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1、一、一、函数单调性的判定函数单调性的判定 二、二、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 第第2 2节节 函数的单调性及极值函数的单调性及极值 三、三、函数的最值及其求法函数的最值及其求法 下一页上一页返回 单调性是函数的重要性态之一，在第单调性是函数的重要性态之一，在第单调性是函数的重要性态之一，在第单调性是函数的重要性态之一，在第1 1章中我们已经给出了函数单调性的定义，可章中我们已经给出了函数单调性的定义，可章中我们已经给出了函数单调性的定义，可章中我们已经给出了函数单调性的定义，可以看出，用定义判定函数的单调性是比较困以看出，用定义判定函数的单调性是比较困以看出，用定义判定函数的单调性是
2、比较困以看出，用定义判定函数的单调性是比较困难的，这里我们将利用导数来判定函数的单难的，这里我们将利用导数来判定函数的单难的，这里我们将利用导数来判定函数的单难的，这里我们将利用导数来判定函数的单调性调性调性调性一、一、函数单调性的判定函数单调性的判定下一页上一页返回 设函数设函数 f (x) 在闭区间在闭区间 a, b上连续，在上连续，在开区间开区间 (a, b) 内可导内可导. .(1)(1)若在若在( (a, b) )内内 f (x) 0， 则则函数函数 y=f (x) 在在 a, b 上上单调减少单调减少. . ( (2) )若在若在( (a, b) )内内 f (x) 0， 则函数则
3、函数 y=f (x) 在在 a, b 上上单调增加单调增加. .定理定理定理定理1(1(1(1(函数单调性的充分条件函数单调性的充分条件函数单调性的充分条件函数单调性的充分条件) ) ) )下一页上一页返回证明证明 在在 a, b 上上任取两点任取两点x1, ,x2 ，不妨设不妨设 x1 0，x(a , b), 则则 f (x x) 0, 于是可于是可得得a, b上单调增加上单调增加. . ( (2) )若若f (x) 0，x(a , b), 则则 f (x x) 0, 于是可于是可得得a, b上单调减少上单调减少. . 下一页上一页返回几何意义：几何意义：若曲线若曲线y=f(x)在某区间内的
4、切线与在某区间内的切线与x轴正向夹角是锐角，则曲线在该区间内上升；轴正向夹角是锐角，则曲线在该区间内上升；若这个夹角是钝角，则曲线在该区间内下降若这个夹角是钝角，则曲线在该区间内下降说明：说明：（1）闭区间闭区间 a, b若为开区间、半开区间或若为开区间、半开区间或无穷区间，结论同样成立无穷区间，结论同样成立 （2 2）定理）定理1 1表明，可以根据导数的正负判定可表明，可以根据导数的正负判定可导函数的单调性如果函数的导数仅在个别点导函数的单调性如果函数的导数仅在个别点处为零，而在其余点处均满足定理处为零，而在其余点处均满足定理1 1的条件，的条件，那么定理那么定理1 1的结论仍然成立的结论仍
5、然成立 下一页上一页返回确定函数确定函数 f(x) 单调性的一般步骤：单调性的一般步骤： （1 1）确定函数确定函数 f(x) 的定义域；的定义域； （2 2）求出一阶导数求出一阶导数 f (x)，确定使确定使f (x)=0及及f (x)不存在的点；不存在的点；（3 3）用（用（2 2）所得的点将定义域划分为若）所得的点将定义域划分为若干子区间，列表确定干子区间，列表确定f (x) 在各个子区间内在各个子区间内的符号，进而判定函数的符号，进而判定函数 f(x) 的单调区间的单调区间 下一页上一页返回例例1解解 ( (1) )该函数该函数的定义区间为的定义区间为( ( , ) )( (2) )
6、f (x) = x2 - - 3 x- -4= = (x + + 1)(x - - 4)， 令令f (x) = 0，得得 x1 = - - 1，x 2= = 4的单调区间的单调区间 (3)(3)列列表表讨讨论论如如下下( (表表中中记记号号表表示示单单调调增增加加，记号记号表示单调减少）：表示单调减少）： x( ( , - - 1) )(-(- 1, ,4) ) ( (4, ) ) f (x) f (x)下一页上一页返回 所以所以(-, -1)和和(4, +)是是 f(x) 的递增区间的递增区间, (-1, 4)是是 f(x) 的递减区间的递减区间. . 此例说明此例说明，导数为零的点可能是单
