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1、第二章第二章 事件的概率事件的概率第一节第一节 概率的概念概率的概念第二节第二节 古典概型古典概型第三节第三节 几何概型几何概型第四节第四节 概率的公理化定义概率的公理化定义概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率事件事件A的概率的概率：在随机试验中，事件：在随机试验中，事件A出现的可能性大小。记为出现的可能性大小。记为P(A)。第一节第一节 概率的概念概率的概念 历史上若干科学家做过将一枚硬币接连掷历史上若干科学家做过将一枚硬币接连掷n次，并观察正面（事件次，并观察正面（事件A）出现的次数的试）出现的次数的试验。下表是其试验结果的记录。验。下表是其试验结果的记录。其中，频率其中
2、，频率=A出现的次数出现的次数试验总次数。试验总次数。概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率实验者实验者投掷次数投掷次数n正面出现频数正面出现频数n频率频率f(A)蒲丰蒲丰404020480.50692摩根摩根409220480.5005费勒费勒1000049790.4979皮尔逊皮尔逊1200060190.5016皮尔逊皮尔逊24000120120.5005罗曼诺夫斯基罗曼诺夫斯基80640396990.4923从此例可看出，正面出现的频率随从此例可看出，正面出现的频率随n的增大，且渐的增大，且渐近稳定在近稳定在0.5附近。附近。概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事
3、件的概率由频率的性质可知概率满足：由频率的性质可知概率满足：1 非负性非负性： A ，0 P(A) 1；2 规范性规范性：P()=1；3 有限可加性有限可加性：若：若A1,A2,An互斥，则互斥，则概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率第二节第二节 古典概型古典概型若试验具有下述两特点：若试验具有下述两特点： 1、试验的可能结果只有有限个、试验的可能结果只有有限个 2、每个可能结果出现的可能性相等、每个可能结果出现的可能性相等则称此试验为则称此试验为古典概型古典概型，亦称为，亦称为等可能等可能概型概型。概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率古典概型计算概率的古典
4、概型计算概率的步骤步骤：（1）检查试验类型是否是古典概型，若是转到）检查试验类型是否是古典概型，若是转到下一步；下一步；（2）弄清试验的）弄清试验的样本点样本点是什么，是什么，包含多少个包含多少个样本点样本点，即，即n=?（3）弄清）弄清A中的中的样本点样本点是什么，包含多少个是什么，包含多少个样本样本点点，即，即k=?（4）利用古典概型计算公式进行计算。）利用古典概型计算公式进行计算。 对于任意一个随机事件对于任意一个随机事件A ，设，设A包含包含k( n)个个样本点，则事件样本点，则事件A发生的概率为发生的概率为概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率例例 将一枚硬币抛掷三次
5、将一枚硬币抛掷三次, 观察正面出现观察正面出现H、反面、反面T出现的情况。设事件出现的情况。设事件A1为为“恰有一次出现正面恰有一次出现正面”, 求求P(A).解解：我们先考虑这一试验的样本空间我们先考虑这一试验的样本空间 = HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT, 而而A1=HTT, THT, TTH, 易见易见S中包含中包含n=8个基本事件个基本事件, 且由对称性知每个基本事件且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同发生的可能性相同,故此试验为古典概型故此试验为古典概型, 且且事件事件A包含包含k=3个基本事件个基本事件,故由古典概型计算故由古典概型
6、计算公式得：公式得：P(A)=3/8概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率例例 一口袋装有一口袋装有4只白球和只白球和2只红球，从袋中取两次，只红球，从袋中取两次，每次随机地取一只，考虑两种取球方式：每次随机地取一只，考虑两种取球方式：(a)第一次第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球，这种取球方式叫做放回抽样。球，这种取球方式叫做放回抽样。(b)第一次取一球第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球，这种不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球，这种取球方式叫做不放回抽样。试分别就上面两种情况取球方式叫做不放回抽
