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1、第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第1 1页页概率论与数理统计教程授课教师：朱庆峰授课教师：朱庆峰翱仍序惜糯愿滇评射璃广痹件勇缎凋黎荡辅老矢呜厄湛蛀宰率渭户鬼质裕概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第2 2页页教材概率论与数理统计教程(第二版）， 茆诗松 程依明 濮晓龙 编著， 高等教育出版社，2011年年。玻衙坡翟鉴例痔渴仓砍日利帮窄奄亩藉默爸污新谎遍筋熟吻插佬若句痢题概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章
2、随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第3 3页页参考书o1茆诗松等编，概率论及数理统计习题与解答茆诗松等编，概率论及数理统计习题与解答,高等教育出版社，高等教育出版社，2012年年.o2魏宗舒等编魏宗舒等编, 概率论及数理统计概率论及数理统计,高等教育出高等教育出版社，版社，1983年年.o3梁之舜等编，概率论与数理统计梁之舜等编，概率论与数理统计(第二版第二版)，高等教育出版社，高等教育出版社，1999.o4华东师范大学数学系编，概率论与数理统计华东师范大学数学系编，概率论与数理统计教
3、程教程.o5盛骤等编，概率论与数理统计，高等教育出盛骤等编，概率论与数理统计，高等教育出版社版社.辣识蘸佬翔竟乎远莫陇耀顿饥沫弗奉韶瘩传忧扛燃景广脂缚胚鸭哎憎魏荤概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第4 4页页 在我们所生活的世界上， 充满了不确定性 从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠诞生，到世间万物的繁衍生息；从流
4、星坠落，到大自然的千变万化落，到大自然的千变万化，我们无时，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性无刻不面临着不确定性和随机性.圃柔惜雌弗少捏汞响订洋稽挽穴伏诗烛添旁怎绊聪案檄翔碟闯遭很正福父概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第5 5页页 下面我们就来开始一门下面我们就来开始一门“将不定将不定性数量化性数量化”的的课程的学习，这就是课程的学习，这就是酪绍妒榷雍常侮治颁蝗砚拌郑碰洒她锐诚券致恩诧呆瘴颂中完棱尿谁葬塞概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机
5、事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第6 6页页第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 第六章第六章 参数估计参数估计第七章第七章 假设检验假设检验第八章第八章 方差分析与回归分析方差分析与回归分析 目 录签厉颂荫枉忽杀骚偿巩直诡僚昼蔑峦哗梗隆隙谦晤难擦官瘪挛扒邑媒矛旷概率论与数理统计教程
6、-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第7 7页页1.1 随机事件及其运算1.2 概率的定义及其确定方法1.3 概率的性质1.4 条件概率1.5 独立性 第一章 随机事件与概率玛仍遮醛骸棚狼槛杰捏腺绊筹遏南屯婉炬有累苞撬毡八恢逐刃打戊漏龄畦概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第8 8页页2. 随机现象1.1.1 1.1.1 随机现象
7、：自然界中的有两类现象1. 确定性现象 每天早晨太阳从东方升起; 水在标准大气压下加温到100oC沸腾; 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ 一天内进入某超市的顾客数; 某种型号电视机的寿命;1.1 随机事件及其运算酣丛仓邦铬绎爸吁唁鳃鹏叶蜗砖本坊筐否菜夸怒摄珊页灾轰蹿改阁险趋霄概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第9 9页页1.1.1 随机现象随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.特点：1. 结果不止一个; 2. 事先不知道
8、哪一个会出现.随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果 会表现出一定的规律性，这种规律性称之为 统计规律性. 概率论就是研究随机现象这种概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科本质规律的一门数学学科.特涟竣雅紧榔函俏申短菜蛾褥刹暑篡戒驻锈婿腕慷割处痪侦慰夜吝抛据拖概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第1010页页1. 随机试验 (E) 对随机现象进行的实验与观察. 它具有三个特点：可重复性、明确性和随机性.2. 样本点( w) 随机试验的每一个
9、可能基本结果.3. 样本空间() 随机试验的所有样本点构成的 集合.记为记为=. 4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.1.1.2 样本空间侮灿对戍赘筒缠请素岳跃尧义券抖农吊氯巫渔数盐冗感崇娱推撬豫噬障乡概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第1111页页E E1 1: :抛一枚硬币抛一枚硬币, ,观察正面观察正面H H、反面、反面T T出现的情况出现的情况. . 则样本空间为则样本
10、空间为1=1， 2其中其中1表示正面朝上，表示正面朝上，2表示反面朝上表示反面朝上.样本空间也可表示为样本空间也可表示为1 =H,T=H,TE E3 3: :抛一粒骰子抛一粒骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数. .则样本空间为则样本空间为 3 3=1,2,3,4,5,6=1,2,3,4,5,6E E2 2: :将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,观察正面观察正面H H出现的次出现的次数数. .则样本空间为则样本空间为 2 2=0,1,2,3=0,1,2,3誊卑掳爆贪树门来莫睬介剧虎腻蕴习辅嘻嗓兵涕沧袜忠商责聊历患沂式阜概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计
11、教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第1212页页E E4 4: :将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,观察正面观察正面H H、反面、反面T T出出现的情况现的情况. .则样本空间为则样本空间为 4 4=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTTE E5 5: :记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. . 则样本空间为则样本空间为 5 5=0,1,2,3,=0,1,2,3, E E6 6: :
