第二节第二节 换元积分法换元积分法一、第一类换元法一、第一类换元法 通常一个函数的导数是容易求出的,但是要求一个函数的原函数是很困难的.直到现在只能求出绝少部分的原函数.为了求解原函数，现在介绍几种常用的积分方法. 第一换元积分法也称为凑元法 定理1 设u =φ(x)在区间[a, b]上可导, g(u)在[α.β]上有原函数G(u), 则不定积分存在, 且证明: 用复合函数的求导法则，验证 第一换元积分法(凑元法)的关键是把f(x)dx凑成g(φ(x))φ’(x)dx如何凑?这是一个技巧性很强的工作，要求我们熟练掌握基本积分公式在解题前需要一些三角函数的恒等变换,分子分母的有理化, 分子加减某项等方法.但不同的方法得到积分的结果往往不相同, 我们可通过求导可知道它们是否同一被积函数. “凑”的方法：通常把较复杂的函数看成g(φ(x)) 例1例2的积分，对于形如当m, n中有一个为奇数时，总可以用这个方法处理. 例3例4例5 (1)关于自变量是线性形式,例如(2)被积函数可写成常见的凑元法有以下几种情况:的形式，例如 (3)被积函数可写成 f (xn)xn-1 的形式,例如(4)被积函数可写成 g(xn) x2n-1 的形式,例如(5)被积函数可写成 f (sinx)cosx或 f (cosx)sinx的形式, 例如 (6)被积函数可写成(7)利用三角函数公式,常用的三角形式: ①倍角公式②积化和差公式的形式,例如 此外，常用的三角公式还有sec2x=1+tg2 x等例如 例6 例7例8 例9例10 例11例12例13 例14例15 例16 二、第二换元法二、第二换元法 定理 设x=ψ(t)是单调, 可导的函数, 并且ψ’ (t)≠0, 又设f (ψ(t))ψ’(t)具有原函数φ(t), 则有换元公式成立，其中是x =ψ(t)的反函数. 证明: 公式成立是有条件的. 1)等号右边的不定积分或原函数要存在, 且容易积分. 2)求出后要用反函数代回原变量.单调性是保证反函数的存在. 常用的变量代换有下列四种类型： 利用三角函数进行代换,可以使被积函数简单 当被积函数含有平方和或平方差的二次根式时,根据恰当的三角恒等式作三角代换. 例如对1 1、、 三角代换三角代换 例1 求解: 例2 求解: 例3 求 把x > a及 x < -a的结合起来, 我们得到 从上面的例子可看出:可作代换 x = a sin t化去根式;，如果被积函数含有，可作代换 x=a tan t化去根式;如果被积函数含有如果被积函数含有，可作代换x=±a sect化去根式;但具体解题时要分析被积函数的具体情况,选取尽可能简捷的代换.例如 当被积函数是三角有理式时,作“万能”代换,将被积函数有理化. 例4 求 还有一部分采用反三角函数代换，例如tx1 例5 求2 2、根式代换、根式代换目的是将无理数变成有理数,便于积分 例6 求3 3、倒数代换、倒数代换 ，应用双曲代换例7 求4 4、双曲代换、双曲代换当被积函数含有根号 时有类似的结果,综合得到 下面的积分在今后的计算中常会遇到,我们可把它们作为积分公式处理. 例8 求解:例9 求解: 例10 求解:利用上述结果进行二次根式的有理式积分 例11例12 例13 。