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1、概率论与数理统计概率论与数理统计概率概率论事件事件发生的能生的能够性性数理数理统计用数据来分析用数据来分析对象象满足足的概率的概率规律律一、必然景象与随机景象1、必然景象在一定条件下一定会发生的景象如水100C沸腾，苹果从树上掉落2、偶尔景象或随机景象即使条件一定，结果也不可预测如 掷一枚硬币，出现正面或反面？买一张彩票，能否中奖？能否会发生水灾？第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1 1 随机事件随机事件要面对随机景象进展研讨，还有一些要求。二、随机实验与随机事件随机实验是对随机景象进展实验或察看1、一样的条件下可以反复进展2、每次实验有多种能够的结果，而且在实验之前即可明确有几种能够
2、。3、每次实验不能预知哪一结果会发生。当目的不同时，结果也会有不同。如天气：下雨或不下雨。晴、多云、阴、小雨、大雨等。随机实验的每个结果称为随机事件，简称事件。普通用大写英文字母A、B、C等表示。例如在0、1、2、9中任取一数。A表示取到0，B表示取到5，C表示取到奇数，D表示取到3的倍数。它们都是随机事件。不能分解为其它事件的事件称为根身手件。 如A,B能分解为其它事件的事件称为复合事件。如C,D每次实验一定发生的事件称为必然事件。如点数大于0普通用表示必然事件。每次实验一定不发生的事件称为不能够事件。如点数大于9普通用表示不能够事件它们是随机事件的特例。为了研讨的方便，可以用点集来表示事件
3、，也可以用文氏图表示。根身手件用只包含一个元素的单点集表示。复合事件用包含假设干个元素的集合表示。例如掷一颗骰子，A表示点数为4，即为单点集4B表示点数为偶数，即为点集2,4,6点数为正数，是必然事件，即为选集1,2,3,4,5,6点数为负数，是不能够事件，即为空集一切根身手件对应的元素组成的集合称为样本空间。每个根身手件对应的元素称为一个样本点。三、事件间的关系及运算1、事件的包含假设事件A发生必然导致事件B发生，即属于A的每个样本点也属于B,那么称事件B包含事件A。等价的说法是：B不发生，那么A也不发生。例如A=4,B=2,4,6,那么A B记作B A或A B对任何事件A,有 A A用图形
4、表示，即B2、事件的相等假设A B且B A，称事件A与B相等。即A与B中的样本点完全一样。记作A=B掷一颗骰子A表示点数小于3，B表示点数为1或2那么A=B3、事件的并和两个事件A，B中至少有一个发生，即“A或B，是一个事件，称为A与B的并和。它是由A与B的一切样本点构成的集合。记作A+B或AB掷骰子之例中，假设A=1,2,3,B=1,3,5那么AB=1,2,3,5集合的运算规律对事件也成立，如AB=BA,(AB)C=A(BC)AB A,AB BA=A,A=n个事件A1,An中至少有一个发生，是一个事件。称为事件A1,An的和。记作A1+An或A1An可列个事件A1,A2,An,中至少有一个发
5、生称为事件A1,A2,An,的和假设A=1,2,3,B=1,3,5,C=1,3,4那么A+B+C=1,2,3,4,5用图形表示，即AB4、事件的交积两个事件A与B同时发生，即“A且B,是一个事件。称为事件A与B的交积。它是由A与B的公共样本点构成的集合。记作AB或AB如A=1,2,3,B=1,3,5那么AB=1,3它也有运算律：AB=BA (AB)C=A(BC)AB A AB BA= A=A也可定义多个事件的交。交与并运算还满足分配律：(AB)C=(AC)(BC)(AB)C=(AC)(BC)用不同的记号，可写为(A+B)C=AC+BC(AB)+C=(A+C)(B+C)用图形表示，即BA5、事件
6、的差事件A发生而事件B不发生，是一个事件，称为事件A与B的差。它由属于A但不属于B的一切样本点组成。记作A-B如：A=1,2,3,B=1,3,5那么A-B=2,B-A=5A用图形表示即B6、互不相容事件假设A与B不能同时发生，即AB=称事件A与B互不相容或互斥。互斥事件没有公共的样本点。根身手件间是互不相容的。如A=1,2,3,B=1,3,5,C=4,5A与C是互不相容的。A与B是相容的。用图形表示 即AC7、对立事件事件“非A,即A不发生，称为A的对立事件。也称为A的逆事件。它是由样本空间中一切不属于A的样本点组成。记作如A=1,2,3,=4,5,6易见A =,A+=-A =AA用图形表示8
7、、完备事件组假设事件A1,An两两互不相容，并且A1+An称A1,An构成一个完备事件组。A与构成一个完备事件组。假设1，2，3，4，5，6那么A1=1,2,3,A2=4,6,A3=5是一个完备事件组。用图形表示，如A1A2A3A4例1 从一批产品中每次取出一个产品进展检验，事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3)用事件的运算表示以下事件：三次都取到合格品，三次中至少有一次取到合格品，三次中恰有两次取到合格品，三次中最多有一次取到合格品。解：三次全部取到合格品：A1A2A3三次中至少有一次取到合格品A1+A2+A3三次中恰有两次取到合格品三次中至多有一次获得合格品例2 设x表示一个沿数轴
