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1、2.3数学归纳法数学归纳法第二章推理与证明第二章推理与证明栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明学习导航学习导航学习目标学习目标重点重点难点点重点重点:用数学用数学归纳法法证明一些明一些简单的数学命的数学命题.难点点:数学数学归纳法的原理理解法的原理理解.栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明新新知知初初探探思思维维启启动动1.数学数学归纳法法 一一般般地地,证明明一一个个与与正正整整
2、数数n有有关关的的命命题,可可按按下下列步列步骤进行行:(1)(归纳奠奠基基)证明明当当n取取第第一一个个值_时命命题成立成立;n0(n0N*)栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明(2)(归纳递推推)假假设_时命命题成立成立,证明当明当_时命命题也成立也成立.只只要要完完成成这两两个个步步骤,就就可可以以断断定定命命题对从从n0开始的所有开始的所有_都成立都成立.上述上述证明方法叫做明方法叫做_.nk(kn0,kN*)nk1正整数正整数n数学数学归纳法法栏目栏目导引导引新知初探新知初探思
3、维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明2.用框用框图表示数学表示数学归纳法的步法的步骤栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明想一想想一想数学归纳法的第一步数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为的初始值是否一定为1?提示提示:不一定不一定.栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明典典题题例例证证技技法法归归纳纳例例例例
4、1 1栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明【名名师点点评】用
5、用数数学学归纳法法证明明与与自自然然数数有有关关的的一一些些等等式式命命题关关键在在于于“先先看看项”,弄弄清清等等式式两两边的的构构成成规律律,等等式式的的两两边各各有有多多少少项,项的的多多少少与与n的的取取值是是否否有有关关.由由nk到到nk1时,等等式式的的两两边会会增增加加多多少少项,增增加加怎怎样的的项.栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明变式训练变式训练栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理
6、与证明第二章推理与证明栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明例例例例2 2栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二
7、章推理与证明栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明【名名师点点评】对于于与与正正整整数数有有关关的的不不等等式式的的证明明,如如果果用用其其他他方方法法比比较困困难,此此时可可考考虑使使用用数数学学归纳法法证明明,使使用用数数学学归纳法法的的难点点在在第第二二个个步步骤上上,这时除除了了一一定定要要运运用用归纳假假设外外,还要要较多多地地运运用用不不等等式式证明明的的其其他他方方法法,对所所要要证明明的的不不等等式式加加以以变形形,寻求求其其与与归纳假假设的的联系是系是问题的突破口的突破口
8、.栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明变式训练变式训练2.求证求证:如果如果x是实数是实数,x1且且x0,n为大于为大于1的的自然数自然数,那么那么(1x)n1nx.栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明证明明:(1)当当n2时,左左边(1x)212xx2,右右边12x,因因为x0,所以不等式成立所以不等式成立.(2)假假设当当nk时不不等等式式成成立立,即即(1x)k1kx.那么当
9、那么当nk1时,左左边(1x)k1(1x)k(1x),栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明因因为x1,所所以以上上式式(1kx)(1x)1(k1)xkx21(k1)x.所以当所以当nk1时,不等式成立不等式成立.由由(1)(2)及数学及数学归纳法可知原不等式成立法可知原不等式成立.栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明例例例例3 3栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题
10、例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明【思路点思路点拨】栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典
11、题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明【名名师点点评】由由已已知知求求出出数数列列的的前前几几项,提提出出猜猜想想,然然后后再再用用数数学学归纳法法证明明,证明明的的关关键是根据已知条件和假是根据已知条件和假设寻找找ak与与ak1或或Sk与与Sk1之之间的关系的关系,使命使命题得得证.栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明变式训练变式训练3.已已 知知 数数 列列 an的的 第第 一一 项 a1 5且且 Sn 1an(n2,nN*).(1)求
12、求a2,a3,a4,并由此猜想并由此猜想an的表达式的表达式;(2)用数学用数学归纳法法证明明an的通的通项公式公式.解解:(1)a2S1a15,a3S2a1a210,a4S3a1a2a3551020,猜想猜想an52n2(n2,nN*).栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳
13、技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练
14、轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明3.求求证an1(a1)2n1能被能被a2a1整整除除,nN*.证明明:(1)当当n1时,a11(a1)211a2a1,命命题显然成立然成立.(2)假假设当当nk时,ak1(a1)2k1能被能被a2a1整除整除,栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明则当则当nk1时时,ak2(a1)2k1aak1(a
15、1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由归纳假设由归纳假设,上式中的两项均能被上式中的两项均能被a2a1整整除除,故当故当nk1时命题成立时命题成立.由由(1)(2)可知可知,对对nN*,命题成立命题成立.栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明方法技巧方法技巧数学数学归纳法的两个步法的两个步骤之之间的的联系系第第一一步步是是验证命命题递推推的的基基础,第第二二步步是是论证命命题递推推的的依依据据,
16、这两两个个步步骤缺缺一一不不可可,只只完完成成步步骤(1)而而缺缺少少步步骤(2)就就作作出出判判断断,可可能能得得出出不不正确的正确的结论.因因为单靠步靠步骤(1),方方 法法 感感 悟悟方方 法法 感感 悟悟栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明无法无法递推下去推下去,即即n取取n0以后的数以后的数时命命题是否是否正确正确,我我们无法判定无法判定,同同样只有步只有步骤(2)而缺少而缺少步步骤(1)时,也可能得出不正确的也可能得出不正确的结论,缺少步缺少步骤(1)这个基个基础,假假设就失
17、去了成立的前提就失去了成立的前提,步步骤(2)也就没有意也就没有意义了了.栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明失误防范失误防范应用数学归纳法应注意应用数学归纳法应注意:(1)数学归纳法仅适用于与正整数数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数有关的数学命题的证明学命题的证明.(2)在证明在证明nk1命题成立时命题成立时,必须使用归纳必须使用归纳假设的结论假设的结论,否则就不是数学归纳法否则就不是数学归纳法.栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明知知能能演演练练轻轻松松闯闯关关栏目栏目导引导引新知初探新知初探思维启动思维启动典题例证典题例证技法归纳技法归纳知能演练知能演练轻松闯关轻松闯关第二章推理与证明第二章推理与证明本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束按按ESC键退出全屏播放退出全屏播放