7、样。试分别就上面两种情况求：求：(1)取到的两只球都是白球的概率；取到的两只球都是白球的概率；(2)取到的两只球第一个为红第二个为白的概率；取到的两只球第一个为红第二个为白的概率；解：解：设以设以A、B分别表示事件取到的两只球分别表示事件取到的两只球“都都是白球是白球”、“第一个为红第二个为白第一个为红第二个为白”。概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率(a)放回抽样情况放回抽样情况 在袋中依次取两只球，每一种取法为一个样本点，在袋中依次取两只球，每一种取法为一个样本点，而第一种取法的第一次取球有而第一种取法的第一次取球有6只球可供选择，第二只球可供选择，第二次仍有次仍有6只球
8、可供选择，根据组合法的乘法原理，这只球可供选择，根据组合法的乘法原理，这种抽球试验的样本空间共有种抽球试验的样本空间共有66个样本点；若事件个样本点；若事件A发生，由第一次有发生，由第一次有4只球可供抽取，第二次仍有只球可供抽取，第二次仍有4只只球可供抽取，故球可供抽取，故A含有含有44个样本点，同理个样本点，同理B中含有中含有24个样本点，故个样本点，故概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率(b)不放回抽样情况不放回抽样情况 第二种取法的第一次取球有第二种取法的第一次取球有6只球可供只球可供选择，第二次有选择，第二次有5只球可供选择，这种抽球只球可供选择，这种抽球试验的样本空
9、间共有试验的样本空间共有65个样本点，同理个样本点，同理A含有含有43个样本点，个样本点，B中含有中含有24个样本点，个样本点，故故概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率例例 从从1，2，10共共10个数中任取一个数中任取一数，设每个数以数，设每个数以1/10的概率被取中，取的概率被取中，取后放回，先后取出后放回，先后取出7个数，求系列事件个数，求系列事件的概率：的概率：（1）A1=7个数各不相同个数各不相同（2）A2=不含不含10和和1（3）A3=10恰好出现两次恰好出现两次概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件
10、的概率例例(女士品茶问题女士品茶问题) 一位常饮牛奶加茶的女士称一位常饮牛奶加茶的女士称: 她她能从一杯冲好的饮料中辨别出是先放茶还是先放牛能从一杯冲好的饮料中辨别出是先放茶还是先放牛奶奶, 并且她在并且她在10次试验中都能正确地辨别出来次试验中都能正确地辨别出来, 问她问她的说法是否可信的说法是否可信?解解: 假设其说法不可信假设其说法不可信, 即认为她纯粹是猜测。记即认为她纯粹是猜测。记事件事件A=10次均猜对牛奶与茶的次序次均猜对牛奶与茶的次序。则则P(A)=1/210=0.0009766 根据根据“实际推断原理实际推断原理”的准则的准则: 小概率事件在小概率事件在一次试验中是实际不会发
11、生的一次试验中是实际不会发生的, 据此原理据此原理, A实际不实际不会发生会发生, 与试验结果矛盾与试验结果矛盾, 故假设错误故假设错误, 即该女士的即该女士的说法是可信的。说法是可信的。概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率解：解：记记A=第第k位顾客中奖位顾客中奖，抽奖券为不放回，抽奖券为不放回抽样，则：抽样，则：例例(抽奖券问题抽奖券问题) 设某超市有奖销售，投放设某超市有奖销售，投放n张张奖券只有奖券只有1张有奖，每位顾客可抽张有奖，每位顾客可抽1张。求第张。求第k位顾客中奖的概率位顾客中奖的概率(1 k n)。概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率第三
12、节第三节 几何概型几何概型1 1、几何概型的定义、几何概型的定义若试验具有下述两特点：若试验具有下述两特点： 1、试验的可能结果有无限多个，且全部、试验的可能结果有无限多个，且全部可能结果的集合可以用一个有度量可能结果的集合可以用一个有度量(如长度、如长度、面积、体积等面积、体积等)的几何区域来表示；的几何区域来表示； 2、每次试验中每个可能结果的出现是等、每次试验中每个可能结果的出现是等可能的。可能的。则称此试验为则称此试验为几何概型几何概型。概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率试验可看作是在某一可度量试验可看作是在某一可度量(如长度、面积、如长度、面积、体积等体积等)的区
13、域的区域内任取一点，则此时样本内任取一点，则此时样本空间即为区域空间即为区域内的点的全体，而随机事件内的点的全体，而随机事件A=取到的点落在某子区域取到的点落在某子区域SA内内的概率为的概率为2 2、几何概型的计算公式、几何概型的计算公式概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率（1）将样本空间对应于具体区域，并按一）将样本空间对应于具体区域，并按一维、二维、三维区域，确定相应的几何度量维、二维、三维区域，确定相应的几何度量分别为区间长度、平面区域面积、立体区域分别为区间长度、平面区域面积、立体区域体积；体积；（2）根据题设条件确定随机事件对应的）根据题设条件确定随机事件对应的区域