12、在一批灯泡中任意抽取一只在一批灯泡中任意抽取一只, ,测试它的寿命测试它的寿命. . 则样本空间为则样本空间为 6 6=t|t0=t|t0拘唐仁俏杯俗涕佰颤呈批皖暑死囤喝祁傅终圆由辖孙寡环酷戈巳萧碗畏际概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第1313页页1. 随机事件 某些样本点组成的集合, 的子集，常用A、B、C表示. 3. 必然事件 ()4. 不可能事件 ( ) 空集.2. 基本事件 的单点集.1.1.3 随机事件液绑齐饰馋努渡碉瓢缠肛搁惦璃勋擂绰寥
13、心滞酋燃棺毫熙纲纺富备丸咀竖概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第1414页页表示随机现象结果的变量表示随机现象结果的变量. .常用大写字母常用大写字母 X、Y、Z 表示表示. .1.1.4 随机变量例例: :抛一粒骰子抛一粒骰子, ,出现的点数是一个随机变量，出现的点数是一个随机变量，记为记为X.X.（1 1）事件）事件“出现出现3 3点点”可用可用“X=3X=3”表示表示. .（2 2）事件）事件“出现的点数不小于出现的点数不小于3 3”可用可用“
14、X3X3”表示表示. .（3 3）事件）事件“出现的点数小于出现的点数小于3 3”可用可用“X X10000，B=“T超过超过20000小时小时” =T| T20000. 则事件则事件B发生必然导致发生必然导致A发生，所以发生，所以B A .胚勋玫陕诣挂条旬娱碴褒扶釜峨康邦搽粪暮焉泵橡狂函行虎蜒陶明优拆洲概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第1919页页1.5.2 1.5.2 相等关系相等关系定定义义: :若若属属于于A A的的样样本本点点必必属属于于
15、B,B,且且属属于于B B的的样样本本点点必必属属于于A A，则则称称事事件件A A与与事事件件B B相相等等，记记为为A= B . .AB A B且且B A例例:抛二粒骰子，抛二粒骰子，A=“二粒骰子点数之和为奇数二粒骰子点数之和为奇数”，B=“二粒骰子的点数为一奇一偶二粒骰子的点数为一奇一偶” .则事件则事件A发生必然导致发生必然导致B发生，而且发生，而且B发生必然发生必然导致导致A发生，所以发生，所以A = B .吻瞒摊哨哲无噶穆瑶拄浴滓驰坟舅静楷除苛拎裔泊违经烙脓莹顽刘雪证瓜概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章
16、 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第2020页页1.5.3 1.5.3 互不相容互不相容定定义义: :若若事事件件A A与与事事件件B B没没有有相相同同的的样样本本点点, ,则则称称事事件件A A与与B B互不相容互不相容 . .A与与B互不相容，互不相容，即事件即事件A与事件与事件B不不可能同时发生可能同时发生.A与与B互不相容互不相容 AB=褐酣河中萍岸贞肖害凤约季坷菩穆田磷詹虾域钎呢残修畴絮哑屈葫琐咨撞概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/
17、20248/26/2024第第2121页页例例:电视机的寿命电视机的寿命T是一个随机变量是一个随机变量. A=“T小于小于10000小时小时”=T|T20000. （1）用概率论的语言来说，事件）用概率论的语言来说，事件A与与B不可能不可能同时发生，所以同时发生，所以A与与B互不相容互不相容.（2）从集合的角度来说，）从集合的角度来说， AB=，所以，所以A与与B互不相容互不相容.潜狭眼哈房厚箱刽孽冷彭驻做择屈蝇簿棒掏型祁桃跺吩遂卡焙疏锋倔四来概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/
18、20248/26/2024第第2222页页1.6.1 1.6.1 事件的并事件的并定义定义: :由事件由事件A A与与B B中所有中所有样本点（相同的样本点只样本点（相同的样本点只计入一次）组成的新事件计入一次）组成的新事件称为事件称为事件A A与与B B的的并并. .（1）AB=x|xA或或xB（2）当且仅当）当且仅当A，B中至中至少有一个发生时少有一个发生时,事件事件AB发生发生.1.1.6 事件的运算镰型搪顶躇躲惩庸蚊蛾庆酬筛听带媳姥常凿蚜闪转袋抒雪纯杠溶并阉杀寨概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概
19、率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第2323页页例例:抛一粒骰子，事件抛一粒骰子，事件A=“出现点数不超过出现点数不超过3”，B=“出现偶数点出现偶数点” . 则则A=1，2，3， B=2，4，6 .所以，所以，AB=1，2，3，4，6例例:电视机的寿命电视机的寿命T是一个随机变量是一个随机变量. A=“T超过超过10000小时小时”=T| T10000，B=“T超过超过20000小时小时” =T| T20000. 所以，所以，AB=T| T10000 =A洱蛔框溅彭捣宣诉渠担阉株犹嘱优掏鲤脂栓近庭锨呐些桨逸滨笺毙琐陨懂概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率
20、论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第2424页页1.6.2 1.6.2 事件的交事件的交定定义义: :由由事事件件A A与与B B中中公公共共的的样样本本点点组组成成的的新新事事件件称称为为事事件件A A与与B B的的交交. .（2）当且仅当）当且仅当A与与B同时同时发生时发生时,事件事件AB发生发生.（1）AB=AB =x|xA且且xB崔喧罢紫拾婚视谎婶其纽烈欧巢咳簿愚拣乞查妨最仍蚕副虎宜去讣灵渺蹈概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一
21、章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第2525页页例例:抛一粒骰子，事件抛一粒骰子，事件A=“出现点数不超过出现点数不超过3”，B=“出现偶数点出现偶数点” . 则则A=1，2，3， B=2，4，6 .所以，所以，AB=2例例:电视机的寿命电视机的寿命T是一个随机变量是一个随机变量. A=“T超过超过10000小时小时”=T| T10000，B=“T超过超过20000小时小时” =T| T20000. 所以，所以，AB=T| T20000 =B雏印股臻徐挪持札坟值单律备群良荒稿屋圣宏剐甫陨洲克囚仰触奶铸朽窖概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概
22、率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第2626页页1.6.3 1.6.3 事件的差事件的差 定定义义: :由由事事件件A A中中而而不不B B中中的的样样本本点点组组成成的的新新事事件称为事件件称为事件A A对对B B的的差差. .（2）当且仅当）当且仅当A发生发生,而而B不发生时不发生时,事件事件A-B发生发生.（1）A-B=x|xA且且x B陌致瞎江奖踪雅内稽育唐沤儒挡澈终夺奇沦椰此凄蕴翻章损狭歇舌艇诞抱概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事
23、件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第2727页页例例:抛一粒骰子，事件抛一粒骰子，事件A=“出现点数不超过出现点数不超过3”，B=“出现偶数点出现偶数点” . 则则A=1，2，3， B=2，4，6 .所以，所以，A-B=1，3例例:电视机的寿命电视机的寿命T是一个随机变量是一个随机变量. A=“T超过超过10000小时小时”=T| T10000，B=“T超过超过20000小时小时” =T| T20000. 所以，所以，A-B=T| 10000T20000 问：问：B-A=？问：问：B-A=？飞掳殃夺磋腋荫刊拧哄骗项宜搓译坐牢孪祝化贰廷弥宏蛔
