为了证明有关定理，首先介绍下面两个引理为了证明有关定理，首先介绍下面两个引理一一 有关逐项积分的两个引理有关逐项积分的两个引理引理引理1 1（（函数项级数的逐项积分函数项级数的逐项积分））设函数设函数 和和 沿曲线沿曲线 可积，且在可积，且在 上处处有上处处有如果存在收敛的正项级数如果存在收敛的正项级数 使得在使得在 上有上有那么那么 § 2 § 2 泰勒（泰勒（TaylorTaylor））级数级数 证明证明：： 由于由于 收敛，因此当收敛，因此当 时，必有时，必有于是设曲线于是设曲线 的长度为的长度为 ，当，当 时，有时，有 这就证明了该引理这就证明了该引理 引理引理2 2 若若 在正向圆周在正向圆周 上连续，上连续，则则（（1 1）对该圆内任一点）对该圆内任一点 z z 有有 (2(2）对该圆外任一点）对该圆外任一点 z z 有有 证明证明：： （（1））令令 ，由于，由于 ，， 因此由等比级数的求和公式得：因此由等比级数的求和公式得：对任意满足对任意满足 的点成立。
的点成立 由引理由引理1，只须对最后所得的函数项级数，只须对最后所得的函数项级数找出满足引理条件的找出满足引理条件的正项级数正项级数 ，然后逐项积分就可得到所证结果然后逐项积分就可得到所证结果事实上事实上，由函数，由函数 的连续性，可设的连续性，可设 在圆周在圆周 上上 的上界为正数的上界为正数 ，则对于固定的点，则对于固定的点 ，，在该圆周上处在该圆周上处处有处有 在该圆周上处处有在该圆周上处处有而而 是收敛的，故所证等式成立是收敛的，故所证等式成立 （（2））当当 在圆周外时，显然在圆周外时，显然 对圆周对圆周 上的点上的点 成立这时有成立这时有同样由引理同样由引理1可得所证等式可得所证等式 二二. .解析函数的解析函数的TaylorTaylor展开定理展开定理定理定理1 1 设函数设函数f(z)f(z)在圆盘在圆盘 内解析，那么内解析，那么在在U U内有内有 证明：设证明：设 。
以以 为中心在为中心在 内作一圆内作一圆 ，使得，使得 属于其内部，此时由柯西积分公式有属于其内部，此时由柯西积分公式有又因又因 在在 上解析，也一定连续，所以由引理上解析，也一定连续，所以由引理2 2的结论（的结论（1 1）） 得得 由于由于 是是 内的任意一点，证毕内的任意一点，证毕 定理定理2 2 函数函数 在在 解析的充分必要条件是它在解析的充分必要条件是它在 的某个邻域有幂级数展开式的某个邻域有幂级数展开式。
在定理在定理1 1中，幂级数称为函数中，幂级数称为函数f(z)f(z)在在 点的点的TaylorTaylor展开式展开式系系1 1 幂级数就是它的和函数幂级数就是它的和函数 在收敛圆盘中的在收敛圆盘中的TaylorTaylor展开式展开式，即，即系系2 2 （（幂级数展开式的唯一性幂级数展开式的唯一性））在定理在定理1 1中，幂级中，幂级数的和函数数的和函数f(z)f(z)在收敛圆盘在收敛圆盘U U内不可能有另一幂级内不可能有另一幂级数展开式数展开式 三三. .初等函数的泰勒展开式初等函数的泰勒展开式1 直接展开法直接展开法：先求出：先求出 ，然后应用泰勒，然后应用泰勒定理写出定理写出泰勒泰勒级数及其收敛半径级数及其收敛半径 指数函数在指数函数在 处的处的泰勒（泰勒（TaylorTaylor））展开式展开式 下列函数在下列函数在 处的处的泰勒展开式泰勒展开式 为实常数为实常数当当 时，上式只有有限项，并且是在整时，上式只有有限项，并且是在整个复平面上成立。
