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1、定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用一、平面图形的面积一、平面图形的面积二、体积二、体积三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长四、小结四、小结第二节第二节(Application of the Definite Integral to Geometry)8/26/20248/26/20241第六章第六章 定积分的应用定积分的应用曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、平面图形的面积一、平面图形的面积1.1.直角坐标情形直角坐标情形图图6-2-16-2-1（1 1）图图6-2-1（2）8/26/20248/26/20242第六章第六章 定积分的应用定积分的应用解解两曲线的交
2、点两曲线的交点面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量8/26/20248/26/20243第六章第六章 定积分的应用定积分的应用解解解方程组解方程组选选 为积分变量为积分变量8/26/20248/26/20244第六章第六章 定积分的应用定积分的应用于是所求面积于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗？吗？8/26/20248/26/20245第六章第六章 定积分的应用定积分的应用解解解方程组解方程组选选 为积分变量为积分变量8/26/20248/26/20246第六章第六章 定积分的应用定积分的应用8
3、/26/20248/26/20247第六章第六章 定积分的应用定积分的应用如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积8/26/20248/26/20248第六章第六章 定积分的应用定积分的应用解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积图图6-2-58/26/20248/26/20249第六章第六章 定积分的应用定积分的应用面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积2.2.极坐标情形极坐标情形 设由曲线设由曲线)(q qj j= =及射线及射线a aq q= =、b bq q= =围成
4、一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)(q qj j在在,b ba a上连续，且上连续，且0)( q qj j图图6-2-66-2-68/26/20248/26/202410第六章第六章 定积分的应用定积分的应用解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积图图6-2-78/26/20248/26/202411第六章第六章 定积分的应用定积分的应用解解利用对称性知利用对称性知例例 6 6 求心形线求心形线)cos1(q q+ += = a所围平面图形的所围平面图形的面积面积)0( a.图图6-2-86-2-88/26/20248/26/2024
5、12第六章第六章 定积分的应用定积分的应用 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、体积二、体积1.1.旋转体的体积旋转体的体积图图6-2-98/26/20248/26/202413第六章第六章 定积分的应用定积分的应用xyo旋转体的体积为旋转体的体积为图图6-2-108/26/20248/26/202414第六章第六章 定积分的应用定积分的应用解解直线直线 方程为方程为图图6-2-118/26/20248/26/202415第六章第六章 定积分的应用定积
6、分的应用图图6-2-118/26/20248/26/202416第六章第六章 定积分的应用定积分的应用解解图图6-2-128/26/20248/26/202417第六章第六章 定积分的应用定积分的应用图图6-2-138/26/20248/26/202418第六章第六章 定积分的应用定积分的应用解解图图6-2-14(1)BCA8/26/20248/26/202419第六章第六章 定积分的应用定积分的应用图图6-2-14(2)BCA8/26/20248/26/202420第六章第六章 定积分的应用定积分的应用补充补充利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中8/26/20248/26/202
7、421第六章第六章 定积分的应用定积分的应用2.平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积立体体积图图6-2-158/26/20248/26/202422第六章第六章 定积分的应用定积分的应用解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积图图6-2-166-2-168/26/20248/26/202423第六章第六章 定积
8、分的应用定积分的应用解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积图图6-2-176-2-178/26/20248/26/202424第六章第六章 定积分的应用定积分的应用三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长图图6-2-186-2-188/26/20248/26/202425第六章第六章 定积分的应用定积分的应用弧长元素弧长元素弧长弧长1.1.直角坐标情形直角坐标情形图图6-2-196-2-198/26/20248/26/202426第六章第六章 定积分的应用定积分的应用解解所求弧长为所求弧长为图图6-2-206-2-208/26/20248/26/20242
9、7第六章第六章 定积分的应用定积分的应用解解8/26/20248/26/202428第六章第六章 定积分的应用定积分的应用曲线弧为曲线弧为弧长弧长2.2.参数方程情形参数方程情形8/26/20248/26/202429第六章第六章 定积分的应用定积分的应用解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为根据对称性根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长8/26/20248/26/202430第六章第六章 定积分的应用定积分的应用曲线弧为曲线弧为弧长弧长3.3.极坐标情形极坐标情形8/26/20248/26/202431第六章第六章 定积分的应用定积分的应用解
10、解例例 15 15 求极坐标系下曲线求极坐标系下曲线的长的长. . 8/26/20248/26/202432第六章第六章 定积分的应用定积分的应用四、小结四、小结1.1.平面图形的面积平面图形的面积（直角坐标、参数方程、极坐标）；直角坐标、参数方程、极坐标）；2.2.旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周8/26/20248/26/202433第六章第六章 定积分的应用定积分的应用3.3.平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下
11、参数方程情形下极坐标系下极坐标系下弧微分的概念弧微分的概念求弧长的公式求弧长的公式8/26/20248/26/202434第六章第六章 定积分的应用定积分的应用1.求由求由 及及 所围图形的面积所围图形的面积.2.求由求由 及及 所围图形的面积所围图形的面积.3.求星形线求星形线 所围图形的面积所围图形的面积.练习题练习题8/26/20248/26/202435第六章第六章 定积分的应用定积分的应用8/26/20248/26/202436第六章第六章 定积分的应用定积分的应用作业作业 P284-286 P284-286 2(12(1)(2); )(2); 3; 4;3; 4; 9; 12; 21; 22. 9; 12; 21; 22.练习题答案练习题答案8/26/20248/26/202437第六章第六章 定积分的应用定积分的应用