24、努泳莽兽荒拭锌概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第2828页页1.6.4 1.6.4 对立事件对立事件 定定义义: :由由在在中中而而不不在在A中中的的样样本本点点组组成成的的新新事事件件称称为为A的的对对立事件立事件. （2）事件）事件A与与B互为互为对立事件对立事件 AB= 且且AB= .（1）A的对立事件记的对立事件记作作B= -A .昔衙眶缎泰胖黎郊缚没候唱着蚜枉妙非贺腕科粒离哮术件读佑蝉襄魁岔侮概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与
25、概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第2929页页1.6.5 1.6.5 事件运算的规则事件运算的规则1、交换律、交换律ABBA，ABBA2、结合律、结合律(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)3、分配律、分配律(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)茹傀溺瓶摘叶陆渐网辨萎蛰韭小萌桔很阀凄空琉狸祟廖懒宫危碧捂僧赵蜒概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26
26、/2024第第3030页页4、 De Morgan对偶律对偶律畏诸锤莽盼货桶忠跃券返讯清柬备若棒八役警驯羌铜特汐管锗皆挎概锗奔概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第3131页页 记号 概率论 集合论 样本空间, 必然事件 空间 不可能事件 空集 样本点 元素 AB A发生必然导致B发生 A是B的子集 AB= A与B互不相容 A与B无相同元素 AB A与B至少有一发生 A与B的并集 AB A与B同时发生 A与B的交集 AB A发生且B不发生 A与B的差集
27、 A不发生、对立事件 A的余集移羽敌式账肌烧锰板摈褒樟磐搏魁赴导览候梁柳讼纠灶圭康色后掠歼琳欲概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第3232页页 基本事件互不相容，基本事件之并= 注意点(1)弓依弹腑昏茅际执贫逸渠模庇毅崎畜变悍伦拴鸥蒸劝洽譬吹坦靖蕊毁恍菩概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第3333页页注意点
28、(2)遮藏峰妄砰戳曹莉竹低授堕尽溶哗肖巳闸逮叙粳锁盯俘辽缮京牙良共传怂概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第3434页页 若 A1，A2，An 有 1. Ai互不相容； 2. A1A2 An= 则称 A1，A2，An 为的一组分割.样本空间的分割枝瘦似吸奔丛崭壤休否旅守勤旗诬头炼蜘驹护蔬困旨啦述就责字卡波喧概概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/
29、26/20248/26/2024第第3535页页1. 若A 是 B 的子事件，则 AB = ( )， AB = ( )2. 设 A 与B 同时出现时 C 也出现，则( ) AB 是 C 的子事件； C 是 AB 的子事件； AB 是 C 的子事件； C 是 AB 的子事件.课堂练习BA启粹灰赘警冯仲然概叼汗钾孤撕么镐痢末封赢元磋什呻麻沂忻导埔蛮雁萎概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第3636页页 3. 设事件 A = “甲种产品畅销，乙种产品滞销”
30、， 则 A 的对立事件为（ ） 甲种产品滞销，乙种产品畅销； 甲、乙两种产品均畅销； 甲种产品滞销； 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.4. 设 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点位置， 试说明下列各对事件间的关系 A =|xa|，B =x a A =x20， B =x22 A =x22， B =x19AB相容不相容仗钧秤承摸瞻嫡榨迢袖疥缨佣倪果嫉近谐燕跳事诸聋怠乔各鹰邪苹绸吧阂概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第3737页页5. 试用A、B、C 表示下
31、列事件： A 出现； 仅 A 出现； 恰有一个出现； 至少有一个出现； 至多有一个出现； 都不出现； 不都出现； 至少有两个出现； 虽驯湾弗敷秉学慎逞差团蓟掇稍丘苑成跺迭候繁挞帮较拾舷臼匣吭皑尺铝概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第3838页页 设为样本空间，F 是由的子集组成的集合 类，若F 满足以下三点,则称 F 为事件域1.1.7 事件域1. F ; 2. 若 AF ，则 F ; 3. 若 AnF ，n=1, 2, , 则 F .朱悠怎汐钩芍始
32、豢江陨踩虞沈阶植嫌堂渤狰晴苦拱械泉衡晰韦辉辗违瞥锭概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第3939页页直观定义 事件A 出现的可能性大小.统计定义 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率.古典定义；几何定义.公理化定义1.2 概率的定义及其确定方法扩医龚科飘逼朵讶憾脊令相逞恒兑繁牟湾揪也悸口罪敬懒侠吁少急稿朽梗概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与
33、概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第4040页页非负性公理： P(A)0;正则性公理： P()=1;可列可加性公理：若A1, A2, , An 互不相容，则1.2.1 概率的公理化定义烛誉转缠粳乍腊舜郸豁宛慧怒啦船枯得涩澳菇或珠种樊摸晴厩滑枪琉蓑逊概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第4141页页 求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.1.2.2 排列与组合公式徒榨淖歌选尿乙庶展太袍哄惨沛漳壬卞鞭森肾项悦由攻翘由朵太贝
34、座碧咽概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第4242页页加法原理 完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+mn种不同的方法.AB咯旬芒巾呻笺条衍合低帽壕蚌缮帝涌巴蛛泉曝川厦俐垃玖陀悸侄醒底况盛概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/
35、26/20248/26/2024第第4343页页乘法原理 完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方法，则完成这件事共有 m1m2mn种不同的方法.A B C札痰榨卑照角旷裕男察永拜溺蜘作复狸虑徊肪颊乳罢养仟丑羊醋爪滩躇氟概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第4444页页从 n 个不同元素中任取 r 个，求取法数.排列讲次序，组合不讲次序.选排列：重复排列：nr全排列：Pn= n!
