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1、运用几何直观提高理解数学、解决问题能力运用几何直观提高理解数学、解决问题能力首都师范大学数学科学学院首都师范大学数学科学学院 王尚志王尚志目目 录录p举例举例p解读解读“几何直观几何直观”p整体把握图形整体把握图形 初中数学课程初中数学课程p全面掌握研究图形的方法全面掌握研究图形的方法 重视几何变换重视几何变换p学会运用图形建立学会运用图形建立“几何直观几何直观” 用图形描述、理解数学问题用图形描述、理解数学问题 用图形探索解决问题思路用图形探索解决问题思路 用图形理解、记忆结论用图形理解、记忆结论2举举 例例1.给定长度一定的线段，试求出由它围成的面积最大的封闭图形？给定长度一定的线段，试求
2、出由它围成的面积最大的封闭图形？3l/2l/2凸的面积对称圆的SABC=1/2absinCABOCab2.与小学教师一次讨论：在小学数学中，你认为最重要、最有用的图形是那些？与小学教师一次讨论：在小学数学中，你认为最重要、最有用的图形是那些？我选择了两个：数轴和方格纸我选择了两个：数轴和方格纸 012345-2-1-4-3-6-5601020304050-20 -10-40 -30-60 -50600100 200 300 400 500-200-100-400 -300-600 -50060000.10.2 0.30.4 0.5-0.2 -0.1-0.4 -0.3-0.6 -0.50.60
3、0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-0.02-0.01-0.04-0.03-0.06-0.050.06401/22/23/24/25/2-2/2 -1/2-4/2 -3/2-6/2 -5/26/201/32/33/34/35/3-2/3 -1/3-4/3 -3/3-6/3 -5/36/30.6 0.70.8 0.91.0 1.10.4 0.50.20.300.11.2 1.3 1.4 1.50.95 1.05012345-2-1-4-3-6-56举举 例例3.数轴的作用：数的单位的认识数轴的作用：数的单位的认识 整数单位：个、十、百、千等整数单位：个、十、百、千等 分数单位：分数
4、单位：1、1/2、1/3、 、1/6、 等等 小学：例如，加、减、除运算小学：例如，加、减、除运算 初中：例如，绝对值与距离、不等关系初中：例如，绝对值与距离、不等关系 大学：例如，有理数、无理数稠密与逼近（极限）大学：例如，有理数、无理数稠密与逼近（极限）在小学、初中、高中、大学探索数轴的作用，这是很好的探究课题。在小学、初中、高中、大学探索数轴的作用，这是很好的探究课题。5举举 例例4.与与小学教师一次讨论：小学教师一次讨论：在在小学数学中，你认为最重要、最有用的图形小学数学中，你认为最重要、最有用的图形是哪些是哪些？我我选择了两个：坐标轴和方格纸选择了两个：坐标轴和方格纸方格纸方格纸的作
5、用：图形的平移的作用：图形的平移5.几何定理证明：中位线定理几何定理证明：中位线定理 如图如图 运用轴对称、旋转、割补运用轴对称、旋转、割补变成矩形或平行四边形变成矩形或平行四边形 看出那些结果看出那些结果鼓励看出得多的鼓励看出得多的看出了中位线定理看出了中位线定理 把过程写出来把过程写出来 让写出的过程：有理、清晰、易懂让写出的过程：有理、清晰、易懂 让学生学会规范让学生学会规范 如何用如何用 图发现、证明数学结果图发现、证明数学结果中位线定理中位线定理6举举 例例上述实例：上述实例： 图形可以帮助理解图形可以帮助理解 图形可以帮助思考图形可以帮助思考 图形可以帮助探索图形可以帮助探索1、直
6、观、直观可以直接看到事物可以直接看到事物经过深入理解、思考，使学习、研究对象变得经过深入理解、思考，使学习、研究对象变得“能直接看到、看透能直接看到、看透”，使抽象，使抽象具体，使复杂具体，使复杂简单，简单，华罗庚先生一句名言：把书读薄了。常常说：抓住本质。华罗庚先生一句名言：把书读薄了。常常说：抓住本质。 把这两种理解结合起来。随着学习不断拓展，随着不断思考的深入，把这两种理解结合起来。随着学习不断拓展，随着不断思考的深入，“直观能力直观能力”会不断提升，认知水平，解会不断提升，认知水平，解决问题能力不断增强。决问题能力不断增强。2、数学直观、数学直观举例举例：直线：直线欧式欧式几何角度：两
