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1、空间解析几何空间解析几何数量关系数量关系第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间曲面和曲线空间曲面和曲线在几何空间中:空间对象空间对象 点点, , 线线, , 面面基本工具基本工具：向量代数向量代数 坐标坐标, , 方程组方程组, ,目录方程方程1 1向量及其线性运算向量及其线性运算向量及其线性运算向量及其线性运算2 2向量的内积向量的内积向量的内积向量的内积 外积与混合积外积与混合积外积与混合积外积与混合积4 4空间曲线及其方程空间曲线及其方程空间曲线及其方程空间曲线及其方程5 5平面及其方程平面及其方程平面及其方程平面及其方程6 6空间直线方程空间直线方程空间直线方程空间直
2、线方程目录3 3曲面及其方程曲面及其方程曲面及其方程曲面及其方程1 1向量概念向量概念向量概念向量概念2 2向量的线性运算向量的线性运算向量的线性运算向量的线性运算4 4利用坐标作向量运算利用坐标作向量运算利用坐标作向量运算利用坐标作向量运算5 5 向量的模与方向角向量的模与方向角向量的模与方向角向量的模与方向角第一节向量及其线性运算3 3空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系向量： 既有大小又有方向的量。如位移、速度、加速度、力等。向量表示：模长为1的向量.模长为0 的向量.| |向量的模： 向量的大小.或或一、向量的概念1、概念单位向量：零向量:一、向量的概念1、概念自由
3、向量： 与起点无关的向量，可平行移动.相等向量： 大小相等且方向相同的向量.负向量： 大小相等但方向相反的向量.向径： 空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量. 一、向量的概念2、两非零向量的关系相等： 大小相等且方向相同的向量.平行或共线： 方向相同或相反的两个非零向量.垂直： 方向成90夹角的两个非零向量.注意：由于零向量的方向可以看成任意的，故可以认为零向量与任何向量都平行或垂直。一、向量的概念2、两非零向量的关系共面： 把若干个向量的起点放到一起，若它们的终点和公共起点在同一平面上，则称这些向量共面.1、向量的加减法二、向量的线性运算 加法：（平行四边形法则）特殊地：若分为同向和反向
4、（平行四边形法则有时也称为三角形法则）向量的加法符合下列运算规律：交换律：结合律：加负律：(2)减法二、向量的线性运算2、向量与数的乘法二、向量的线性运算 定义：数与向量的乘积符合下列运算规律：结合律：分配律：向量的加法及数乘统称为向量的线性运算。例1 化简解二、向量的线性运算例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证与 平行且相等, 结论得证.按照向量与数的乘积的规定，向量单位化：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.二、向量的线性运算(2)单位向量的表示(3) 两个向量的平行关系（共线定理）二、向量的线性运算证:充分性显然； 下面证明必要性两式相
5、减，得两式相减，得证毕注：此定理是建立数轴和坐标的理论依据.二、向量的线性运算三、空间直角坐标系1、坐标系的构成坐标原点：定点O坐标轴：以O为原点的三条相互垂直的数轴 横轴( 轴)、纵轴( 轴)、竖轴( 轴)三个坐标轴的正方向要符合右手系：以右手握住 轴，当右手的四个手指从正向 轴以 角度转向正向 轴时，大拇指的指向是 轴的正向.横轴纵轴竖轴这三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系，记为Oxyz.面面面空间直角坐标系共有八个卦限三、空间直角坐标系2、点、向量与坐标三、空间直角坐标系设 是以坐标原点为起点，M为终点的向量， 在空间直角坐标系Oxyz的三条轴的正方向分别取三个单位向量 称为基本单位向
6、量.称有序数组 为向量 或点M的坐标，简记为 或 .加法1、向量的加减法与数乘四、利用坐标作向量的线性运算减法数乘2、平行向量的坐标表示式若某个分母为0，则相应的分子也为0四、利用坐标作向量的线性运算解例3 求解以向量为未知元的线性方程组解二元一次方程组，易得四、利用坐标作向量的线性运算例4 已知两点A(x1,y1,z1) 和B (x2,y2,z2) 以及实数 -1，在直线AB上求点M，使解 设为直线上的点，注意：注意：点的坐标是向径的坐标，向量的坐标是端点坐标之差。由题意知：四、利用坐标作向量的线性运算向量的模:1、向量的模与两点间的距离公式:五、向量的模、方向角、投影按勾股定理可得五、向量
7、的模、方向角、投影两点间的距离公式:五、向量的模、方向角、投影解原结论成立.五、向量的模、方向角、投影解解设P点坐标为所求点为五、向量的模、方向角、投影2、方向角与方向余弦五、向量的模、方向角、投影空间两向量的夹角的概念:类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为方向角.五、向量的模、方向角、投影方向角显然有显然有方向余弦由图分析可知方向余弦通常用来表示向量的方向.向量的方向余弦方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为五、向量的模、方向角、投影例8 已知A(3,3,1) 和B (1,5