个复平面上成立 2间接展开法间接展开法：：它是根据函数在一点的泰勒级它是根据函数在一点的泰勒级数展开式的唯一性给出的在这里指从上面数展开式的唯一性给出的在这里指从上面6个个初等函数的泰勒级数展开式出发，利用幂级数的初等函数的泰勒级数展开式出发，利用幂级数的变量替换，逐项微分，逐项积分和四则运算等求变量替换，逐项微分，逐项积分和四则运算等求出其出出其出泰勒泰勒级数及其收敛半径级数及其收敛半径如：应用如：应用 ，令，令 ，，得得 例题例题例例1 求下列函数在点求下列函数在点 处的处的泰勒泰勒级数展开式及级数展开式及其收敛半径其收敛半径1）） （（2））（（3）） （（4））解解 (1) 在在 处为唯一的奇点，并且当处为唯一的奇点，并且当 时，函数时，函数 ，所以函数在，所以函数在 处的处的泰勒泰勒级级数展开式的收敛半径为数展开式的收敛半径为 ，，从而在从而在 时有时有令令 应用展开式（应用展开式（6）可得：）可得： （（2 2）同理可得其）同理可得其在在 处的处的泰勒泰勒级数展开式级数展开式的收敛半径为的收敛半径为 1。
由于由于 , 应用展开式应用展开式（（3）得）得所以当所以当 时时 （（3 3）由于）由于 在整个复平面上解析，故其收敛在整个复平面上解析，故其收敛半径为半径为 ，从而，从而应用展开式（应用展开式（2)(4)2)(4)得得用用直接法直接法也简单也简单，注意到，注意到 （（4 4）） ，其，其TaylorTaylor级数收敛半径为级数收敛半径为1 1，从而，从而 在在 处的处的泰勒泰勒级数展开式两端同级数展开式两端同乘以乘以 即可得到即可得到 在在 处的处的泰勒泰勒级级数展开式：数展开式：注意注意：显然不必要将：显然不必要将 写成写成 的多项式再的多项式再来求来求 在在 处的处的泰勒泰勒级数展开式级数展开式 解解 因为因为 是是 可在可在 内展成泰勒级数，有内展成泰勒级数，有 例例2 2 试将试将 在点在点 展成泰勒级数。
展成泰勒级数 的唯一有限奇点，所以的唯一有限奇点，所以 回顾回顾泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)级数的形式？级数的形式？ 幂级数幂级数为为其中其中z z是复变数，系数是复变数，系数 是复常数是复常数 泰勒级数在收敛半径为泰勒级数在收敛半径为R R的收敛圆内表示的收敛圆内表示了一个解析函数；了一个解析函数； 如果函数在半径为如果函数在半径为R R的圆内解析，则它可的圆内解析，则它可在该圆内展成泰勒级数在该圆内展成泰勒级数 S3 S3 罗朗罗朗(Laurent)(Laurent)级数级数 本节主要讨论函数在环域本节主要讨论函数在环域 内的内的级数展开问题，并且讨论它在积分计算中的应用级数展开问题，并且讨论它在积分计算中的应用，这里，这里 可以为可以为0 0，而，而 可以为可以为 ，并且，并且称环域称环域 为点为点 的邻域 1 1 问题的引入问题的引入上节研究了如下的幂级数：上节研究了如下的幂级数：对于一般的函数项级数对于一般的函数项级数从数学研究的角度，应该可以取具有负幂的从数学研究的角度，应该可以取具有负幂的 ：： 负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分我们开始研究这一问题我们开始研究这一问题同时收敛同时收敛Laurent级数级数收敛收敛 收敛半径收敛半径收敛域收敛域收敛半径收敛半径收敛域收敛域两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分R 结论结论:.常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域: :... 一一 解析函数的解析函数的罗朗展开定理罗朗展开定理 先考虑级数先考虑级数其中其中 是复常数。