14、，并利用几何公式或积分方法计算其几区域，并利用几何公式或积分方法计算其几何度量；何度量；（3）利用）利用几何概型的计算公式求出的概几何概型的计算公式求出的概率率。几何概型的几何概型的求解步骤求解步骤概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率例例 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，每隔时起，每隔15分钟有一辆公共汽车通过，现有一乘客分钟有一辆公共汽车通过，现有一乘客在在7:00到到7:30之间随机到站候车。求：之间随机到站候车。求：(1)该乘客候车时间小于该乘客候车时间小于5分钟的概率。分钟的概率。(2)该乘客候车时间超过该乘客候车时间超过10分钟的概率。分钟的概率。概率论
15、与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率解：解：用用T表示该乘客到达时刻，设问题表示该乘客到达时刻，设问题(1)、(2)涉及事件为涉及事件为A、B，则，则=7:00T7:30，SA=7:10T7:15或或7:25T7:30，SB=7:00T7:05或或7:15T0)的一些平行线，向平面任意的一些平行线，向平面任意投一长为投一长为l(ld)的针，试求事件的针，试求事件A=针与针与平行线相交平行线相交的概率的概率(假设针落在平面任假设针落在平面任何一处是等可能的何一处是等可能的)。概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率解：解：由等可能性，只需考虑两线间的情形。设针的由等可能
16、性，只需考虑两线间的情形。设针的中点为中点为O，从，从O向最近的一条平行线作垂线向最近的一条平行线作垂线OM，记，记OM长为长为x，针与，针与OM的夹角为的夹角为 。于是针的位置由。于是针的位置由x与与 完全确定，完全确定，dM O则则=(x, )|0 x d/2，0 /2。事件事件A针与平行线相交针与平行线相交，等价于，等价于x l/2cos ，故故SA即为下右图中的阴影部分即为下右图中的阴影部分概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率第四节第四节 概率的公理化定义概率的公理化定义 1933年，前苏联数学年，前苏联数学家柯尔
17、莫哥洛夫给出了概家柯尔莫哥洛夫给出了概率的率的公理化定义公理化定义。即。即通过通过规定概率应具备的基本性规定概率应具备的基本性质来定义概率质来定义概率。概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率定义定义 设设E为随机试验，为随机试验，为其样本空间，若对为其样本空间，若对于每一事件于每一事件A，有且只有一个实数，有且只有一个实数P(A)与之对与之对应，若满足下列条件，则称应，若满足下列条件，则称P(A)为事件为事件A的概的概率：率：1 非负性非负性：P(A) 02 规范性规范性：P()=13 可列可加性可列可加性：若：若A1,A2,为两两互不相容事件为两两互不相容事件列，即列，即 i
18、 j，AiAj= ，则有，则有概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率概率的简单性质概率的简单性质而而Ai= 性质性质1：不可能事件发生的概率为零，即：不可能事件发生的概率为零，即P( )=0。所以由概率的非负性知所以由概率的非负性知P( )=0。证：证：设设Ai= ，i=1,2, i j，AiAj= ，由可由可列可加性，列可加性，得得概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率性质性质2：对于有限个互不相容事件：对于有限个互不相容事件A1,A2,An的的并事件发生的概率具有有限可加性。即并事件发生的概率具有有限可加性。即概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件
19、的概率证：证：因为因为A B, 则则B=A (BA), A(BA)= ,性质性质3：如果事件：如果事件A B，则，则P(B) P(A)，且有，且有概率的减法公式：概率的减法公式：P(BA)=P(B)P(A)故由性质故由性质2得：得：P(B)=P(A)+P(BA),即即 P(BA)=P(B)P(A)再由概率的非负性知再由概率的非负性知P(BA) 0,即得即得 P(B) P(A)。概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率性质性质4：对于任何一个事件：对于任何一个事件A，都有，都有0 P(A) 1证：证：因因 A ，故，故0 P(A) P()=1。性质性质5：两对立事件的概率之和等于：
