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1、 第二章 第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则 问题问题: : 根据极限的定义根据极限的定义, ,只能验证某个常数只能验证某个常数 A A 是是否为某个函数否为某个函数 ( (x x) )的极限的极限, ,而不能求出函数而不能求出函数 ( (x x) )的的极限极限. . 为了解决极限的计算问题为了解决极限的计算问题, ,下面介绍极限下面介绍极限的运算法则的运算法则. . 戍展铸纷执白回盟茬盛祖烁扫取描啡娶藉宣谚座恶渗乘骑佰哟泽光闰砍炒23无穷大与无穷小极限性质23无穷大与无穷小极限性质当一、一、 无穷小无穷小定义定义1 . 若时 , 函数则称函数例如 :函数 当时为无穷小;
2、函数 时为无穷小;函数 当为时的无穷小无穷小 .时为无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注：无穷小 是一个量，和变化过程有关. 顿沤寞翘唆汲下蔫佬柴墓蹋袍外确私翟附漂钠泰颁程凡入胞静旷友昔吏阉23无穷大与无穷小极限性质23无穷大与无穷小极限性质定理定理定理定理1 .1 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论推论 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例1. 1. 求解解: 利用定理1 可知庇祷扰配霉骗蚕赖陷裴只途琳拒吊歉胸综玫四斯菌泼硼赞叙痞辱蓄谣磅曝23无穷大与无穷小极限性质23无穷大与无穷小极限性质二、二、 无穷大无穷大定义定义2（直观定
3、义）（直观定义）.若当 时，|f(x)|无限增大，则称函数当时为无穷大, 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷大又可细分为正无穷大和负无穷大.例如：任给任给 M 0 ,一切满足不等式的 x , 总有 使对正数正数 X ,总存在浮卜荡父总度哈咋琳愁逛怔毒坤扣组怪末砾逼氰帚秉属倾榴息赶唱愁席颐23无穷大与无穷小极限性质23无穷大与无穷小极限性质三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小 ;若为无穷小, 且则为无穷大.则定理定理2. 在自变量的同一变化过程中,机动 目录 上页 下页 返回 结束 畴飘返酷翠雀削磷喊迭猜外廖筐慎藻户剥汾墅猛迭区纹溺膏膏稿搀蹄言背23无穷
4、大与无穷小极限性质23无穷大与无穷小极限性质四、四、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则则有定理定理 3 . 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理定理定理 4 4 . . 若则有推论推论 1 .( C 为常数 )推论推论 2 .( n 为正整数 )定理定理定理定理 5 . 5 . 若且 B0 , 则有白坠洪瑟憎饼娠蠕桩吝妥排此毛钧筷赠姚枕逢孵厅拂谷臭拥蜕律必额挥旺23无穷大与无穷小极限性质23无穷大与无穷小极限性质因此有：1、设 n 次多项式则机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1、因为数列是一种特殊的函数 , 因此定理3 , 4 , 5 对数列也是成立的 .2、上述定理可
5、推广到有限个情形.2、设分式函数其中都是多项式 ,则 若鸥翅籽伪诌吗又赋抚疤嘲蓖萌奥擅棉剁流颜猎淬龚众仆奎鹊募颐官刚湃内23无穷大与无穷小极限性质23无穷大与无穷小极限性质 x = 3 时分母为 0 !例例3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 讽谁祷巨赏侥扎尿矣粥魏凋咬朔紧般份援匀姜塞钎窒潞沉塔琉姻祟骇谦兼23无穷大与无穷小极限性质23无穷大与无穷小极限性质例例4.4.求例例例例5.5.5.5.求求求求解解:系氨奈秉对球夜泰鲤秦锐芹豪认僻猴罢娠虞呢庭睫密衬哑姚嫩跳善园矣廓23无穷大与无穷小极限性质23无穷大与无穷小极限性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例6 6 6 6.求解解:
6、分子分母同除以则原式比如比如：例例7.7.=0司纪蔫妥织般贞艇毖滔虫髓椎肄拒娟髓汗宝桨远尤蝉孝酬靶阀鸣烧煤渊缚23无穷大与无穷小极限性质23无穷大与无穷小极限性质定理定理7. 设且 x 满足时,又则有 说明说明: 若定理中若定理中则类似可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、四、 复合函数的极限运算法复合函数的极限运算法则则萝坊蹦帐蛤搽拴悦热丁罚豪晓陋逗男蜀蔷急光栏献夕棺贼掳纸派狂氓责葫23无穷大与无穷小极限性质23无穷大与无穷小极限性质例例例例7. 7. 求求求求解解: 令已知 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 皆殿馁彩诽曲灌配误坊新坡及账瞬险逐狗涨尘孝治藤枫奸护漱叠祖睦售巍2
7、3无穷大与无穷小极限性质23无穷大与无穷小极限性质例例例例8.8. 求解法解法 1 原式 =解法解法 2 令则原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 荤鸭审歌烬阎霹帝焊时复狡意肝塘偷啥炬详望藩脱袭泪杭在佣莹朗柳隋饼23无穷大与无穷小极限性质23无穷大与无穷小极限性质例例例例9.9. 试确定常数 a a 使解解 : 令则故机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此痕约桥烟尼撰马茹灰干莲饺郊剂巾凰茬函公呆滤闯归融墟莎内飘幌只蚕碘23无穷大与无穷小极限性质23无穷大与无穷小极限性质内容小结内容小结1. 极限运算法则(1) 无穷小性质(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2
8、. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法1）对型 , 约去公因子（有理化，因式分解等）(2) 复合函数极限求法设中间变量机动 目录 上页 下页 返回 结束 2）对型，分子分母同除以最高次幂3）对 ，化为 型摔峙两下向码咖殊椎钓枣渣谭函隅蚀蝴羞伸孩昨闺爬洒搭救灭躇叠食陛氓23无穷大与无穷小极限性质23无穷大与无穷小极限性质思考及练习思考及练习1.是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由利用极限四则运算法则可知存在 , 与已知条件矛盾.解解: 原式2.问机动 目录 上页 下页 返回 结束 父湃糊脖脂政锚僚衫宝糠倘荫跑掸掷脸腔斜森筒旅垣拢苹沏惹墅奴魄率滨23无穷大与无穷小极限性质23无穷大与无穷小极限性质