是复常数 级数级数 可以看作是变量可以看作是变量 的幂级数的幂级数, ,设设该幂级数的收敛半径为该幂级数的收敛半径为 R R ，， (1(1）如果）如果 ，那么当，那么当 时，级数时，级数 绝对收敛；当绝对收敛；当 时，级数时，级数 发散；发散；（（2 2）如果）如果 ，那么级数，那么级数 在在 绝对收敛；绝对收敛；（（3 3）如果）如果 ，那么级数，那么级数 在复平面上每点在复平面上每点均发散 更一般地考虑更一般地考虑级数级数其中其中 是复常数是复常数 当级数当级数 都收敛时，我们称都收敛时，我们称级数（级数（3.23.2）收敛）收敛, ,并且它的和并且它的和函数为函数为(3.3(3.3）中两个级数的和函数相加。
中两个级数的和函数相加 设（设（3.33.3）中第一个级数在）中第一个级数在 内绝对内绝对收敛，第二个级数在收敛，第二个级数在 内绝对收敛内绝对收敛 若若 ，那么（，那么（3.23.2）在圆环）在圆环 内绝对收敛，且它的和函数是解析的内绝对收敛，且它的和函数是解析的 级数（级数（3.23.2）称为罗朗级数）称为罗朗级数. . 定理定理1 1 设函数设函数 在圆环在圆环 内内解析，那么在解析，那么在D D内有内有其中其中 是圆是圆 ，， 是一个满足是一个满足 的任的任何数 证明证明：在圆环在圆环D D内任意取定一点内任意取定一点 ，然后在，然后在D D内作圆环内作圆环使得使得 , ,这里这里 ，用，用 C C1 1 及及 C C2 2 分别来表示圆分别来表示圆 及及 。
RrD>r1R1 由于由于f(z)f(z)在闭圆环在闭圆环 上解析，由上解析，由CauchyCauchy积分积分公式得公式得 由由TaylorTaylor定理证明中的引理定理证明中的引理2 2（（1 1）） 若若 在正向圆周在正向圆周 上连续，则对上连续，则对该圆内一点该圆内一点 z z 有有RrD
称为该级数的主要部分级数级数(3.4)(3.4)称为称为 在圆环在圆环D D内的内的罗朗展开式罗朗展开式 注意注意：由于在圆所围区域可能有奇点，因此，：由于在圆所围区域可能有奇点，因此， 不能用不能用CauchyCauchy公式把系数记为公式把系数记为： 二、罗朗级数的性质二、罗朗级数的性质定理定理2 2 若函数若函数 在圆环在圆环D: D: 内解内解析，则该函数的罗朗级数展开式析，则该函数的罗朗级数展开式 在在D D内处处绝内处处绝对收敛、可以逐项微分和积分，其积分路径为对收敛、可以逐项微分和积分，其积分路径为D D内内的任何简单闭路，并且其展开式的系数是唯一的任何简单闭路，并且其展开式的系数是唯一的，即它的各项系数的，即它的各项系数 一定可以表示为式一定可以表示为式 的形的形式证明证明：：（书（书112112页页 ）） 三、三、函数的函数的LaurentLaurent展开式展开式理论上应该有两种方法理论上应该有两种方法: : 直接法与间接法直接法与间接法 (1) 直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数然后写出然后写出这种方法只有在找不到更好方法时才用。
这种方法只有在找不到更好方法时才用 根据根据解析函数解析函数 Laurent Laurent 级数展开式的唯一性级数展开式的唯一性, , 从已知的初等函数的泰勒级数出发，利用从已知的初等函数的泰勒级数出发，利用变量替换，泰勒级数和罗朗级数的逐项微变量替换，泰勒级数和罗朗级数的逐项微分或者积分运算等来求得所给函数分或者积分运算等来求得所给函数在环域在环域 的罗朗展开式的罗朗展开式. .(2) 间接展开法间接展开法这一方法成为这一方法成为Laurent 级数展开的常用方法级数展开的常用方法 例例 及及 在在 内的罗朗展开式内的罗朗展开式 解：解：例例 在在 内的罗朗展开式内的罗朗展开式此时用此时用 的的TaylorTaylor展式展式 例例都不解析都不解析,而在圆环域而在圆环域及及内都解析内都解析. 