8、,1),计算解解五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影3、向量在轴上的投影向量在轴上的投影是数五、向量的模、方向角、投影向量在三坐标轴上的投影向量投影的性质解五、向量的模、方向角、投影一、向量概念一、向量概念1、概念2、两非零向量的关系二、向量的线性运算二、向量的线性运算1、向量的加减法2、向量与数的乘法三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系1、坐标系的构成2、点、向量与坐标四、利用坐标作向量的线性四、利用坐标作向量的线性运算运算1、向量的加减法与数乘2、平行向量的坐标表示五、向量的模五、向量的模, ,方向角方向角, ,投影投影1、模与距离公式2、方向角与方向余弦3、向量在轴上的投
9、影六、小结1 1向量的内积向量的内积向量的内积向量的内积2 2向量的外积向量的外积向量的外积向量的外积第二节向量的内积外积与混合积3 3向量的混合积向量的混合积向量的混合积向量的混合积一、向量的内积其中其中 表示表示 与与 的夹角的夹角.启示启示实例实例两向量作这样的运算可以得到一个两向量作这样的运算可以得到一个数量数量. .一、向量的内积记为.为与的内积、点积或数量积，记作 或 , 其中为向量与的夹角，定义定义设和是两个向量，则称即注注 两向量的内积等于其中一个向量的模和另一个两向量的内积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积向量在这向量的方向上的投影的乘积. .内积的
10、性质：内积的性质：证证证证一、向量的内积内积符合下列运算规律：内积符合下列运算规律：(1) 交换律：(2) 分配律：若 、 为数，则一、向量的内积内积的坐标表达式内积的坐标表达式一、向量的内积设在空间直角坐标系Oxyz中，为基本单位向量，两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件：由此可知两向量垂直的充要条件：一、向量的内积解一、向量的内积证一、向量的内积二、向量的外积启示启示实例实例两向量作这样的运算可以得到一个两向量作这样的运算可以得到一个向量向量. .二、向量的外积定义定义设和是两个向量，若向量满足：则称为与的外积、叉积或向量积，记作 .特殊地，当两
11、个向量中有一个是零向量时，规定 .外积的性质：外积的性质：二、向量的外积证证/(3) 外积符合下列运算规律：外积符合下列运算规律：(1)(2) 分配律：二、向量的外积外积的坐标表达式外积的坐标表达式二、向量的外积设在空间直角坐标系Oxyz中，为基本单位向量，还可用三阶行列式表示还可用三阶行列式表示由上式也可推出由上式也可推出二、向量的外积解二、向量的外积二、向量的外积解三角形ABC的面积为例4解二、向量的外积三、向量的混合积定义定义设是三个向量，则称数量积为向量的混合积，记作或.三、向量的混合积设在空间直角坐标系Oxyz中，为基本单位向量，混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式混合积的性质：混合
12、积的性质：三、向量的混合积的绝对值表示以向量为棱的平行六面体的体积.若组成右手系（如上图），则解例例6 6三、向量的混合积解三、向量的混合积式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.三、向量的混合积例例 8 已知向量已知向量 , , , 解(1) 求证求证(2) 当当 与与 的夹角的夹角 为何值时为何值时ADB 的面积最大的面积最大?ADCB(1)三、向量的混合积(2) 当当 , 即即 或或 时时, ADB 的面积最大的面积最大.三、向量的混合积几何关系几何关系向量的向量的代数运算代数运算坐标关系坐标关系设三个非零向量 向量代数的意义1 1平面的点法式方程平
13、面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程2 2平面的一般方程平面的一般方程平面的一般方程平面的一般方程第三节平面及其方程3 3两平面的夹角两平面的夹角两平面的夹角两平面的夹角4 4点到平面的距离点到平面的距离点到平面的距离点到平面的距离取定三维空间中的一个直角坐标系，如果空间中的几何图形 S 与三元方程 F( x, y, z ) = 0 具有下述关系：(1) 图形 S 上的任意点的坐标都满足此方程，则 F( x, y, z ) = 0 叫作 S 的方程的方程, S 叫作方程方程 F( x, y, z ) = 0 的图形的图形.(2) 所有坐标满足此方程的点都在图形 S 上,图形及其方程一
14、、平面的点法式方程则必有 ，从而设平面通过点 ，并且垂直于非零向量 ，下面建立平面的方程. 设平面上的任一点为 ， 称垂直于平面的非零向量 为该平面的法向量平面的点法式方程由于因此解取所求平面方程为化简得一、平面的点法式方程取法向量化简得所求平面方程为解二平面的法向量分别为一、平面的点法式方程二、平面的一般方程由平面的点法式方程平面的一般方程法向量（三元一次方程）二、平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点.二、平面的一般方程平面通过x轴；平面平行于x轴.类似地可讨论： 平面平行于或通过y轴；平面平行于或通过z轴.二、平面的一般方程平面平行于xOy坐标平面.类似地可讨论：平面
