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1、第五节第五节. . 行列式的性质行列式的性质首先引入转置行列式的概念首先引入转置行列式的概念设设n n阶行列式阶行列式称为称为的转置行列式的转置行列式. .行列式行列式如果把如果把的行依次变为相应的列,就得到一个新的的行依次变为相应的列,就得到一个新的性质性质1:行列式与它的转置行列式相等。行列式与它的转置行列式相等。证明:证明:则则由行列式定义由行列式定义说明说明:行列式中行与列地位相同,对行成立的性质:行列式中行与列地位相同,对行成立的性质 对列也成立,反之亦然。对列也成立,反之亦然。记法记法行列式的第行列式的第s行:行:行列式的第行列式的第s列:列:交换交换s、t两行:两行:交换交换s、
2、t两列:两列:推论:推论: 如果行列式有两行(列)相同,则行列式为如果行列式有两行(列)相同,则行列式为 0 。证明:证明: 把相同的两行互换,有把相同的两行互换,有DD,所以所以 D0互换行列式的两行(列),行列式的值变号。互换行列式的两行(列),行列式的值变号。性质性质2:性质性质3:用数用数 k 乘行列式的某一行(列)中所有元素,乘行列式的某一行(列)中所有元素,等于用数等于用数 k 乘此行列式。乘此行列式。推论:推论:行列式中某一行(列)的公因子可以提到行列式符号外面行列式中某一行(列)的公因子可以提到行列式符号外面记法记法第第s行乘以行乘以k:第第s列乘以列乘以k:推论:推论:若行列
3、式有两行(列)的对应元素成比例,则行列式等于若行列式有两行(列)的对应元素成比例,则行列式等于0 。性质性质4:即,如果某一行是两组数的和,则此行列式就等于两个行即,如果某一行是两组数的和,则此行列式就等于两个行列式的和,而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的列式的和,而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。对应的行一样。性质性质5:行列式的某一行(列)的所有元素乘以同一数行列式的某一行(列)的所有元素乘以同一数k后再加后再加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变。到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变。记法记法数数k乘第乘第 t 行加到第行加到第 s 行上:行
4、上:证明:证明:作作得得例例1: 计算计算利用行列式性质计算:利用行列式性质计算: 目标目标化为三角形行列式化为三角形行列式例例2: 计算计算例例4: 计算计算注:注: 上述各例都用到把几个运算写在一起的省略写法,上述各例都用到把几个运算写在一起的省略写法,要注意各个运算次序一般不能颠倒,因为后一次要注意各个运算次序一般不能颠倒,因为后一次运算是作用在前一次运算结果上。运算是作用在前一次运算结果上。例如:例如:第六节第六节. 行列式按行(列)展开行列式按行(列)展开对于三阶行列式,容易验证:对于三阶行列式,容易验证:可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。可见一个三阶行列式可以转化成
5、三个二阶行列式的计算。问题:一个问题:一个n 阶行列式是否可以转化为若干个阶行列式是否可以转化为若干个 n1 阶行列式阶行列式 来计算?来计算?定义定义1: 在在 n 阶行列式中,把元素阶行列式中,把元素所在的第所在的第 i 行和行和 第第 j 列划去后,余下的列划去后,余下的 n1 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素的的 余子式。余子式。记为记为称称为元素为元素的的代数余子式。代数余子式。例如:例如:注:注:行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。代数余子式。行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应行列式等于它的任一行(列)的各元
6、素与其对应的代数余子式乘积之和,即的代数余子式乘积之和,即定理定理1:证明:证明: (先特殊,再一般)(先特殊,再一般)分三种情况讨论,我们只对行来证明此定理。分三种情况讨论,我们只对行来证明此定理。(1)假定行列式假定行列式D的第一行除的第一行除外都是外都是 0 。所以,所以,(2)设设 D 的第的第 i 行除了行除了外都是外都是 0 。把把D转化为转化为(1)的情形的情形把把 D 的第的第行依次与第行依次与第行,第行,第行,行,第第2行,第行,第1行交换;再将第行交换;再将第列依次与第列依次与第列,列,第第列,列, 第第2列,第列,第1列交换,这样共经过列交换,这样共经过次交换行与交换列的
7、步骤。次交换行与交换列的步骤。由性质由性质2,行列式互换两行(列)行列式变号,行列式互换两行(列)行列式变号,得,得,(3)一般情形一般情形例如例如,行列式行列式按第一行展开,得按第一行展开,得证毕。证毕。行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即元素的代数余子式乘积之和等于零,即定理定理2:证明:证明:由定理由定理1,行列式等于某一行的元素分别与它们,行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和。代数余子式的乘积之和。在在中,如果令第中,如果令第 i 行的元素等于行的元素等于另外一行,譬如第另外一行,譬如
