的乘积边缘密度的乘积3.二维随机变量二维随机变量: 联合分布联合分布=边缘分布的乘积边缘分布的乘积4.结论结论:X ,Y 相互独立,则 u ( X ) , v (Y ) 也相互独立.183.4四四. 二维随机变量函数的分布
7、二维随机变量函数的分布 Z = f ( X,Y )1.二维离散型：列举法,可加性可加性泊松泊松，二项2.二维连续型：分布函数法分布函数法19公式法公式法：Z=X+Y卷积公式卷积公式203.几个结论：二维正态，极值的分布若X ,Y 相互独立,则相互独立相互独立设设则(1)(1)(2)(2)21CH4 随机变量的数字特征4.1 数学期望4.2 期望的性质与随机变量函数 的期望4.3 方差4.4 协方差与相关系数CH4 随机变量的数字特征224.1一.期望：r.v.依概率取值的平均，均值E (X + Y ) = E X + E Y 1.意义意义2.定义定义3.性质性质4. r.v.函数的期望函数的期
8、望234.2二.方差D X = E ( X EX )2 描述 r.v. X 的取值偏离平均值的平均偏离程度2.定义定义4.性质性质3.常用公式常用公式1.意义意义:X,Y 独立时244.3三.协方差与相关系数：1.协方差2.相关系数相关系数X, Y 不相关不相关越大, X,Y线性相关程度越强 不相关与独立的关系不相关与独立的关系概率意义概率意义：254.4四四.方法：分解法方法：分解法求期望、方差相互独立26常见离散常见离散r.v.的期望与方差的期望与方差常见离散常见离散r.v.的期望与方差的期望与方差分布期望概率分布参数p的0-1分布pB(n,p)npP()G(p)方差pqnpq27常见连续
9、常见连续r.v.的期望与方差的期望与方差分布期望概率密度U(a,b)E()N(, 2)柯西分布 不存在方差不存在常见连续常见连续r.v.的期望与方差的期望与方差28CH5 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理CH5 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理5.1 切比雪夫不等式5.2 大数定律5.3 中心极限定理295.1或一一. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式(估计估计事件的概率概率)依概率收敛305.21.切比雪夫二二. .大数定律大数定律2.辛钦意义：以样本均值近似代替总体均值3.贝努利意义：频率依概率收敛于概率意义：频率依概率收敛于概率315.3三三.中心极限定理中心极限定理
10、1.X B( n , p)当n无穷大时 当n很大，p很小，np不大时2. 二项分布的近似32CH6 抽样分布6.1 总体和样本6.2 统计量6.3 抽样分布 CH6 抽样分布336.1一. 概念1.总体总体X2.样本样本独立同总体分布3.统计量统计量：不含未知参数的样本函数样本均值样本均值样本方差样本方差样本标准差样本的样本的k 阶原点矩阶原点矩样本的k 阶中心矩346.21.1. 正态分布正态分布二二. . 抽样分布抽样分布(1)(2)(2)35z /2 /2 z/2-z/2上侧 分位点双侧 分位点X N（ 0，1 ）(3)(3)分位数分位数362.2. 卡方分布卡方分布卡方卡方可加性可加性
11、相互独立(1)(1)定义定义(2)性质性质(3)统计量统计量2(n)(4)(4)上上分位数分位数(查附表3)373. 3. t t 分布分布t t(1)(1)定义定义(2)统计量统计量/2/2(3)(3) 双侧双侧 分位数分位数(查附表查附表4)X, Y 相互独立384. 4. F F 分布分布X,Y 相互独立F(1)定义定义(2)统计量统计量(3)(3)上上分位数分位数(查附表5)F(n1,n2)F1- (n1,n2)39CH7 参数估计7.1 点估计及其评选标准7.2 求点估计量的方法7.3 一个正态总体参数的区间估计 CH7 参数估计407.1(1) 无偏性无偏性(3) 一致性(2) 有
12、效性有效性一一. 评选标准评选标准不具有不变性不具有不变性算术均值比加权均值更有效具有不变性结论结论417.2二二. 求法求法1.矩法矩法：（总体矩存在）（总体矩存在）用样本矩替换总体矩用样本矩替换总体矩步骤步骤用用代替代替得得 42求极大似然估计的步骤求极大似然估计的步骤步骤步骤a.写总体分布c.求 L 的最大值点b.写似然函数列似然方程组否则，返回c 解得方法方法极大似然估计值一次试验就出现的事件有较大的概率一次试验就出现的事件有较大的概率 2.极大似然估计法极大似然估计法（总体分布类型已知）（总体分布类型已知）注：具有一致性,有效性,不变性437.3三.一个正态总体参数的区间估计1.置信区间置信区间2.一个正态总体 X N ( 2)的参数估计(1) 2已知已知, 的的1-1-置信区间置信区间(2) 2未知未知 , 的的1-置信区间置信区间 44(3) (3) 2 2 的的1-1-置信区间置信区间 的1-置信区间为 注：置信区间不唯一。若密度单峰不对称，取对称的分位点。如卡方、F 分布等若密度单峰对称，取对称的分位点，区间长度最短。如标准正态、t 分布等45