15、平行于yOz坐标面.平面平行于zOx坐标面；（常数）二、平面的一般方程令代入可得平面的截距式方程二、平面的一般方程设 是空间中不在同一直线上的三点，则可以建立过这三点的平面方程：则向量 共面，从而混合积设平面上的任一点为 ， 平面的三点式方程即二、平面的一般方程设此平面方程为由平面过原点知 .故所求平面方程为解例3法向量三、两平面的夹角两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.通常规定平面夹角为锐角，即 .定义三、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有两平面位置特征：/两平面夹角余弦公式例4解故夹角三、两平面的夹角例5 一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1)，且垂直于平面x+y+z=
16、0，求它的方程. 解 设所求平面为：A(x1)+B(y1)+C(z1)=0三、两平面的夹角例5 一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1)，且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程.三、两平面的夹角四、点到平面的距离设 是平面 外一点，点 到平面 的距离为d，则四、点到平面的距离由可得点到平面距离公式1.平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）2.两平面的夹角.3.点到平面的距离公式.点法式方程.一般方程.截距式方程.（注意两平面的位置特征）五、小结三点式方程.思考题两平面平行两平面重合.解解设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解化简得令代入体积式所求平面方程为1
17、 1空间直线的一般方程空间直线的一般方程空间直线的一般方程空间直线的一般方程2 2直线的对称方程与参数方程直线的对称方程与参数方程直线的对称方程与参数方程直线的对称方程与参数方程第四节空间直线方程3 3两直线的夹角两直线的夹角两直线的夹角两直线的夹角4 4直线与平面的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角5 56 67 7点到直线的距离点到直线的距离点到直线的距离点到直线的距离异面直线间的距离异面直线间的距离异面直线间的距离异面直线间的距离平面束方程平面束方程平面束方程平面束方程一、空间直线的一般方程定义空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般方程直线L的方程为方向向量的余弦称为
18、直线的方向余弦.二、空间直线的对称式与参数方程则必有 ，从而设直线L通过点 ，并且平行于非零向量 ，下面建立直线L的方程. 设直线上的任一点为 ， 称平行于直线的非零向量 为该直线的方向向量直线的点向式方程或对称式方程由于因此二、空间直线的对称式与参数方程注在直线的点向式方程中某些分母为零时, 即平行于z轴的直线；表示即平行于yOz面（在平面x=2上）的直线.其分子也应理解为零.例如表示而二、空间直线的对称式与参数方程令直线的参数方程可得已知直线的点向式方程解故可取直线的方向向量因此所求直线方程为例1 一直线过点，且与直线平行，求其方程.依题意,所求直线与已知直线平行,已知直线的方向向量为二、
19、空间直线的对称式与参数方程解 取已知平面的法向量则直线的对称式方程为垂直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 例2 求过点(1,2 , 4) 且与平面二、空间直线的对称式与参数方程解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程二、空间直线的对称式与参数方程例4 用对称式方程及参数方程表示直线：解 在直线上任取一点取解得点坐标二、空间直线的对称式与参数方程因所求直线与两平面的法向量都垂直取对称式方程参数方程二、空间直线的对称式与参数方程三、两直线的夹角定义直线直线两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角.通常规定直线夹角为锐角，即 . 三、两直线的夹角按照两向量夹角余弦公式有两条直线位置特征：
20、两直线夹角余弦公式/三、两直线的夹角四、平面与直线的夹角定义直线与其在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角.此夹角也为锐角，即 . 四、平面与直线的夹角直线与平面的夹角公式直线与平面的位置特征：/按照两向量夹角余弦公式有解为所求夹角四、平面与直线的夹角解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点N,令四、平面与直线的夹角代入平面方程得 ,交点取所求直线的方向向量为所求直线方程为四、平面与直线的夹角五、点到直线的距离设 是过点 的一条直线，直线L外一点 到直线L的距离为d，则 六、异面直线间的距离 和 分别是 和 的方向向量，则 和 之间的距离设有两条异面直线 和 七