8、第 k 行的元素行的元素则,则,第第i行行右端的行列式含有两个相同的行,值为右端的行列式含有两个相同的行,值为 0 。综上,得公式综上,得公式在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式并不一定在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式并不一定简化计算,因为把一个简化计算,因为把一个n阶行列式换成阶行列式换成n个(个(n1)阶行列阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一行或某一式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有意义。但展开定理列含有较多的零时,应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。在理论上是重要的。利用行列式按行按列展开定理,
9、并结合行列式性质,可简利用行列式按行按列展开定理,并结合行列式性质,可简化行列式计算:计算行列式时,可化行列式计算:计算行列式时,可先用行列式的性质将某先用行列式的性质将某一行(列)化为仅含一行(列)化为仅含1个非零元素个非零元素,再按此行(列)展开再按此行(列)展开,变为低一阶的行列式变为低一阶的行列式,如此继续下去,直到化为三阶或如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式。二阶行列式。例例1: 1: 计算行列式计算行列式例例2:2:证明范德蒙德证明范德蒙德( (Vandermonde)Vandermonde)行列式行列式 证明:证明:用数学归纳法用数学归纳法(1) 当当n=2时时,结论成立。结
10、论成立。(2) 设设n1阶范德蒙德行列式成立,往证阶范德蒙德行列式成立,往证n阶也成立。阶也成立。 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式证毕。证毕。第七节第七节. Cramer 法则法则引入行列式概念时,求解二、三元线性方程组,当系数引入行列式概念时,求解二、三元线性方程组,当系数行列式行列式时,方程组有唯一解,时,方程组有唯一解,含有含有n个未知数,个未知数,n个方程的线性方程组,与二、三元线性方个方程的线性方程组,与二、三元线性方程组类似,它的解也可以用程组类似,它的解也可以用n阶行列式表示。阶行列式表示。Cramer法则:法则:如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零,的系数行
11、列式不等于零,即即其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式,即阶行列式,即则线性方程组则线性方程组(1)(1)有唯一解,有唯一解,例例1: 用用Cramer法则解线性方程组。法则解线性方程组。解:解:注注:1. Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数法则仅适用于方程个数与未知量个数相等相等的情形。的情形。2.理论意义:给出了解与系数的明显关系。理论意义:给出了解与系数的明显关系。3. 但用此法则求解线性方程组计算量大,不可取。但用此法则求解线性方程组计算量大,不可取。3. 撇开求解公式
12、撇开求解公式Cramer法则可叙述为下面定理:法则可叙述为下面定理:定理定理1:如果线性方程组如果线性方程组(1)(1)的系数行列式的系数行列式 则则(1)(1)一定有解一定有解, ,且解是唯一的且解是唯一的 . .定理定理2:如果线性方程组如果线性方程组(1)(1)无解或有两个不同的解,无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零则它的系数行列式必为零. .线性方程组线性方程组则称此方程组为则称此方程组为非齐次线性方程组。非齐次线性方程组。此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组。齐次线性方程组。非齐次与齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念: :齐次线性方程组齐次线性方程组易知
13、,易知,一定是一定是(2)的解,的解, 称为称为零解零解。若有一组不全为零的数是若有一组不全为零的数是(2)的解,称为的解,称为非零解非零解。有非零解有非零解. .系数行列式系数行列式定理定理3:定理定理4:如果齐次线性方程组有非零解,如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为则它的系数行列式必为0。如果齐次线性方程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组没有非零解。则齐次线性方程组没有非零解。例例2: 问问 取何值时,取何值时, 齐次线性方程组齐次线性方程组 有非零解?有非零解?解:解:齐次方程组有非零解,则齐次方程组有非零解,则所以所以 或或 时齐次方程组有非零解。时齐次方程组有非零解。