8、做随机运动的质点的位置，试阐明以下各事件的关系：A=x|x20 B=x|x3 C=x|x9D=x|x-5 E=x|x9解：A C D,B ED与B,D与E互不相容C与E为对应事件。B与C，B与A，E与A相容A与C,A与D,C与D,B与E也是相容的。符号集合含义事件含义选集样本空间，必然事件空集不能够事件 集合的元素样本点单点集根身手件A 一个集合一个事件A B A的元素在B中A发生导致B发生A=B 集合A与B相等事件A与B相等AB A与B的一切元素A与B至少有一个发生AB A与B的共同元素A与B同时发生 A的补集A的对立事件A-B 在A中而不在B中的元素A发生而B不发生AB= A与B无公共元素
9、A与B互斥2 概率概率概率是事件发生能够性的数量目的。即在多次反复后，某结果出现的比率。概率应有如下特征：(1)是事件本身固有的，可经过大量实验来检验。(2)符合普通常情，能够性大时，概率也大。普通表达能够性时用百分比。以后为方便更多地用0到1之间的小数。即0P(A)1且P()=1P()=01、典型概率要计算事件发生的能够性，对随机实验有一定要求。(1)每次实验只需有限个能够的实验结果。(2)每次实验中，各根身手件发生的能够性一样。这种实验称为古典概型实验。定义定义1 假设实验结果一共有假设实验结果一共有n个根身手件组成，且这些事个根身手件组成，且这些事件的出现具有一样的能够性，且事件件的出现
10、具有一样的能够性，且事件A由其中某由其中某m个基个基身手件组成，那么事件身手件组成，那么事件A的概率为的概率为例1 掷一枚硬币，出现正面的概率解：设硬币是均匀的只需正、反面两个根身手件。假设A表示出现正面。解：为简便，每位数字有10种选择。根身手件总数是106。事件A表示找到张某，那么A只需一个根身手件。例2 随意拨一个六位号码，正好找到朋友张某的概率。例3 袋中装有5个白球，3个黑球。从中任取两个球，计算取出的两个球都是白球的概率。解：组成实验的根身手件总数事件A表示取到两个白球，根身手件数故另解：假设以为取出的两个球有先后次序，那么根身手件总数为留意，假设以为是取出一个，放回去后再取一个。
11、那么根身手件总数是88，A的事件数为66例4 福利彩票35选7中特等奖的概率。解：不论是号码是自选还是机选，根身手件总数为A表示中特等奖，那么A只含一个根身手件，假设B表示中一等奖(对6个号码)B的根身手件数为2、统计概率古典概率要求很严厉，特别是根身手件等能够，这一点很难做到。如硬币真的是均匀的吗？随机事件在一次实验中能否发生不确定，但在大量反复实验中，它的发生却具有统计规律性。在n次反复实验中，假设事件A发生了m次，那么m/n称为事件A发生的频率。不能够事件的频率一定为0。必然事件的频率一定为1。关于掷硬币，前人做过实验。实验者掷的次数正面次数正面频率Buffon404020480.506
12、9Pearson24000120210.5005Kerrich1000050670.5067可见，掷的次数越多，频率越接近0.5如上表阐明硬币出现正面的概率为0.5。概率是事件本身固有的，实验只是协助我们了解它。定义定义2 在不变的条件下，反复进展在不变的条件下，反复进展n次实验，事件次实验，事件A发生发生的频率稳定地在某一常数的频率稳定地在某一常数P附近摆动。且附近摆动。且n越大，摆动幅越大，摆动幅度越小。那么称这常数度越小。那么称这常数P为事件为事件A的概率，记为的概率，记为P(A)。年份 新生儿总数 男婴儿数 女婴儿数 男婴频率 女婴儿概率1977 3670 1883 1787 51.3
13、1 48.691978 4250 2177 2073 51.22 48.781979 4055 2 1917 52.73 47.271980 5844 2955 2889 50.56 49.441981 6344 3271 3073 51.56 48.441982 7231 3722 3509 51.47 48.536年总计 34 16146 15248 51.48 48.52可以以为生男孩的概率近似值为0.515这种概率只能经过统计得出。又如某妇产医院几年间出生婴儿的性别记录为：3、几何概率思索一个点随机落在0,1区间。00.31假设问事件A:点落在0.5处的概率。显然 P(A)=0但A不是
14、不能够事件。而问事件B：点落在0与0.3之间的概率。那么 P(B)=0.3这种与几何外形有关的概率称为几何概率。4、关于概率的一些解释。(1)硬币出现正面的概率为(2)概率不会自动“平衡是指多次实验中正面出现的频率接近而不是多次实验中正面出现的次数接近一半。如总次数100正面55总次数10000正面5050硬币连在10个正面，下一次是什么？打牌手风很顺，该继续还是停顿？连生几个女孩，想生男孩，该继续生吗？(3)对概率的错误估计a、他以为本人买彩票会中奖吗？b、他害怕SARS吗？对可怕后果的担忧使人过高估计概率。c、一对夫妇要去买点东西，该把婴儿单独留在家中？还是带在汽车上和本人一同去？由于不可控制而错估概率。d、他以为本人买彩票会赚钱吗？过度自信使人低估了风险。