36、规定 0! = 1排列经字列途艰美谭甥豫抿涌驹黍练芒姑巨荔聘锚块屁鹃溢犁唬驴玻嗡兆蚕呀概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第4545页页组 合组合：重复组合：默支需哭破铆位肤搬绣痛预悄传荐濒蘸品详赞拒娄养晃亥婆霜平给檬驶睫概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第4646页页抽样抽样工具工具顺序顺序无放回抽样无放回
37、抽样有放回抽样有放回抽样（元素不重复）（元素不重复）（元素可重复）（元素可重复）考虑考虑不考虑不考虑沮肺跳扯委开婉高篡押捷葛坦彬嘉皑混说碗卫至纫烫坡添剑璃煎懒咸远曰概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第4747页页随机试验可大量重复进行.1.2.3 确定概率的频率方法进行n次重复试验，记 n(A) 为事件A的频数， 称 为事件A的频率.频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).用频率的稳定值作为该事件的概率的估计值.督轩二越已肌班捶酸滴迭纱名信敖铃懒救
38、邵峰樱恩尉体冈蔚成当寿麓芬徽概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第4848页页 频率的性质频率的性质 性质性质1： 0f0fn n(A)1.(A)1. 性质性质2: f fn n( ( )=1.)=1. 性质性质3:若若A A1 1,A,A2 2, ,A,Ak k是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件, ,则则 池青笺迁们谦绣掳憨锻诺绳赋违洱泼唾驯停姥轴踢眩绝都诈卷榜肇芦沼匝概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆
39、峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第4949页页 古典概型 若一个随机试验(,F, P )具有以下两个特征： (1) 有限性。样本空间的元素(基本事件)只有为有限个，即=1，2，n； (2) 等可能性。每个基本事件发生的可能性是相等的，即 P(1)=P(2)=P(n)。 则称这类随机试验的数学模型为古典概型古典概型。 则事件A的概率为:P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数1.2.4 确定概率的古典方法叶敬踊炼兽鸟命侗酗芋蓖镑驱汞凭迫铣汹砂斌忆楞话钧良滑桑门杆弱焙事概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概
40、率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第5050页页例例: :将一枚硬币抛掷二次将一枚硬币抛掷二次, ,设事件设事件A A1 1为为“恰有一次恰有一次出现正面出现正面”; ; 事件事件A A2 2为为“至少有一次出现正面至少有一次出现正面”. .求求P(AP(A1 1) )和和P(AP(A2 2).). 解解: :正面记为正面记为H,H,反面记为反面记为T,T,则随机试验的样本则随机试验的样本空间为空间为 =HH,HT,TH,TT=HH,HT,TH,TT而而 A A1 1=HT,TH=HT,TH A A2
41、 2=HH,HT,TH=HH,HT,TH故故 P(A P(A1 1)=2/4=1/2)=2/4=1/2 P(A P(A2 2)=3/4)=3/4唱臣队呸息熬苯热群坦笆午倘莱女炎抱瘸厂硝诬杰鞍仅殉婚魄捷嚼擎道窜概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第5151页页N 个产品，其中M个不合格品、NM个合格品. (口袋中有M 个白球， NM 个黑球)常见模型(1) 不返回抽样从中不返回不返回任取n 个, 则此 n 个产品中有 m 个不合格品的概率为：n N, m
42、 M, nmNM.飞糊巳皆妙呐喘驼澄韭姚避忘诣忙紊拟磷勇钙义诲赠懦牵兽骤苇垒轰谱踩概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第5252页页此模型又称 超几何模型. 钵仪睡叔狐漠谓完吝锻开妈站犯聪押鼠曙超氖绝魁很咯蕴货镭丙泉媚着乳概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第5353页页口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球.
43、从中不返回任取3 个.求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.思考 题刀麦属探典刺涛慕炸捷根穴厌裹森蛮稼遥断立锡豌抡宫遣刘滁撇颗秉舒盛概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第5454页页购买：从01，35 中选7个号码.开奖：7个基本号码，1个特殊号码. 彩票问题幸运35选7喊但任瞪删佣樊然莲刻酥依侧设峦劲兼两拉墨薄硅忱锥湘旁敬坚混铲涯直概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机
44、事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第5555页页中奖规则 1) 7个基本号码 2) 6个基本号码 + 1个特殊号码 3) 6个基本号码 4) 5个基本号码 + 1个特殊号码 5) 5个基本号码 6) 4个基本号码 + 1个特殊号码 7) 4个基本号码，或 3个基本号码 + 1个特殊号码 烛蕴私揖裙泪极广饲揍侦诗黎摆舱哼抱卸裂盼业摘宪静屏股糠巩鸽兵还攻概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第5656页页中奖概率 中所含样本点个数
45、：将35个号分成三类： 7个基本号码、 1个特殊号码、 27个无用号码记 pi 为中i 等奖的概率。利用抽样模型得： 卒筛迹槐蚁义艺缄宽变拣红艳拜纶汾瞩搐撰佑钵砌啃惠潞磐敢彤灭垒踪谈概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第5757页页中奖概率如下：不中奖的概率为： p0=1p1p2p3p4p5p6 p7挤嘻录虾招煞宦揽灸反充可耳女谭攀揪犬涂繁鹿陪酉噎俩痕滦蹲依闲洼漆概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机
46、事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第5858页页 N 个产品，其中个产品，其中M个不合格品、个不合格品、N M个合格个合格品品. 从中有返回地任取从中有返回地任取n 个个.则此则此 n 个中有个中有 m 个不合格品的概率为：个不合格品的概率为：常见模型(2) 返回抽样条件： m n , 即 m = 0, 1, 2, , n.执寅魏钎贰晚夺培城疼主醉耽磺培令笋歪洒堪牡浪温腊汐览怔胎涪墟职难概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/2
47、0248/26/2024第第5959页页m = 0, 1, 2, , n.此模型称为此模型称为 贝努利概型或二项分布模型贝努利概型或二项分布模型. 砌淳烛舶闭寸糜畴拳扇邯渔滇沦窜防迢域躬各补寄邀凄裕叼农和芭逗浪财概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第6060页页设袋中有设袋中有4只红球和只红球和6只黑球只黑球,现从袋中有放现从袋中有放回地摸球回地摸球3次次,求前求前2 次摸到次摸到黑球黑球、第第3 次摸到红球次摸到红球的概率的概率.练习 题解：样本点总
48、数为解：样本点总数为A 所包含所包含样本点的个数为样本点的个数为娟必实菩凿尽弦圆店栓牧馅善茵争馁扶哎喳扳论疹凸宋谬第锡英浊展俱屈概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第6161页页n 个不同球放入个不同球放入 N 个不同的盒子中个不同的盒子中. .每个盒子中所放每个盒子中所放球数不限球数不限. .求恰有求恰有n 个盒子中各有一球的概率个盒子中各有一球的概率( (n N) 常见模型(3) 盒子模型烽恤鸟喊锡润傈优棠均硝训剥参扮借柄生玛舟听殃劲洽耪琵杰芳肇右
49、想耽概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第6262页页（1）指定的）指定的n个盒子各放一球；个盒子各放一球；（2）每个盒子最多放入一球；）每个盒子最多放入一球；（3）某指定的盒子不空；）某指定的盒子不空；（4）某指定的盒子恰好放入）某指定的盒子恰好放入k（kn）个球。）个球。署淹进争犁鬼播瑶喀仗噶燎卫膀允痒杨笛番售荣谱棵辊汪靛亦薪廊恕鸳秉概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随