也可以展开成级数也可以展开成级数： 给定函数给定函数与复平面内的一点与复平面内的一点以后以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的函数在各个不同的圆环域中有不同的Laurent展展开式开式回答：回答：不矛盾不矛盾 .LaurentLaurent展开式是唯一的展开式是唯一的. .问题：问题：这与这与laurentlaurent展开式的唯一性是否相矛盾展开式的唯一性是否相矛盾?注意唯一性注意唯一性 : : 指函数在某一个给定指函数在某一个给定的圆环域内的的圆环域内的(包括包括Taylor展开式作为其特例展开式作为其特例). 四、典型例题四、典型例题例例1 1解解由由已知函数已知函数 的展开式的展开式可以直接得到可以直接得到 例例2 2 内解析内解析, , 把把 在这些区域内展成在这些区域内展成LaurentLaurent级数级数.解解 12oxy由由且仍有且仍有 2oxy由由此时此时 仍有仍有 这一例子说明：这一例子说明：同一函数在不同的圆环内同一函数在不同的圆环内的罗朗展开式可是不同的！的罗朗展开式可是不同的！ 例例3 3 分别将下列函数在指定点分别将下列函数在指定点 的去心邻域内展开成的去心邻域内展开成LaurentLaurent级数级数（（1 1）） 利用三角公式利用三角公式和和 的的TaylorTaylor级数展开式可得当级数展开式可得当 化简得化简得该展开式不含有负幂项该展开式不含有负幂项. (2)(2) 令令, ,利用利用的的TaylorTaylor级数展开式可得级数展开式可得该展开式中含有无穷个负幂项该展开式中含有无穷个负幂项. . （（3 3）） 利用三角公式利用三角公式令令由函数由函数的的TaylorTaylor级数展开式可得级数展开式可得该展开式中也含有无穷个负幂项该展开式中也含有无穷个负幂项. . 三三 用用Laurent Laurent 级数的展开式计算积分级数的展开式计算积分 根据定理根据定理1 1，得，得 因此，因此，我们可以根据定理我们可以根据定理2 2求出系数求出系数 的值来计算积的值来计算积分。
分例例1 1 计算积分计算积分解：解：先分析函数先分析函数 的解析性显然它的奇点的解析性显然它的奇点值满足值满足 ，其奇点构成了实轴上的区间，其奇点构成了实轴上的区间 ，因此它在环域，因此它在环域 内解析于是内解析于是令令 ，利用，利用 得它在环域得它在环域 内的内的Laurent Laurent 级数的展开式级数的展开式于是取于是取 ，得其积分值，得其积分值 例例2 2 计算积分计算积分解解：被积函数为偶函数并且在环域：被积函数为偶函数并且在环域 内解内解析，该函数在其内的罗朗级数展开式的奇次幂析，该函数在其内的罗朗级数展开式的奇次幂系数为零，所以系数为零，所以 例例3 3. .试说明用什么方法将函数试说明用什么方法将函数 在圆环在圆环 内展开成内展开成LaurentLaurent级数比较简便级数比较简便? ?并计算并计算它沿正向圆周它沿正向圆周 的积分。
的积分解解: : 先将函数先将函数 在点在点 进行泰勒进行泰勒级数展开（直接展开法级数展开（直接展开法），），然后等式两端同除以然后等式两端同除以显然其负一次幂系数显然其负一次幂系数 ，从而得，从而得 注意注意 显然用显然用CauchyCauchy积分公式计算上述积分更方便，积分公式计算上述积分更方便，即即 有时用第三章中介绍的有关公式来计算积分也有时用第三章中介绍的有关公式来计算积分也不简便不简便, ,还需要用到后面介绍的留数和留数定理还需要用到后面介绍的留数和留数定理. 复数项级数复数项级数函数项级数函数项级数充充要要条条件件必必要要条条件件幂级幂级数数收敛半径收敛半径R复复 变变 函函 数数绝绝对对收收敛敛运算与性质运算与性质收敛条件收敛条件条条件件收收敛敛复数复数列列收敛半径的计算收敛半径的计算Taylor 级数级数Laurent级数级数第四章第四章 主要内容主要内容 。