《线性方程组解的结构》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性方程组解的结构（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节第四节 线性方程组解的结构线性方程组解的结构 (1) n个未知数的齐次线性方程组个未知数的齐次线性方程组Ax = 0有非零解有非零解的充分必要条件为其系数矩阵的秩的充分必要条件为其系数矩阵的秩 R(A) n. (2) n个未知数的非齐次线性方程组个未知数的非齐次线性方程组Ax = b 有解的有解的充分必要条件为系数矩阵充分必要条件为系数矩阵A与增广矩阵与增广矩阵B=(A | b)的秩的秩相等相等, 且当且当R(A)=R(B)=n时有时有唯一解唯一解; 当当R(A)=R(B)n时有无穷多解时有无穷多解; 前面我们已经用初等变换的方法讨论了线性方程前面我们已经用初等变换的方法讨论了线性方程组
2、的解法组的解法, 并建立了两个重要定理并建立了两个重要定理:一、齐次线性方程组的解一、齐次线性方程组的解设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 若记若记则上述方程组可写成向量方程则上述方程组可写成向量方程Ax = 0.若若x1= 11, x2= 21, , xn= n1为方程组为方程组Ax = 0的解的解, 则则称为方程组称为方程组Ax = 0的的解向量解向量. (1) 若若x = 1, x = 2为为Ax = 0的解的解, 则则 x = 1 + 2也也是是Ax = 0的解的解.证明证明: 因为因为 A 1 = 0, A 2 = 0, 所以所以A( 1 + 2) = A 1 + A 2 = 0,
3、故故 x = 1 + 2也是也是Ax = 0的解的解. (2) 若若x = 1为为Ax = 0的解的解, k为数为数, 则则 x = k 1也是也是Ax = 0的解的解.证明证明: 因为因为 A 1 = 0, 所以所以A(k 1) = kA 1 = k 0 = 0,故故 x = k 1也是也是Ax = 0的的解解.这两个性质表明这两个性质表明, Ax = 0的全体解向量所组成的的全体解向量所组成的集合对于加法和数乘运算是封闭的集合对于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成一个向因此构成一个向量空间量空间, 称此向量空间为齐次方程组称此向量空间为齐次方程组 Ax = 0 的的解空间解空间.二、基础解
4、系及其求法二、基础解系及其求法 称向量组称向量组 1, 2, , t为齐次线性方程组为齐次线性方程组Ax = 0的的基础解系基础解系, 如果如果(1) 1, 2, , t 是是Ax = 0的解的一个最大无关组的解的一个最大无关组;(2) Ax = 0的任一解都可由的任一解都可由 1, 2, , t 线性表出线性表出. 如果向量组如果向量组 1, 2, , t 为齐次线性方程组为齐次线性方程组Ax = 0的一组基础解系的一组基础解系, 那么那么, Ax = 0的通解可表示为的通解可表示为:x = k1 1 + k2 2 + + kt t其中其中k1, k2, , kt为任意常数为任意常数.设齐次
5、线性方程组设齐次线性方程组Ax = 0的系数矩阵的系数矩阵A的前的前 r 个列个列向量线性无关向量线性无关, 于是于是A可化为可化为:即有方程组即有方程组(1)现对现对( xr+1, , xn )T 取下列取下列 nr 组数组数(向量向量):分别代入方程组分别代入方程组(1)依次得依次得:从而求得原方程组的从而求得原方程组的 nr个解个解:, 定理定理1: 当当 n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Am nx = 0的系数矩的系数矩阵的秩阵的秩R(A)=r时时, 解集解集S的秩为的秩为 nr .依据以上的讨论，还可推得依据以上的讨论，还可推得 当当R(A)=n时时, 方程组方程组Ax = 0只
6、有零解只有零解, 故没有基故没有基础解系础解系(此时解空间只含一个零向量此时解空间只含一个零向量, 为为0维向量空间维向量空间). 当当R(A)=r n时时, 方程组方程组Ax=0必有含必有含nr个向量的个向量的基础解系基础解系 1, 2, , n-r . 因此由最大无关组的性因此由最大无关组的性质可知，质可知，方程组方程组Ax=0的任何的任何nr个线性无关的解都可个线性无关的解都可构成它的基础解系构成它的基础解系. 并由此可知齐次线性方程组的基并由此可知齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的础解系并不是唯一的,它的通解的形式也不是唯一的它的通解的形式也不是唯一的.例例1: 求齐次线性方程组求齐
