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1、解解一、问题的提出一、问题的提出解解代入条件后知代入条件后知故故开始制开始制动到列到列车完全停住共需完全停住共需微分方程微分方程: :凡含有未知函数的凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程数或微分的方程叫微分方程. .例例实质: : 联系自系自变量量, ,未知函数以及未知函数的某未知函数以及未知函数的某些些导数数( (或微分或微分) )之之间的关系式的关系式. .二、微分方程的定义二、微分方程的定义微分方程的微分方程的阶: : 微分方程中出微分方程中出现的未知函数的最的未知函数的最高高阶导数的数的阶数称之数称之. .分类分类1: 1: 常微分方程常微分方程, , 偏微分方程偏微分方程. .
2、一一阶微分方程微分方程高高阶(n)(n)微分方程微分方程分分类2:2:分类分类3: 3: 线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程. .分分类4: 4: 单个微分方程与微分方程个微分方程与微分方程组. .微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之恒等式的函数称之. . 微分方程的解的分微分方程的解的分类：三、主要问题三、主要问题-求方程的解求方程的解(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任意且任意常数的个数与微分方程的常数的个数与微分方程的阶数相同数相同. .(2)(2)特解特解: : 确定了通
3、解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. .解的解的图象象: : 微分方程的微分方程的积分曲分曲线. .通解的通解的图象象: : 积分曲分曲线族族. .初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .过定点的定点的积分曲分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点的切定点且在定点的切线的斜率的斜率为定定值的的积分曲分曲线.初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .解解所求特解所求特解为补充充: :微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等初等积分法分法. .求解微分方程求解微分方程求求积分分(通解可用初
4、等函数或通解可用初等函数或积分表示出来分表示出来)求该曲线满足的微分方程求该曲线满足的微分方程 . .例例4.4.已知曲线上点已知曲线上点P(x,y)P(x,y)处的法线与处的法线与 x x 轴交点为轴交点为Q , Q , 且线段且线段PQ PQ 被被 y y 轴平分轴平分, ,解解: : 如下如下图, , 令令 Y = 0, Y = 0, 得得 Q Q 点的横坐点的横坐标即即点点P(x,y) P(x,y) 处的法的法线方程方程为微分方程；微分方程；微分方程的微分方程的阶；微分方程的解；微分方程的解；通解通解; ; 初始条件；初始条件；特解；特解；初初值问题； 积分曲分曲线四、小结四、小结本节基本概念：本节基本概念：思考题思考题思考题解答思考题解答中不含任意常数中不含任意常数,故故为微分方程的特解微分方程的特解.练练 习习 题题练习题答案练习题答案