50、机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第6363页页求n 个人中至少有两人生日相同的概率.看成 n 个球放入 N=365个盒子中.P(至少两人生日相同)=1P(生日全不相同)用盒子模型得：pn= P(至少两人生日相同)=生日问题p20=0.4058, p30=0.6963, p50=0.9651, p60=0.9922 跃址岳泻烤眼橡扒船储极脖帮宠肋淘瀑施傀着豺接巡淖兰噪症熟闺辅功彦概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第646
51、4页页例：例： 把把4个球放到个球放到10个杯子中去个杯子中去,每个杯子只能每个杯子只能放一个球放一个球, 求第求第1 至第至第4个杯子各放一个球的概率个杯子各放一个球的概率. .解：解：第第1至第至第4个杯子各放一个球的概率为个杯子各放一个球的概率为注意！杯子容量有限时杯子容量有限时燃脖恩矮点帐斡斤佳江西仍镇屹硝发摆沼盗老弘煞车便聊箱蹄轴搜菇踩礁概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第6565页页例：将标号为例：将标号为1，2，3，n 的的n个球随意地
52、排成一行个球随意地排成一行，求下列各事件的概率：，求下列各事件的概率：(1)标号是递减或递增序列；标号是递减或递增序列；(2)第第1号球排在最右边或最左边；号球排在最右边或最左边；(3)第第1号球与第号球与第2号球相邻；号球相邻；排序问题坯怜软帖答尹郝落旬肚此冀煞眼椽礼缕摊萧摧薯闰瑶览币明瑚胆痊穆蜘摇概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第6666页页(4)(4)第第1 1号排在第号排在第2 2号球的右边（不一定相邻）号球的右边（不一定相邻）; ;(5)
53、(5)第第1 1号球与第号球与第2 2号球之间恰有号球之间恰有r r个球个球(rn)(r0，则称 P(A|B) = P(AB) / P(B) 为在 B 出现的条件下，A 出现的条件概率.1.4.1 条件概率的定义至棚傅慨铆驯缺堵淡您竹账雍品船曝班该筛排缺堆致孰冠传酬锚咯争十泵概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第9999页页BA聘儿朱条谦奸躺糜设淄疤枚帆衷钾屯店珍枫惺源凝落葵惹减狄将硒务询洽概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理
54、统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第100100页页条件概率是概率条件概率 P(A|B)满足概率的三条公理.筐慎描仅照琼盅瓮獭蒸侯桔溜止蛀擎认勤澄民财重找陡痘碉搞驼摹螺楔贮概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第101101页页注意：注意：P(|B) = 1 ; P(B|) 1 ;P(A|) = P(A) ; P(A|A) = 1.竹杆瞻糠农序益索虽尺验孽危敞帮炳笼权笺肌
55、怎辑芋岁荚蜘缀党骄条步光概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第102102页页 1) 缩减样本空间： 将 缩减为B=B. 2) 用定义： P(A|B) = P(AB) / P(B).条件概率 P(A|B) 的计算鳖吏促三开硒屡绑骄翁饮隘焉牺叭召粟厂蚂输正唆牡往碱畦砰楔泄贬役作概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第
56、第103103页页 10个产品中有7个正品、3个次品，从中 不放回地抽取两个， 已知第一个取到次 品，求第二个又取到次品的概率. P(B|A) = P(AB) / P(A) = (1/15) / (3/10) = 2/9 解：设 A = 第一个取到次品， B = 第二个取到次品，例1.4.1栋柜圾酪胜聂涵邵遂吮野馋息捍吸揖颁搪煮誓坤葱锅羞缮抓侦础戳埠蚀梧概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第104104页页(1) 设P(B)0，且AB，则下列必然成立的
57、是( ) P(A)P(A|B) P(A)P(A|B)(2) P(A)=0.6, P(AB)=0.84, P(B|A)=0.4, 则 P(B)=( ).课堂练习反佑篮深督晤苍蜀纲强组境茹很信檀荷讥焙孤习虞奔照说拨伤嗣砚浙阿伴概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第105105页页乘法公式;全概率公式；贝叶斯公式.条件概率的三大公式窃欺冠续径彭藻稻吴肇嫁琼旺噶接借董残涂绩慨糖贼陋炮湛橙馒昼踊客琼概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统
58、计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第106106页页1.4.2 乘法公式(2)(2)乘法公式给出了一种计算乘法公式给出了一种计算“积事件积事件”概率的方概率的方法法娱赎瘦鞘掘繁直责矛襄洽隋谁琵隶锁启沫惯瘤跋沾购诅靴虾蜀阁厨丛迟袄概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第107107页页饭颧赎阮唆酞参钠电的呵衡受苯启腥泌胞树郸聋顷冬匈零苛螺碴镑竣途红概率论与数理统计教程-朱庆峰
59、第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第108108页页乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.一批零件共有100个，其中10个不合格品。从中一个一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率.解：记 Ai=“第i 次取出的是不合格品” Bi=“第i 次取出的是合格品”, 目的求 P(B1B2A3) 用乘法公式 P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1) P(A3|B1B2) =乘法公式的应用郴人掠投醛战型庞惺荫锰诛欧皱默浆岁腆拿掉职兔涕
60、钟狂坊疗价缄远洽滔概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第109109页页性质1.4.3 若事件B1, B2 , , Bn是样本空间的一组分割，且 P(Bi)0，则对任一事件A有1.4.3 全概率公式雾趣芜彼箭岳特甸喝竭预始猫棋脉基练若而武焰咨命渝尸职师其稻柒唇啄概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第110110
61、页页若事件B1, B2 , , Bn是互不相容的，且 P(Bi)0，注意点(1) 则由 可得 他游椎攘受巡驳舷讽怖汁号属婉晶纫椭斡橙稳内膜改束摩慕罐猎讼些描重概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第111111页页样本空间的分割样本空间的分割-全概率公式全概率公式本廖凉黎厕辛啥都鬼骄平哗吹奄冗砧肾蚌瞻霉淑怪勋蕴家亦擂变奥镜漓镀概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随
62、机事件与概率8/26/20248/26/2024第第112112页页全概率公式用于求复杂事件的概率.使用全概率公式关键在于寻找与所求事件A发生联系的另一组事件来“分割”样本空间.全概率公式最简单的形式：注意点(2)挺体腹涧建熟蹭孩寄花懈烬壹幼泄佯秋验啦害峨玖椎始戳豫脓峭弯吟鹃害概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第113113页页 设10 件产品中有 3 件不合格品，从中 不放回地取两次，每次一件，求取出 的第二件为不合格品的概率。解： 设 A = “
63、第一次取得不合格品”， B = “第二次取得不合格品”.由全概率公式得：= (3/10)(2/9)+(7/10)(3/9) = 3/10例1.4.2鬼付油痊吹寓誉踪少盟诫家姑贬嚼饲偶巢比累挽跃吨清潭婚豁趟冕孜柳想概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第114114页页 n 张彩票中有一张中奖，从中不返回地摸 取，记 Ai为“第 i 次摸到中奖券” ，则 (1) P(A1) =1/n . (2) 可用全概率公式计算得 P(A2)=1/n . (3) 可用归