21、、平面束方程定义通过给定直线的所有平面的全体称为平面束.设直线L的方程为则通过直线L的平面束方程为表示除了平面 之外的平面束中的任一平面.当 时，即七、平面束方程例7 已知直线求L在平面上的投影方程.解直线L在平面上的投影即是过L且垂直于的平面与的交线.设通过直线L的平面束方程为整理得其中是待定系数.要使，即解得.七、平面束方程即当时，平面束方程表示平面，代入平面束方程得，即所以直线L在平面上的投影方程为一、空间直线方程一般式对称式参数式八、小结直线二、线与线的关系二、线与线的关系直线夹角公式:五、小结平面 :L L / 夹角公式：三、面与线间的关系三、面与线间的关系直线 L :五、小结思考题
22、思考题解答且有故当 时结论成立1 1曲面方程的概念曲面方程的概念曲面方程的概念曲面方程的概念2 2旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面第五节曲面及其方程3 3柱面柱面柱面柱面4 4二次曲面二次曲面二次曲面二次曲面求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例引例: :显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解解: :设轨迹上的动点为轨迹方程. 一、曲面方程的概念定义1 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F
23、( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的方程的方程, 曲面 S 叫做方程方程 F( x, y, z ) = 0 的图形的图形.两个基本问题两个基本问题 : :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状( 必要时需作图 ). 一、曲面方程的概念故所求方程为例1 求动点到定点特别,当M0在原点时,球面方程为解 设轨迹上动点为即依题意距离为 R 的轨迹方程表示上(下)球面 .一、曲面方程的概念例2 研究方程解 配方得此方程表示:说明说明: : 如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通
24、过配方研究它的图形.表示怎样曲面半径为的球面.球心为 一、曲面方程的概念定义2 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴. .例如例如 :二、旋转曲面该定曲线称为母线. .建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线 C: 则有则有该点转到二、旋转曲面思考：思考：当曲线C 绕y 轴旋转时，方程如何？二、旋转曲面例3 试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为绕z轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方二、旋转曲面例4 求坐标面 xoz 上的
25、双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解 绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫作旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为二、旋转曲面单叶双叶引例引例. 分析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程解:在 xoy 面上，表示圆C, 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面. .对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程,三、柱面定义3 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面. 表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面.z 轴的
26、平面.表示母线平行于 (且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线, l 叫做母线.三、柱面一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线三、柱面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本类型有: 椭球面椭球面、抛物面抛物面、双曲面双曲面、锥面锥面的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 )四、二次曲面1 1. 椭球面椭球面(1)范围：(
27、2)与坐标面的交线：椭圆四、二次曲面与的交线为椭圆：(4) 当 ab 时同样的截痕及也为椭圆.当abc时(3) 截痕:为正数)四、二次曲面为旋转椭球面;为球面.2.2.抛物面抛物面(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.( p , q 同号)四、二次曲面抛物线所有抛物线的顶点也组成一条抛物线.p, q同正p, q同负3. 双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面椭圆.时, 截痕为(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）平面 上的截痕情况:双曲线: 四、二次曲面虚轴平行于x 轴）时, 截痕为时, 截痕为(实轴平行于