7、次线性方程组的的基础解系与通解基础解系与通解.有有解解: 对系数矩阵对系数矩阵A作初等行变换作初等行变换, 变为行最简矩阵变为行最简矩阵,得得即得基础解系即得基础解系:并由此得通解并由此得通解:例例2: 设设Am nBn l = Om l , 证明证明R(A)+R(B) n.证明证明: 设设B =(b1, b2, , bl ), 则则AB = A(b1, b2, , bl ) = (0, 0, , 0 ) = Om l ,即即Abi = 0 ( i =1, 2, , l), 也就是说也就是说, B的每个一列向量都是以的每个一列向量都是以A为系数矩阵的齐为系数矩阵的齐次线性方程组次线性方程组Ax
8、=0的解向量的解向量. R(B)=R(b1, b2, ,bl ) nR(A).R(A)+R(B) n.性质知性质知: 方程组方程组Ax=0的解向量组的秩为的解向量组的秩为nR(A),由齐次线性方程组解的由齐次线性方程组解的因此因此,故故三、非齐次线性方程组的解三、非齐次线性方程组的解证明证明: 因为因为 A 1=b, A 2=b, (1) 设设 x= 1 及及 x= 2 都是方程组都是方程组 Ax=b 的解的解, 则则 x= 1 2为对应齐次方程组为对应齐次方程组Ax=0的解的解.所以所以A( 1 2) = A 1A 2 = b b = 0.故故, x= 1 2为对应齐次方程组为对应齐次方程组
9、Ax=0的解的解. (2) 设设 x= 是方程组是方程组 Ax=b 的解的解, x= 是方程组是方程组 Ax=0 的解的解, 则则 x= + 仍仍为方程组为方程组 Ax=b 的解的解.证明证明: 因为因为 A =b, A =0,所以所以A( + ) = A +A = 0 + b = b.故故, x= + 为方程组为方程组 Ax=b 的解的解.其中其中 k1 1+k2 2+kn-r n-r 为对应齐次线性方程组为对应齐次线性方程组Ax=0的通解的通解, *为非齐次线性方程组为非齐次线性方程组Ax=b的任意一的任意一个特解个特解.非非齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=b的通解为的通解为:x = k
10、1 1 + k2 2 + + kn-r n-r + *. 例例4: 求解方程组求解方程组解解: 对增广矩阵对增广矩阵B施行初等行变换施行初等行变换:可见可见R(A)=R(B)=2, 故方程组有解故方程组有解, 并有并有取取 x2 = x4 = 0, 则则x1 = x3 =即得方程组的一个解即得方程组的一个解取取即得对应的齐次线性方程组的基础解系为即得对应的齐次线性方程组的基础解系为:于是所求通解为于是所求通解为:在对应的齐次线性方程组在对应的齐次线性方程组中中,一、向量空间的概念说明说明2 维向量的集合是一个向量空间维向量的集合是一个向量空间,记作记作 .1集合集合 对于加法及乘数两种运算封闭
11、指对于加法及乘数两种运算封闭指第五节第五节 向量空间向量空间定义定义1 1设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合 非空，非空，且集合且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合集合 为向量空间为向量空间., 33是一个向量空间是一个向量空间维向量的全体维向量的全体R例例1 1例例2 2 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间.解解例例3 3 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间.解解维向量，集合维向量，集合为两个已知的为两个已知的设设nba, 例例4 4试判断集合是否为向量空间试判断集合是否为向量空间.一般
12、地，一般地，为为 ., , , 212122112212211111VVRbbbxVRaaaxVbbaasssmmmsm= = + + + += = = + + + += = =试证：试证：记记等价，等价，与向量组与向量组设向量组设向量组m mm mm mm mm mm ml ll ll ll ll ll lLLLLLL 例例5 5那末，向量组那末，向量组 就称为向量的一个就称为向量的一个基基， 称为向量空间称为向量空间 的维数的维数，并称并称 为为 维向量维向量空间空间三、向量空间的基与维数定义定义2 2 设设 是向量空间，如果是向量空间，如果 个向量个向量 ，且满足，且满足 （1）只含有零向量的向量空间称为）只含有零向量的向量空间称为0维向量空维向量空间，因此它没有基间，因此它没有基说明说明 （3）若向量组）若向量组 是向量空间是向量空间 的一的一个基，则个基，则 可表示为可表示为 （2）若把向量空间）若把向量空间 看作向量组，那末看作向量组，那末 的基的基就是向量组的最大无关组就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的的维数就是向量组的秩秩.设矩阵设矩阵例例6 6