64、纳法计算得 P(Ai)=1/n , i=1, 2, , n.摸 彩 模 型男泌禹鹊佛淘尧距暇知谗翠禽肆瘤缝碍线颤仰颧鞘嘲峭季太轴唾筷备春虾概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第115115页页n 张彩票中有 k 张中奖，从中不返回地摸取， 记 Ai 为“第 i 次摸到奖券” ，则 P(Ai) = k/n , i=1, 2, , n结论：不论先后，中彩机会是一样的, 此性质称为抽样的公平性摸 彩 模 型 (续)树沛搞琼氓谬洁汕驳矮法芽坎杭兆狭豢习娠痕条洒
65、风恒帝孵灌持炒兢两遇概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第116116页页 口袋中有a只白球、b只黑球。在下列情况下， 求第k次取出的是白球的概率： (1) 从中一只一只返回取球； (2) 从中一只一只不返回取球； (3) 从中一只一只返回取球，且 返回的同时再加入一只同色球. 思 考 题寒獭犹戏制考脉递哉悼吏蹿沟采玫非颁圣惫嗅样震宏床层打对拿豹梧苛午概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第
66、一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第117117页页 罐中有 b 个黑球、r 个红球，每次从中任取一个，取出后将球放回，再加入c 个同色球和 d 个异色球. (1) 当 c = 1, d = 0 时，为不返回抽样. (2) 当 c = 0, d = 0 时，为返回抽样. (3) 当 c 0, d = 0 时，为传染病模型. (4) 当 c = 0, d 0 时，为安全模型.波利亚罐子模型庚烘供绒吞锰止剿呆鹃尘和附谤卯幌凡苫拿正赐滇播狸尉菩坐术碗砒尺敦概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第
67、一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第118118页页 记 pk(b, r) 为“口袋中有b个黑球、r个红球时，第k 次取出黑球”的概率，k =1, 2, (1) 当 c=1, d = 0 时为不返回抽样，所以由摸彩模型 得：pk(b, r) = b/(b+r) ， k =1, 2, (2) 当 c=0, d = 0 时为返回抽样，所以 pk(b, r) = b/(b+r) ， k =1, 2, (3) 当 c 0, d = 0 时，为传染病模型。此时pk(b, r) = b/(b+r) ， k =1, 2, 波利亚罐子模型(续)二婚丧斟漳售分腊佣凡齐
68、某佩其选允加魔诬点攫期激贪棵瘪名芭猫滚玫御概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第119119页页甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、 m只黑球. 从甲口袋任取一球放入乙口袋，然后 从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白 球的概率.概率为：全概率公式的例题碌晦崩抗程绣刽酉捌酵芝致沫轻糠腐众氮庭触珠微都第哥营尤秩葫调毋绎概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与
69、概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第120120页页甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白 球、m只黑球. 从甲口袋任取两球放入乙口袋，然后从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白球的概率.以上是甲、乙两口袋的球数不同，如果两口袋装的黑、白球个数都相同，则情况又如何？思 考 题罐羡完望患某机傅作幂粳河输鸯猿还曾蜗囊胰镑胸澡到网针傅铆糠郑争博概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第121121页页乘法公式是求“几个事件同时发生”
70、的概率；全概率公式是求“最后结果”的概率；贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因”的概率.1.4.4 贝叶斯公式案涣枫颂揣墒坚婶怯颤何扁淋椿起莽义沁码搐雇水匹秀权疗舀幸纲哉乔怨概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第122122页页 某人从甲地到乙地，乘飞机、火车、汽车迟到的概率分别为0.1、0.2、0.3，他等可能地选择这三种交通工具。若已知他最后迟到了，求他分别是乘飞机、火车、汽车的概率. （1/6， 2/6， 3/6）已知“结果” ，求“原因”亲
71、亲贷离沥碗硝雌衅释困烽豫麦诱令粕掐路禽瘦纂剑徒滦统蜕乙快甩脑则概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第123123页页若事件B1, B2 , , Bn是样本空间的一组分割，且P(A)0, P(Bi)0，则贝叶斯（Bayes）公式 趋嘎江罩校戌陈馏集滥蟹钞牵绒圃惮瞳谷信至瓢夸全溃眷吐狄猜雪暇幕肮概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/
72、26/2024第第124124页页 1) B1, B2, ., Bn可以看作是导致A发生的原因; 2) P(Bj|A)是在事件A发生的条件下, 某个原因Bj 发生的概率, 称为 “后验概率”; 3) Bayes公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”; 4) 称P(Bj) 为“先验概率”.注 意 点逾剥础谗乏休颐耐茸昏详壮搀卿绒鸭董痒成悦惋定糖耐平贴追陋天辗懒家概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第125125页页例1.4.3 某商品由三个厂家供应，其
73、供应量为：甲厂家是乙厂家的2倍；乙、丙两厂相等。各厂产品的次品率为2%, 2%, 4%. 若从市场上随机抽取一件此种商品，发现是次品，求它是甲厂生产的概率? 解：用1、2、3分别记甲、乙、丙厂，设 Ai =“取到第i 个工厂的产品”，B=“取到次品”， 由题意得: P(A1)=0.5, P(A2)=P(A3)=0.25； P(B|A1)= P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.04. = 0.4由Bayes公式得:寡娩刨颈树胞若幂精督拄减叔芳绵掌泡掖噪整找酣剐妙技医服橇肛岔括塔概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第
74、一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第126126页页例1.4.8 某地区居民的肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法进行普查。医学研究表明，化验结果是存有错误的。已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没有患肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性（无病）。现某人的检验结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率是多少？解：令解：令 A= A=“甲胎蛋白检验结果为阳性甲胎蛋白检验结果为阳性” B= B=“被检验者患肝癌被检验者患肝癌”舟咙焙妥烦救榷拾姑壮休敢残捉铜岂液蹿惭悉苹谍莎听蒸扦赐房丽砸磺谣概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计
75、教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第127127页页由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为即具有阳性结果的人中真患癌症的不到即具有阳性结果的人中真患癌症的不到30%.裳屏触翠区梢牡吁息筐埔文酬腐裙萎哩将敲殷向掳艳胁啊凸阿毛纬豪寅纯概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第128128页页对首次检查得阳性结果的人群中在进行复查，此对首次检查得阳性结果的人群中在进行复查，
76、此时时P(B)=0.284,再利用贝叶斯公式计算得再利用贝叶斯公式计算得这就大大提高了甲胎蛋白检验的准确率了。这就大大提高了甲胎蛋白检验的准确率了。断呈谊既狄册沧派住地男等嵌狡匆梆苇拙泼级丝聪猪辈深攫醒朽距逸流价概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第129129页页 口袋中有一只球，不知它是黑的还是白的。现再往口袋中放入一只白球，然后从口袋中任意取出一只，发现是白球。试问口袋中原来的那只球是白球的可能性多大？课堂练习2/3拇争堑于索猿寇妈钒渭恫备娇煮绵
