2.3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 2.3.1. 无穷小无穷小 2.3.2. 无穷小的运算性质无穷小的运算性质 2.3.3. 无穷大无穷大 2.3.4. 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 2.3.5. 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 2.3.6. 无穷小的比较无穷小的比较 2.3.7. 利用等价无穷小交换求极限利用等价无穷小交换求极限 如如,在某个变化过程中，极限为零的变量称为无穷小量，在某个变化过程中，极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小简称无穷小.无穷小是指无穷小是指函数变化的趋势函数变化的趋势.在某个过程中在某个过程中2.3.1 2.3.1 无穷小无穷小 定义定义记作记作1) 无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆不能与很小很小的数混淆;2) 零是可以作为无穷小的独一的常数零是可以作为无穷小的独一的常数.注注 “无无穷小量〞并不表达量的大小小量〞并不表达量的大小,而是表达而是表达量的量的变化形状的化形状的. 证证在同一过程中在同一过程中, , 有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和性质性质仍是无穷小仍是无穷小. .取取恒有恒有恒有恒有恒有恒有的两个无穷小的两个无穷小, ,2.3.2 2.3.2 无穷小的运算性质无穷小的运算性质 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. . 证证性质性质部分有界函数与无穷小的乘积是无穷小部分有界函数与无穷小的乘积是无穷小. .那么当那么当恒有恒有 在同一在同一过程中程中, ,有极限的有极限的变量与无量与无穷小小常数与无常数与无穷小的乘小的乘积是无是无穷小小; ;有限个无有限个无穷小的乘小的乘积也是无也是无穷小小. .都是无都是无穷小小.推论推论1 1的乘的乘积是无是无穷小小; ;推推论2 2推推论3 3无穷个无穷小的乘积未必是无穷小无穷个无穷小的乘积未必是无穷小. . 绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大. .如如,是无穷大是无穷大;是无穷大是无穷大.2.3.3 2.3.3 无穷大无穷大 定义定义记作记作无穷大一定是无界函数无穷大一定是无界函数 证证例例的的图形的形的垂直垂直渐近近线(vertical asymptote). 的图形的的图形的程度渐近线程度渐近线(horizontal asymptote).那么直线那么直线 特殊情形特殊情形:正无穷大正无穷大,负无穷大．负无穷大． 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;证证定理定理恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .此此时对使得当使得当2.3.4 2.3.4 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,意义意义无穷小的讨论无穷小的讨论.都可归结为关于都可归结为关于此此时对使得当使得当 证证定理定理恒有恒有也即也即定理中过程可以换成 x → ∞2.3.5 2.3.5 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 于是于是恒有恒有即即定理定理1 1 例例 2.3.6 2.3.6 无穷小的比较无穷小的比较不可比不可比.察察看看各各极极限限是无穷小是无穷小.不存在不存在.极限不同极限不同, 反映了反映了趋向于零的向于零的“快慢〞程度不同快慢〞程度不同. 定义定义记作记作是同一过程中的两个无穷小是同一过程中的两个无穷小,高阶的无穷小高阶的无穷小;同阶无穷小同阶无穷小;记作记作等价无穷小等价无穷小,低阶的无穷小低阶的无穷小; 如如高高阶无无穷小小,同同阶无无穷小小. k 阶无穷小阶无穷小. 定理定理证证 常用等价无穷小常用等价无穷小 定理定理 ( (等价交换乘除因子定理等价交换乘除因子定理) )且例例解解2.3.7 2.3.7 利用等价无穷小交换求极限利用等价无穷小交换求极限 例例解解例例解解 解解 加、减项的无穷小不要用等价无加、减项的无穷小不要用等价无穷小代换穷小代换.注注 无穷小的概念无穷小的概念无穷小的运算无穷小的运算无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系无穷大的概念无穷大的概念无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系小小 结结无穷小的比较无穷小的比较等价无穷小的交换等价无穷小的交换 思索题思索题任何两个无穷小都可以比较阶的高低吗？任何两个无穷小都可以比较阶的高低吗？解答解答不能．不能．都是无穷小都是无穷小,但但例如例如不存在不存在.故故不能比较不能比较. 。