7、点确定直线几何角度：两点确定直线解析几何解析几何角度：二元一次方程与直线是等价角度：二元一次方程与直线是等价向量向量几何角度：一点与一个方向向量唯一确定直线几何角度：一点与一个方向向量唯一确定直线函数函数角度：在直角坐标系中，连线不垂直于角度：在直角坐标系中，连线不垂直于x-坐标轴的两个点确定一个一次函数（坐标轴的两个点确定一个一次函数（y是是x函数）函数）表示表示：拓展拓展：n+1个点，任意两点连线不垂直于个点，任意两点连线不垂直于x-坐标轴，它们唯一确定一个关于坐标轴，它们唯一确定一个关于x的的n元函数。其表示（拉格朗日插元函数。其表示（拉格朗日插值）值）。7解读解读“几何直观几何直观”举
8、例：二元一次方程组举例：二元一次方程组8解析几何：两直线间的位置关系解析几何：两直线间的位置关系行列式行列式解读解读“几何直观几何直观”3、直观几何与几何直观、直观几何与几何直观希尔伯特两本书希尔伯特两本书“几何基础几何基础”、“直观几何直观几何”在在“直观几何直观几何”一书中，他表达这样想法：一书中，他表达这样想法：运用图形描述问题；运用图形描述问题；运用图形发现解决问题思路；运用图形发现解决问题思路；运用图形理解、记忆结论。运用图形理解、记忆结论。我们也会听到：很多数学结果是我们也会听到：很多数学结果是“看出来看出来”的。这是一种学习数学，理解数学的境界。的。这是一种学习数学，理解数学的境
9、界。 4、核心概念、核心概念几何直观几何直观主要主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。数学课程标准数学课程标准9解读解读“几何直观几何直观” 到底什么是“几何直观”？几何直观能告诉我们什么是可几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，能重要、可能有
10、意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。漠之中免于陷入歧途之苦。弗莱登塔尔几何直观是借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。史宁中、孔凡哲实物直观简约符号直观图形直观替代物直观符号直观符号直观图形直观图形直观实物直观实物直观认知直观认知直观核心意思是利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问核心意思是利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮题变得简明、形象，有助于探索
11、解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。这个过程助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。这个过程帮助我们揭示、理解数学中重要、有意义、本质的东西，更好地帮助我们揭示、理解数学中重要、有意义、本质的东西，更好地 运用数学解决运用数学解决问题。问题。随着数学学习深入，随着数学学习深入，“图形图形”称为建立称为建立“几何直观几何直观”的主要载体，在初中阶段，图形又是数学学习的主要对象，的主要载体，在初中阶段，图形又是数学学习的主要对象，“几何直观几何直观”直接作用应该体现在几何学习中。直接作用应该体现在几何学习中。为了理
12、解为了理解“图形图形”在在“学习图形学习图形”中的作用，有必要从以下几个方面思考：中的作用，有必要从以下几个方面思考：对学习的图形有一个整体了解，对学习的图形有一个整体了解，研究图形的基本方法。研究图形的基本方法。对学习的图形有一个整体了解对学习的图形有一个整体了解主要图形：主要图形：空间中图形：柱、锥、台、球空间中图形：柱、锥、台、球平面上图形：平面上图形：直线、射线、线段、角直线、射线、线段、角直线型三角形、四边形、多边形直线型三角形、四边形、多边形曲线形圆、抛物线（二次函数）、双曲线（反比例函数）曲线形圆、抛物线（二次函数）、双曲线（反比例函数）10整体把握图形整体把握图形初中数学课程初
13、中数学课程对学习的图形有一个整体了解对学习的图形有一个整体了解主要图形：主要图形： 数轴数轴 平面直角坐标系平面直角坐标系图形主要关系：图形主要关系： 位置关系：平行、垂直、相交位置关系：平行、垂直、相交 度量关系：长度（距离）、角度、面积度量关系：长度（距离）、角度、面积 “ “形状形状”关系关系 ：重合、全等、对称、相似、投影：重合、全等、对称、相似、投影研究图形的基本方法研究图形的基本方法 综合几何（欧式几何）综合几何（欧式几何）举例举例 凸多边形内角和与外角和凸多边形内角和与外角和 从统一概念（定义）、事实（公理、定理）出发，根据推理原则（三段论），得到正确结果。从统一概念（定义）、事