20、两对立事件的概率之和等于1。即。即概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率性质性质6：对于任意两事件：对于任意两事件A、B，都有，都有 P(A B) P(A)+P(B)且有概率的加法公式且有概率的加法公式 P(A B)=P(A)+P(B)P(AB)证：证：因因A B=A (BA)=A (BAB), 且且A(BAB)= ，AB B所以所以P(A B)=P(A)+P(BAB) =P(A)+P(B)P(AB)显然显然P(AB) 0，故有，故有P(A B) P(A)+P(B)。概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率概率的加法公式可以推广到更多事件的情概率的加法公式可以推广
21、到更多事件的情形形：P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(CA)+P(ABC)概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率例例 设设A、B是两事件，且是两事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.7。问：问：(1)P(AB)如何取得最大值，最大值是什么？如何取得最大值，最大值是什么？(2)P(AB)如何取得最小值，最小值是什么？如何取得最小值，最小值是什么？解：解：(1)当当A B时，时，P(AB)=P(A)=0.6为最大值。为最大值。(2)因为因为P(AB)=P(A)+P(B)P(A B)而而P(A B) 1，故当，故当P(A B)=1时，时，P(AB
22、)=0.3为最小值。为最小值。概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率例（生日问题）例（生日问题）设某班级有设某班级有n个人个人(n 365)，问至少，问至少有两个人的生日在同一天的概率是多大？有两个人的生日在同一天的概率是多大？解：解：假定一年按假定一年按365天计算，每个人的生日在天计算，每个人的生日在365天天中的任一天是等可能的，都为中的任一天是等可能的，都为1/365，若把，若把365天当天当作作365个个“格子格子”，此时，此时“n个人的生日各不相同个人的生日各不相同”，就相当于，就相当于“恰有恰有n个格子，其中各住一人个格子，其中各住一人”。令令A=n个人中至少有两
23、个人的生日相同个人中至少有两个人的生日相同B=n个人的生日全不相同个人的生日全不相同概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率用前面的公式可以计算此事出现的概率为用前面的公式可以计算此事出现的概率为 =10.524=0.476 美美国国数数学学家家伯伯格格米米尼尼曾曾经经做做过过一一个个别别开开生生面面的的实实验验，在在一一个个盛盛况况空空前前、人人山山人人海海的的世世界界杯杯足足球球赛赛赛赛场场上上，他他随随机机地地在在某某号号看看台台上上召召唤唤了了22个个球球迷迷，请请他他们们分分别别写写下下自自己己的的生生日日，结结果果竟竟发发现现其其中有两人同生日。中有两人同生日。即即2
24、2个球迷中至少有两人同生日的概率个球迷中至少有两人同生日的概率为为0.476。概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率人数人数 至少有两人同至少有两人同 生日的概率生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994 所有这些概率都是在所有这些概率都是在假定一个人的生日在假定一个人的生日在 365天的任何一天是等天的任何一天是等可能的前提下计算出来可能的前提下计算出来的。实际上，这个假定的。实际上，这个假定并不完全成立，有关的并不完全成立，有关的实际概率比表中给
25、出的实际概率比表中给出的还要大。当人数超过还要大。当人数超过23时，打赌说至少有两人时，打赌说至少有两人同生日是有利的。同生日是有利的。概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率例例 在在12000的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数, 问取问取到的整数既不能被到的整数既不能被6整除整除, 又不能被又不能被8整除的概整除的概率是多少率是多少?解解: 设设 A 为事件为事件“取到的数能被取到的数能被6整除整除”, B为事件为事件 “取到的数能被取到的数能被8整除整除”, 则所求概率为则所求概率为概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率于是所求概率为于是所求概率为概率论与数理统计概率论与数理统计-事件的概率事件的概率