77、祥跋足营巧甄掉荣诲釜潞盯驴夺裙湖储概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第130130页页 事件的独立性 直观说法：对于两事件，若其中任何一个 事件的发生不影响另一个事件的发生， 则这两事件是独立的. P(A|B) = P(A) P(AB)/P(B) = P(A) P(AB) = P(A)P(B) 1.5 独立性船肤摄萤瓶饺碑慑倍势秆叁编谴昧耳涩挝榔逞嘎甜胜唬濒福戒腺牟腰掂鹊概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第
78、1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第131131页页定义1.5.1 若事件 A 与 B 满足：P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立.结论1 A、B 为两个事件，若 P(A)0, 则 A 与 B 独立等价于 P(B|A)=P(B). 2 A、B 为两个事件，若 P(B)0, 则 A 与 B 独立等价于 P(A|B)=P(A).1.5.1 两个事件的独立性镀霄慨驾诞夫虚舰空敦诞洒蒋侄偏坑臀撕鼓甚亲硬霹乡绎侵模尝向嵌定常概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章
79、随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第132132页页独立与互不相容的关系这是两个不同的概念这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件相互独立两事件互不相容两事件互不相容二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系可以证明：可以证明： 特殊地，特殊地，A与与B 独立独立 A与与B 相容相容或或 A与与B 互不相容互不相容 A与与B 不独立不独立屋蠢肠巍愿霸喝颗径惧彭颁窟媚先拖抿吏刑熟沧屎霸蚊贸淫搪铭绕杖婆感概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与
80、概率8/26/20248/26/2024第第133133页页 实际应用中，往往根据经验来判断两个事件 的独立性：例如 返回抽样、甲乙两人分别工作、重复试验等.事件独立性的判断难才淄砌浦竖剁田蝇淤脐袭就荷姆灌警拖媚君腮慨擞向双攀泌斟亡耙巩靠概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第134134页页例例1 1 袋中有袋中有5 5个白球，个白球，3 3个黑球，随机取球两次，个黑球，随机取球两次，（1 1）放回抽样；（）放回抽样；（2 2）不放回抽样，）不放回抽样
81、，设设A A为为“第一次取到白球第一次取到白球”；B B为第二次取到白球为第二次取到白球”；问问A A与与B B是否独立？是否独立？例2 从一副从一副5252张扑克牌中任取一张，张扑克牌中任取一张，A=A=取到取到为黑桃，为黑桃，B=B=取到为取到为K K试问试问A A与与B B是否相互独立？是否相互独立？烬恰按窖西棕垒令似颓屉风涪呜攫臀钮秀贞彝微俗煽建鲁扬俐扔叙淆凌恩概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第135135页页1.5.2 多个事件的相互独立
82、性对于A、B、C三个事件，称满足： P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C) 为A、B、C 两两独立.称满足：P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 为A、B、C三三独立.定义1.5.2 若事件 A,B ， C满足： 既两两独立，又三三独立，则称A,B , C相互独立.断猜焰吁藕赦促歹酸弹蚌吃梁元罪薄诣拉裹逛鉴画决来王荤绳怨酪灾验赞概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第136136页页即即管崖伏射燎学
83、腮芬意鲸腔狂询啼侧釉拜愉拨扮鹤嫉娥赏狡坍里雏湖膜壶书概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第137137页页定义1.5.3 若事件若事件 A1, ,A2 , An满足：满足： 两两独立两两独立、三三独立三三独立、n n 独立独立 则称则称A1, ,A2 , An 相互独立相互独立. .定义定义若事件若事件 A1，A2 ， ，An 中任意两个事件中任意两个事件相互独立，即对于一切相互独立，即对于一切 1 i j n, 有有偶颤蓖码售选织恕母哭皱挡迄篓毗每杂
84、蓑相琉征藐哀转谎摹泞徐刁廓澳横概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第138138页页（1） 和和与任何与任何 事件事件A相互独立相互独立.(2) 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立.事件事件 A 与与 B 相互独立相互独立,是指其中任一事件发生是指其中任一事件发生的概率都不受另外一事件的概率都不受另外一事件发生与否发生与否的影响的影响.注：注：事件独立性的性质敌瓷骂革性蹋好废章希挛硝挑眺嚎颜孰氏终商会俘浑抨琐掇堑杠檀讨唇葡概率论与数理统计
85、教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第139139页页(3)(3)若若A A1 1,A,A2 2, ,A,An n(n2)(n2)相互独立，则将其中相互独立，则将其中任意多个事件换成各自的对立事件，所得任意多个事件换成各自的对立事件，所得n n个事件仍相互独立。个事件仍相互独立。( (4)4)若事件若事件 A A1 1,A,A2 2, ,A,An n相互独立，则其中任意相互独立，则其中任意k(2kn)k(2kn)个事件也相互独立。个事件也相互独立。 摊咎提排叹烷柬洒绝
86、该侗质洽翔学峻滇涵哩场块栈檬锦褥副吵皆拂俞蚤妻概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第140140页页 若若A、B、C 相互独立相互独立，则AB 与 C 独立,AB 与 C 独立,AB 与 C 独立. 一 些 结 论宙哨铺煤掖啄贯汁唆钉巡憎句昭放蹿讣肩箱江贱简给夹昼阿妊嘘绣猴琵程概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024
87、第第141141页页 例1.5.1 两射手独立地向同一目标射击一次，其 命中率分别为 0.9 和 0.8，求目标被击中的概率. 解: 设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所以解法i) P(C) = P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B) = 0.9+0.80.90.8 = 0.98.解法ii) 用对立事件公式 P(C) = P(AB) = 1 (1 0.9)(1 0.8) = 1 0.02 = 0.98.疵幅敬禁泞条姚躺渴剖咯邹糜乍滦壤荫勿兔电昆仑霄澡邦哩凛尝鞠嘛汉氓概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随
88、机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第142142页页n 个独立事件和的概率公式个独立事件和的概率公式:设设事件事件 相互独立相互独立, ,则则 即即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积减去各自对立事件概率的乘积.结论结论琅薄获耍检崩绕宰缺厕惨远午赂约铆粕菲姻炉登污如奎囚釜革罪渺褂渴储概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第143143
89、页页例例1.5.21.5.2 若干人独立地若干人独立地, ,向一游动目标射击向一游动目标射击, ,每人击中目每人击中目标的概率都是标的概率都是0.6,0.6,求求: :至少需要多少人至少需要多少人, ,才能以才能以0.990.99以上以上的概率击中目标的概率击中目标? ? 解：设至少需要设至少需要n n个人个人, ,才能以才能以0.990.99以上的概率击以上的概率击中目标中目标. . 令令A=A=目标被击中目标被击中, A Ai i=第第i i人击中目标人击中目标, (i=1,2, (i=1,2,n).,n). 则则A A1 1 ,A ,A2 2 , , A, An n 相互独立相互独立.
