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1、定理的逆命题该怎么说？到一个角的两边的到一个角的两边的距离距离相等的点，相等的点，在这个角的平分线上。在这个角的平分线上。已知：如图，已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别垂足分别 是是D，E，PD=PE.求证：点求证：点P在在AOB的平分线上的平分线上OEBADP分析：分析： 只要画射线只要画射线OP， 证明证明OP平分平分 AOB即可。即可。判断下列推理是否正确判断下列推理是否正确（1）如图，）如图，AD平分平分BAC，PEAB，PFAC PE = PF（角平分线上的点到这个角的角平分线上的点到这个角的 两边距离相等）两边距离相等）（2）如图，）如图， PE = PF AD平分平分BAC
2、 （到角两边距离相等的点到角两边距离相等的点 在这个角的平分线上）在这个角的平分线上）（3）如图，）如图， 点点P在在BAC 的的平分线上平分线上 PE = PF（角平分线上的点到角平分线上的点到 这个角的两边距离相等）这个角的两边距离相等）ABCDEFP（对）（对）（错）（错）（错）（错）ABCDEFP判断下列推理是否正确判断下列推理是否正确ABCDEFPABCDEFP（4）如图，）如图， PEAB，PFAC AD平分平分BAC（到角两边距离相等到角两边距离相等 的点在这个角的平分线上）的点在这个角的平分线上）（错）（错）（5）如图）如图 PEAB，PFAC，PE = PF 点点P在在BAC
3、 的平分线上（到角两边的平分线上（到角两边 距离相等的点在这个角的平分线上）距离相等的点在这个角的平分线上）（对）（对） 已知：已知：B = B = = 90= 90，AB = ACAB = AC求证求证:(1) :(1) ADB = ADCADB = ADC A AB BC CD D证明证明: :（1 1）B = B = = 90= 90（已知）（已知） ABDB,ACDCABDB,ACDC（垂直的定义垂直的定义）又又AB = AC AB = AC （已知）已知） 点点A A在在BDCBDC的角平分线上的角平分线上 （到一个角的两边距离相等的点，到一个角的两边距离相等的点， 在这个角的角平分
4、线上）在这个角的角平分线上） ADB = ADCADB = ADC 2 .在在ABC中，中，B=C，点，点D为为BC边的中点，边的中点，DEAB， DFAC，垂足分别是垂足分别是E，F。求证：求证：点点D在在A的平分线上。的平分线上。提示：提示：先证先证BDECDF(AAS)。 再由角平再由角平分线性质定理的逆定理即可得到结论。分线性质定理的逆定理即可得到结论。进步的标志进步的标志驶向胜利的彼岸思考分析w你能写出你能写出“定理定理 角平分线上的点到角平分线上的点到这个角的两边距离相等这个角的两边距离相等”的逆命题吗的逆命题吗? ?w逆命题逆命题 在一个角的内部在一个角的内部, ,且到角的两边距
5、离相等的且到角的两边距离相等的点点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上. .w它是真命题吗它是真命题吗? ?如果是如果是. .请你证明它请你证明它. .已知已知: :如图如图,PD=PE, ,PD=PE, PDPDOA,PEA,PEOB,B,垂足分别是垂足分别是D,E.D,E.求证求证: :点点P P在在A AOB B的平分线上的平分线上. .分析分析: :要证明点要证明点P P在在A AOB B的的平分平分线上线上, ,可可以先作出过点以先作出过点P P的的射线射线OC,C,然后证明然后证明1=2.1=2.老师期望老师期望: :你能写出规范的证明过程你能写出规范的证明过程. .OCB1
6、A2PDE驶向胜利的彼岸逆定理逆定理 我能行我能行1 1w逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部, ,且到角的两边距离相等的且到角的两边距离相等的点点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上. .w如图如图, ,wPA=PB, PDPA=PB, PDOA,PEA,PEOB,B,垂足分垂足分别是别是D,E(D,E(已知已知),),w点点P P在在A AOB B的平分线上的平分线上.(.(在一在一个角的内部个角的内部, ,且到角的两边距离相且到角的两边距离相等的点等的点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上).).老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一
7、.从这个结果出发,你还能联想到什么?OBAC12PDE回味无穷w定理定理 角平分线上的点到这个角的两边角平分线上的点到这个角的两边距离相等距离相等. .wO OC C是是A AO OB B的平分线的平分线,P,P是是O OC C上任意一上任意一点点,PD,PDO OA,PEA,PEO OB,B,垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已已知知) )PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边角平分线上的点到这个角的两边距离相等距离相等).).w逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部, ,且到角的两边且到角的两边距离相等的点距离相等的点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上. .wP
8、A=PB, PDPA=PB, PDOA,PEA,PEOB,B,垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已知已知),),w点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上.(.(在一个角的在一个角的内部内部, ,且到角的两边距离相等的点且到角的两边距离相等的点, ,在这在这个角的平分线上个角的平分线上).).w用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线. .w邻补角的角平分线之间的关系邻补角的角平分线之间的关系. .小结 拓展OCB1A2PDE例例1 已已知知：如如图图1，ABC的的角角平平分分线线BM、CN相交于点相交于点P.ABCMNP图1求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.求证：求证：P在在A的平分线上的平分线上HEGABCP图图2例例2 已已知知：如如图图2，PB、PC分分别别是是ABC的的外外角平分线，角平分线， 相交于点相交于点P.