14、实（公理、定理）出发，根据推理原则（三段论），得到正确结果。研究图形的基本方法研究图形的基本方法 变换几何初步变换几何初步举例：平行四边形复习课举例：平行四边形复习课教学内容教学内容 本节课是在学生学习完平行四边形的性质和判定后，教师设计的一节复习课。本节课是在学生学习完平行四边形的性质和判定后，教师设计的一节复习课。11整体把握图形整体把握图形初中数学课程初中数学课程平行四边形复习课平行四边形复习课教学内容：本节课是在学生学习完平行四边形的性质和判定后，教师设计的一节复习课。教学内容：本节课是在学生学习完平行四边形的性质和判定后，教师设计的一节复习课。教学目标：教学目标： 1、依托平行四边形
15、一章的内容，帮助学生学会梳理知识。、依托平行四边形一章的内容，帮助学生学会梳理知识。 2、依托平行四边形一章的内容，帮助学生学会如何抓住本质。、依托平行四边形一章的内容，帮助学生学会如何抓住本质。 3、帮助学生进一步掌握平行四边形性质。、帮助学生进一步掌握平行四边形性质。 4、让学生经历独立学习和合作学习过程。、让学生经历独立学习和合作学习过程。教学形式：教学形式： 本节课教师主要采用独立学习与小组合作结合方式进行教学活动。主要步骤：本节课教师主要采用独立学习与小组合作结合方式进行教学活动。主要步骤： 1、教师将全班同学进行分组；、教师将全班同学进行分组； 2、确定需要研讨的问题串；、确定需要
16、研讨的问题串； 3、提出学生在独立思考的要求；、提出学生在独立思考的要求； 4、分工合作、交流提升、集体分享等过程；最后，通过学生的学习，分享结果，形成一个资源包，从而保证、分工合作、交流提升、集体分享等过程；最后，通过学生的学习，分享结果，形成一个资源包，从而保证每个学生都能有所收获。每个学生都能有所收获。12从一节几何复习课说起从一节几何复习课说起研讨问题串研讨问题串研讨要求研讨要求1、每个小组从教材、教参和相关材料中，收集平行四边形判定的充分必要条件（教师提前讲明什么是充分必要、每个小组从教材、教参和相关材料中，收集平行四边形判定的充分必要条件（教师提前讲明什么是充分必要条件）；条件）；
17、2、每个小组所找到的一系列充要条件进行分类，并说明自己小组分类的标准和原则。、每个小组所找到的一系列充要条件进行分类，并说明自己小组分类的标准和原则。3、每个小组在自己所找的充要条件中挑一个最喜欢的、最重要的条件，并说明喜欢它的原因，通过完成以下两、每个小组在自己所找的充要条件中挑一个最喜欢的、最重要的条件，并说明喜欢它的原因，通过完成以下两项工作说明：项工作说明：（1）它可以很简单的推出其他的充要条件；）它可以很简单的推出其他的充要条件；（2）在所有的习题和例题中能找到）在所有的习题和例题中能找到3-5个题目说明用这个出发点解决问题很方便；个题目说明用这个出发点解决问题很方便；4、（选做题）
18、让学生讨论平行四边形和学过的其他图形有什么关系，并进行相应的整理。、（选做题）让学生讨论平行四边形和学过的其他图形有什么关系，并进行相应的整理。问题串设计辅助说明：问题串设计辅助说明： 13平行四边形复习课平行四边形复习课ABCD(A)(C)OA= C；ADB= CBD；ABD= CDB；AD=BC；AB=CD。研究图形的基本方法研究图形的基本方法解析几何解析几何初步初步举例：举例：两两点确定一次函数（两点的连线不能垂直点确定一次函数（两点的连线不能垂直x轴）轴）三三点确定二次函数（每两点的连线不能垂直点确定二次函数（每两点的连线不能垂直x轴）轴）n+1点确定点确定n次函数（每两点的连线不能垂
19、直次函数（每两点的连线不能垂直x轴）轴）14整体把握图形整体把握图形 初中数学课程初中数学课程重视重视“变换几何方法变换几何方法”不变量：变换中不变的不变量：变换中不变的东西东西重要重要、基本的图形都是具有很好对称性的图形、基本的图形都是具有很好对称性的图形直线直线、线段、角、线段、角圆圆、正方形、正多边形、正方形、正多边形矩形矩形、菱形、菱形、矩形矩形用图形描述、理解数学问题用图形描述、理解数学问题用图形探索解决问题思路用图形探索解决问题思路用图形理解、记忆结论用图形理解、记忆结论学会运用图形建立学会运用图形建立“几何直观几何直观”用图形描述、理解数学问题用图形描述、理解数学问题举例举例 理解概念：距离理解概念：距离学会运用图形建立学会运用图形建立“几何直观几何直观”17x1OyD图2x1Oy图3学会运用图形建立学会运用图形建立“几何直观几何直观”18值得思考和研究的问题值得思考和研究的问题p如何理解如何理解“几何直观几何直观”？p“几何直观几何直观”在理解数学、解决问题中作用？在理解数学、解决问题中作用？p如何把如何把“几何直观几何直观”融入日常教学设计、实施？融入日常教学设计、实施？p“几何直观几何直观”仅仅对几何课程，还是对整个数学？仅仅对几何课程，还是对整个数学？p在初中阶段，哪些是基本和重要图形？在初中阶段，哪些是基本和重要图形？
