特征值特征向量的计算

定义定义 1 1 设A为n阶方阵，X是n维向量，如果 存在数，使方程AX=X有非零解，则称为矩阵A的特征值，相应的非零解称为A的属于的特征向量方程AX=XAX-X =O(A-E)X=O特征值特征值: :使n元齐次方程AX=X 有非零解的数0A的对应于0的特征向量特征向量：即不论取何值，方程AX=X一定有解§4·3 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量例如：对 ，取 =4，代入方程AX= X得 AX= 4X(A-4E)X=O(A-4E)X= O有非零解所以，=4是矩阵A的一个特征值对 ，取 ，得一个基础解系则方程(A-4E)X=O的全部解为：c为任意常数A的属于=4 的特征向量：c≠01、求、求n阶方阵阶方阵A的特征值：的特征值：数0是A的特征值0使方程AX= X有非零解因此 ：0是A的特征值l0使 成立求求A的特征值步骤：的特征值步骤： (1) 计算n阶行列式解得方程的根1，2，… ，n，则1， 2，… ，n即是A的特征值设则方程 即 是的n次方程 在复数域上，方程 一定有 n个根。

A的特征多项式方程A的特征方程定义定义 2 设A为n阶方阵， 为其特征值组，则其特征方程可表示为：则 称为 的代数重数(重数)，而 特征子空间的维数 称为几何重数(度数)显然：解：令 ， 得 1 =-1，2 =7则A的特征值为1 =-1，2 =7【例1】求 的特征值2、、求求A的属于特征值的属于特征值l l的特征向量的特征向量设i是A的特征值，则方程AX=i , X有非零解.即方程(A-iE)X=O有非零解，方程组(A-liE)X=O的全部非零解A的对应于特征值li的特征向量:2）求出(A-iE)X=O的一个基础解系 V1、V2、…、Vs 步骤：1）把 = i代入方程(A-iE)X=O得一齐次线性方程组(A-iE)X=O3） A的属于特征值li 的特征向量为：是不全为零任意常数【例2】求矩阵 的特征值与特征向量 解：得 1 =2，2 = 3= 1（二重根）则A的特征值为1 =2，2 = 3= 1把1 =2代入方程(A- E)X=O ，得(A -2E)X=Oïîïíì==+-=+-0040312121xxxxxîíì==0021xx,得一基础解系于是，A的属于1 =2的全部特征向量为：把2= 3= 1代入方程(A- E)X=O ，得(A-E)X=O行变换于是，A的属于2=1的全部特征向量为：取13=xîíì=+=+-0023121xxxxîíì-==13122xxxx得一基础解系取11=x解：得 1 =-2，  2 =  3= 7（二重根）则A的特征值为 1 =-2， 2 =  3= 7把1 =-2代入方程(A-E)X=O ，得(A +2E)X=O【例3】求矩阵 的特征值与特征向量于是，A的属于1=-2的全部特征向量为：îíì=+-=-02023221xxxxîíì==232122xxxx,得一基础解系取12=x把2 = 3= 7代入方程(A-E)X=O ，得(A -7E)X=O令 分别取，得基础解系于是，A的属于2=3 = 7的全部特征向量为：022321=++xxx31222xxx--=定理定理 1 n阶方阵A的不同特征值对应的特征向量线性 无关。

即 若 是属于特征值1 的特征向量 是属于特征值2的特征向量且1 ≠2，则 与 线性无关 证明：设1、2 、…、m是A的m个不同的特征值， 1、2、 … m是分别属于1、2 、…、m 的特征向量，即 是方程 的非零解 要证： 线性无关设：即有 ，且在(1)式两边左乘A，得(2)在(2)式两边左乘A，得（3）（1）（2）（3）（m）做矩阵乘积:（*），即B可逆不同特征值对应的特征向量线性无关所以：则：定理定理 2 设是A的特征值，是A的属于的特征向量，则: (1) k是 kA的特征值(k为任意常数) (2) m 是Am 的特征值(m为正整数) (3) 当A可逆时，≠0，且-1是A-1的特征值因为 是A的属于l的特征向量，即是方程AX=lX的非零解，所以有 A= 且≠0 证（1）：k是 kA的特征值且≠0 ，所以是方程kAX=kX的非零解k是 kA的特征值因为(kA)要证方程(kA)X=(k)X 有非零解=k(A) =k () =(k)先证当A可逆时， ≠0：反证：若不然，=0由A=  ，得A=0因为A可逆，两边左乘A-1，得=0。

矛盾证（3）当A可逆时，l≠0，且-1是A-1的特征值再证-1是A-1的特征值： 因为 A=， 两边左乘A-1 ，得=A-1 =A-1 且≠0 -1= A-1 即是方程A-1 X= -1 X的非零解故-1是A-1的特征值【例4】设四阶方阵A满足 求 的一个特征值解：,即A可逆,由所以=-3是A的一个特征值且由再由定理2的（1）可知：定理定理 3 矩阵A与其转置 矩阵A’有相同的特征值证明：即 A与A’有相同的特征多项式故A与A’有相同的特征值定理定理 4 设1、2 、…、 n是A的n个特征值，则 说明 （1）利用本定理结论(1)可检验所求 的特征值是否正确2）由结论(2)可得性质：n阶方阵A可逆A的所有特征值i≠0（1） 1+2 +…+n=a11+ a22+ …+ann （2）12 … n定义定义 3 若T为可逆矩阵，对矩阵A、B，若：则称A与B相似定理定理 5 若矩阵A、B相似，则A、B具有相同的本征值。

【例6】设A满足 证明其特征值只能取 1或2.证明：【例5】 设A为n阶正交矩阵，证明A的实特征向量所 对应的特征值的绝对值等于1证明：因为A为正交矩阵，左边=右边=作业：P121 1，12。