28、z 轴;相交直线: 双曲线: 四、二次曲面(2) 双叶双曲面双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线单叶双曲面双叶双曲面四、二次曲面4. 椭圆锥面椭圆锥面椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.四、二次曲面1. 空间曲面三元方程 球面 旋转曲面如, 曲线绕 z 轴的旋转曲面: 柱面如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .五、内容小结2.二次曲面三元二次方程 椭球面 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面: 单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面: 五、内容小结斜率为1的直线平面解
29、析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面1. 指出下列方程的图形:六、思考1 1空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程2 2空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程第六节空间曲线及其方程3 3空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上
30、的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点：特点：一、空间曲线的一般方程例1方程组方程组 表示怎样的曲线表示怎样的曲线？解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，交线为椭圆交线为椭圆.一、空间曲线的一般方程例2方程组方程组 表示怎样的曲线表示怎样的曲线？解上半球面上半球面,圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.一、空间曲线的一般方程空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 动点从动点从A点出点出发，经过发，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时
31、间t为参数，为参数，解二、空间曲线的参数方程螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度螺距螺距二、空间曲线的参数方程补：空间曲面的参数方程单叶双曲面单叶双曲面消去变量消去变量z后得：后得：曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影坐标面的以此空间曲线为准线，垂直于所投影坐标面的直线为母线直线为母线.投影柱面的投影柱面的特征特征：三、空间曲线在坐标面上的投影空间曲线空间曲线投影柱面投影柱面三、空间曲线在
32、坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的面上的投影曲线投影曲线,面上的面上的投影曲线投影曲线,空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线或简称或简称投影投影三、空间曲线在坐标面上的投影如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面三、空间曲线在坐标面上的投影例4求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影.解（1）消去变量）消去变量z后得后得在在 面上的投影为面上的投影为三、空间曲线在坐标面上的投影所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.（3）同理在）同理在 面上
33、的投影也为线段面上的投影也为线段.（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，三、空间曲线在坐标面上的投影截线方程为截线方程为解如图如图,三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影补充补充: : 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影. .空空间间立立体体曲曲面面三、空间曲线在坐标面上的投影例6解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为三、空间曲线在坐标面上的投影一个圆一个圆,三、空间曲线在坐标面上的投影空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影四、小结思考题思考题思考题解答思考题解答交线方程为交线方程为在在 面上的投影为面上的投影为
