《留数及其应》PPT课件

张长华复变函数与积分变换复变函数与积分变换大学数学教程大学数学教程山东大学数学院主讲：主讲： 郑修才郑修才复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform第五章第五章 留数及其应用留数及其应用5.1 5.1 孤立奇点孤立奇点5.2 5.2 留数留数5.3 5.3 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform §§5.1 5.1 孤立奇点孤立奇点 函数不解析的点称为奇点.如果函数 f (z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域0<|z-z0|

例如 z=1是f (z)=z3-1的零点, 由于 f ‘(1) = 3z2|z=1=3  0, 从而知z=1是f (z)的一级零点. 复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 所以 在z0的去心邻域内不为零, 即不恒为零的解析函数的零点是孤立的. 由于 中的 在z0解析, 且 故 必在z0连续, 所以给定复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform该定理为判断函数的极点提供了更为简单的判别方法.复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例例3 3对对 讨论函数讨论函数 在在 处的性态。

处的性态复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform§§5.2 5.2 留数留数1.1.留数的定义留数的定义2. 如果函数如果函数f f( (z z) )在在z z0 0的邻域的邻域D D内解析内解析, ,那么根据柯西积分定那么根据柯西积分定理理 但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去心邻域 0<|z-z0|

例如不能应用留数定理复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 求函数在孤立奇点z0处的留数就是求它在去心邻域内所展洛朗级数中(z-z0)-1 项的系数 c-1 即可. 但如果知道奇点的类型, 对求留数会更有利. 如果z0是f (z)的可去奇点, 则Res[f(z),z0]=0 . 如果z0 是本性奇点, 则只好将其展开成洛朗级数. 如果z0 是极点, 则有如下规则:复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform3. (3. (极点极点) )留数的计算规则留数的计算规则规则规则2 2 如果如果z z0 0为为f f(z)(z)的的m m级极点级极点, , 则则事实上事实上, , 由于由于f f( (z z)=)=c c- -m m( (z z- -z z0 0) )- -m m+...++...+c c- -2 2( (z z- -z z0 0) )- -2 2+ +c c- -1 1( (z z- -z z0 0) )- -1 1+ +c c0 0+ +c c1 1( (z z- -z z0 0)+...,)+...,( (z z- -z z0 0) )m m f f( (z z)=)=c c- -m m+ +c c- -m m +1+1( (z z- -z z0 0)+...+)+...+c c- -1 1( (z z- -z z0 0) )m m- -1 1+ +c c0 0( (z z- -z z0 0) )m m+...,+...,规则规则1 1 如果如果z z0 0为为f f (z)(z)的一级极点的一级极点, , 则则复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform令令 z zz z0 0, ,右端的极限是右端的极限是( (m m- -1)!1)!c c- -1 1, ,两端除以两端除以( (m m- -1)!1)!就是就是Res[Res[f f( (z z),),z z0 0],],即得即得规则规则2 2, ,当当 m m=1=1时就是时就是规则规则1 1。

复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform即得 规则规则3 3复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform由规则1, 得我们也可以用规则3来求留数:比用规则比用规则1 1更简单更简单! !复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例 4 解：z = 0为一级极点。

复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例 5 解： 原式=复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform* *§§5.3.5.3.在无穷远点的在无穷远点的留数留数f f ( (z z) )在圆环域在圆环域 R R<|<|z z|<|< 内解析：内解析： 理解为圆环域内绕理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线的任何一条简单闭曲线的值与C无关, 称其为f (z)在点的留数, 记作设函数f(z)在圆环域R<|z|<内解析,C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线, 则积分复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心邻R<|z|<+内洛朗展开式中 z-1 的系数变号.复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform定理二定理二 如果如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, ,那么那么f(z)在所有各奇点在所有各奇点( (包括包括 点点) )的留数总和必等于零的留数总和必等于零. .证：除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,...,n).且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,...,n)包含在它内部的正向简单闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform所以规则4 成立.定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法, 在很多情况下, 它比利用上一段中的方法更简便.复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例 6解：复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform证明证明：复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。

留数定理又是涉及闭路积分的，要应用于定积分，必须先将定积分变为闭路积分中的一部分§5.3 5.3 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用如图，对于实积分 ，变量x定义在闭区间[a,b](线段 )，此区间应是回路 的一部分实积分要变为闭路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含闭路的一个区域中,让实积分成为闭路积分的一部分：复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform其中f(z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有 其中zk(k=1,2,...,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇点.复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例1 计算 的值.解: 由于 , 被积函数的分母在 内不为零,因而积分是有意义的. 复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例2 计算 的值.解：令复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例3解：复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.z1z2z3yCR-RROx不失一般性, 设为一已约分式.复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例 4复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例 5 解：复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform也可写为复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例6 计算 的值.解:这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的. 在上半平面内有一级极点ai,复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform例7 计算积分 的值.解: 因为 是偶函数,所以复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限下面将证明由于所以复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transformj(z)在z=0处解析,且j(0)=i, 当|z|充分小时可使|j(z)|2, 而而由于由于复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform在在r r充分小时充分小时, ,复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform 本章重点与难点本章重点与难点复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform拓展思考拓展思考 复变函数中的可去奇点与实变函数中可去间断点有何共同之处? 复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform复变函数与积分变换复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral TransformHow beautiful the sea is!。