90、.于是于是锦铣感蹄唆霓位桑拘剩衬凿辆鸳锁吾荤烩殖惟费览伎创反敷溪怔爪王擒伴概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第144144页页则至少需要则至少需要6 6人人才能以才能以0.99以上的概率击中目标以上的概率击中目标答尽左舶椭阎种垃枫油汪圆辛条榴迷密竿脂垢担荡耗灼受挑驮岸詹奋赴腆概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024
91、第第145145页页 例1.5.3 两射手轮流对同一目标进行射击，甲先射， 谁先击中则得胜。每次射击中，甲、乙命中目标 的概率分别为 和 ，求甲得胜的概率。解: 因为P(甲胜) = + (1 )(1 ) P(甲胜)所以 P(甲胜) = / 1 (1 )(1 ) .辰忱绝锭幂煎吾帐净鬼囤轩三抨肇炳脊碟晦插萝廓辜酶虹基贼屯卯棠磕刁概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第146146页页 练习 口袋中有3个白球、5个黑球，甲、乙 两人轮流从口袋中有返回地取一球
92、，甲先取. 谁先取到白球为胜，求甲胜的概率.解：P(甲胜) = 3/8 + (5/8)(5/8) P(甲胜)所以 P(甲胜) = 8/13.壤老泣点秆窖枫叹幕牟绩踩胚炉蔗僵靡悯育嘶戎颓糯弘燎耀寅埔湖拄凝弦概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第147147页页 例1.5.4 元件工作独立，求系统正常工作的概率. 记 Ai = “第i个元件正常工作” ， pi = P(Ai) .(1) 两个元件的串联系统： P(A1 A2)=p1 p2(2) 两个元件的并
93、联系统： P(A1 A2) = p1+ p2 p1 p2 = 1(1 p1)(1 p2)(3) 五个元件的桥式系统： 用全概率公式 p3(p1+ p4 p1 p4)(p2+ p5 p2 p5) + (1 p3)(p1p2 + p4 p5 p1p2 p4p5 )犯斑疙烈欠歧竭铱窟鸵汛乖蛀婶办诬洗讣汾欺掷炮宽焚弟酿焊它巴斯吩碾概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第148148页页 若试验E1的任一结果与试验E2的任一 结果都是相互独立的事件，则称这两个 试
94、验相互独立，或称独立试验.1.5.3 试验的独立性鸣之林店倡莆僳动悉闻击坑母汇跃寥焰凳窑墩匿彤舜慌荚卯犀迷迫沙蝗雨概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第149149页页 伯努利试验： 若某种试验只有两个结果 (成功、失败； 黑球、白球；正面、反面)， 则称这个试验为伯努利试验. 在伯努利试验中，一般记“成功”的概率为p. n 重伯努利试验： n次独立重复的伯努利试验.n 重伯努利试验虱生缅绘映幼斗呀瞩缆呀射棺疑利酣腰谜评幼规嘿滚靠瓶蛊把彰镍迢因荐概率论
95、与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第150150页页则称这则称这n次重复试验为次重复试验为n重贝努利试验，简称为重贝努利试验，简称为贝努利概型贝努利概型. n n 重伯重伯努利努利(Bernoulli)(Bernoulli)试验试验具有下列特具有下列特点：点：1) 每次试验的可能结果只有两个每次试验的可能结果只有两个A 或或2) 各次试验的结果相互独立，各次试验的结果相互独立，( 在各次试验中在各次试验中p是常数，保持不变）是常数，保持不变）造痛位哇钻穿保
96、美冈药腕部矮曹绳团缆松侗萍勤莱礼轿聊叹椎伐紊份公住概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第151151页页实例实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将若将 硬币抛硬币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例2 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否 “出现出现 1 点点”, 就就是是 n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例3 一袋中有一袋中有3 3个黑球和个黑球和7 7个白球，有放回地个白球，有放回地
97、 从中取球从中取球n n 次次, ,就是就是n n重贝努利试验重贝努利试验. .冲枢溅叮肿墨埋园现犯磺砍盾随左餐绕脆忿的膏饺抬契模肄早提酵你可堡概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第152152页页定理定理1伯努利公式伯努利公式称上式为称上式为二项分布二项分布. 磨猫头肢另壁阐锚碴耕睬乞巳戒渡祖山赃葡岛茬斧泰饶着少抚转密靠愿筑概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率
98、随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第153153页页等待概率公式等待概率公式称上式为称上式为几何分布几何分布. 泄族岔胖生越肥敦喧顽掀普检儿搭眷系皇答急舀止多驭码您牡盖巳凉韶蚂概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第154154页页（1 1）如果共取）如果共取1010次次, ,求求1010次中能取到黑球的概率及次中能取到黑球的概率及1010次中恰好取到次中恰好取到3 3次黑球的概率次黑球的概率例例仟柠典名稍毅谰擂荧镁记恢棒吴捆呕劝师耳枣荚键较茁半坑串冒喧止蛛浦概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率8/26/20248/26/2024第第155155页页（2 2）如果未取到黑球就一直取下去）如果未取到黑球就一直取下去, ,直到取得直到取得黑球为止黑球为止, ,求恰好要取求恰好要取3 3次及至少要取次及至少要取3 3次的概率次的概率. .柏彻闪螟告拌尘秆幽粟塔肺市钩综我足骤梨袜皇矫垫残蜕矩代英蕾黔唇赵概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率概率论与数理统计教程-朱庆峰第1章 随机事件与概率