7、调区间的导数为零的点可能是单调区间的分界点另外，导数不存在的点也可能是单调区分界点另外，导数不存在的点也可能是单调区间的分界点间的分界点 例如例如，函数，函数y=x在点在点x=0处连续，但它在处连续，但它在x=0处不可导在区间处不可导在区间( (-, 0) )内内，y0，函数单调增加，函数单调增加，所以点所以点 x=0是函数单调区间的分界点是函数单调区间的分界点 下一页上一页返回例例2 2 证明证明下一页上一页返回 极极极极值值值值是是是是函函函函数数数数的的的的一一一一种种种种局局局局部部部部性性性性态态态态，能能能能为为为为我我我我们们们们准准准准确确确确描描描描绘绘绘绘函函函函数数数数图
8、图图图形形形形提提提提供供供供更更更更详详详详细细细细的的的的信信信信息息息息，同同同同时时时时在在在在求求求求函函函函数数数数的的的的最最最最大大大大值值值值和和和和最最最最小小小小值值值值问问问问题题题题时时时时发发发发挥挥挥挥重重重重要要要要作作作作用用用用下下下下面面面面介介介介绍绍绍绍函函函函数数数数极极极极值值值值的的的的定定定定义义义义，讨讨讨讨论论论论函函函函数数数数极极极极值的求法值的求法值的求法值的求法二、二、函数的极值及其求法函数的极值及其求法下一页上一页返回定义定义 设函数设函数 y = f(x) 在点在点 x0及其左右近旁有定义及其左右近旁有定义，若对于若对于x0的左
9、右近旁异于的左右近旁异于 x0 的的 x 恒有恒有( (1) ) f (x0) f (x)，则称则称 f (x0) 为函数为函数 f (x) 的的极大值极大值，x0 称为称为 f (x) 的的极大值点极大值点；( (2) ) f (x0) f (x)，则称则称 f (x0) 为函数为函数 f (x) 的的极小值极小值，x0 称为称为 f (x) 的的极小值点极小值点；函数的极大值函数的极大值、极小值统称为函数的极小值统称为函数的极值极值，极大值点极大值点、极小值点统称为极小值点统称为极值点极值点.下一页上一页返回如如图图所所示示， x1，x4 为为 f (x) 的极大值点，的极大值点，x2，x
10、5 为为 f (x) 的极小值点的极小值点.y = f (x)yxOx1x2x3x4x5 函数的极值概念是局部性的函数的极值概念是局部性的. .说说 f(x0)是极大值或是极大值或极小值，只是与极小值，只是与 x0 附近点附近点x的函数值的函数值 f(x)相比较相比较 因此，就整个定义区间而言，因此，就整个定义区间而言，一个函数可能有若一个函数可能有若干个极大值或极小值，而且有的极大值可能比有的极干个极大值或极小值，而且有的极大值可能比有的极小值还小小值还小下一页上一页返回定理定理2 (2 (极值的必要条件极值的必要条件) )设函数设函数 f (x) 在在 x0 处可导处可导，且且 f (x0
11、) 为极值，为极值，则必有则必有 f (x0) = 0.即即f (x0 x ) - - f (x0) 0， x 0 . 证明证明(1)(1)设设 f (x0) 是极大值，则必有是极大值，则必有由定理条件知由定理条件知f (x0)存在，故有存在，故有下一页上一页返回几何意义：几何意义： 可可导导函函数数的的图图形形在在极极值值点点处处的的切线与切线与 x 轴平行轴平行. .驻点驻点：使得导数使得导数 f (x0) = 0 的点的点 x0 . . 定理定理2 2说明，说明，可导函数的极值点必是驻点可导函数的极值点必是驻点. . 反之，反之，函数的驻点不一定是极值点函数的驻点不一定是极值点 另外，另
12、外，一阶不可导点也可能是极值点一阶不可导点也可能是极值点. .下一页上一页返回 例如例如，x=0 是函数是函数 f(x)=x3的驻点而不的驻点而不是它的极值点；函数是它的极值点；函数 f(x)=x在在 x=0 处处不可导，但不可导，但 f(0)=0是它的极小值是它的极小值. . 驻点和一阶不可导点统称为函数的驻点和一阶不可导点统称为函数的极极值嫌疑点值嫌疑点. .那么极值嫌疑点是不是极值点，那么极值嫌疑点是不是极值点，如果是极值点，它是极大值点还是极小值如果是极值点，它是极大值点还是极小值点，如何判断？为了解决这些问题有下面点，如何判断？为了解决这些问题有下面的定理：的定理： 下一页上一页返回
13、定理定理 3 ( (极值的第一充分条件极值的第一充分条件) )设设函函数数 f (x) 在在点点x0 的的左左右右近近旁旁可可导导( (在在点点x0 处处可以不可导可以不可导，但必须连续但必须连续) )，若若当当 x 在在x0 的的左左右右近近旁旁由小于由小于 x0 连续地变为大于连续地变为大于 x0 时时， f (x0) 改变符号改变符号，则函数则函数 f (x) 在点在点x0取得极值取得极值，且且( (1) )若导数若导数 f (x) 由正变负由正变负， 则则f (x0) 为为函数函数 f (x) 的的极小值，极小值，x0 0为极小值点为极小值点. .( (2) )若导数若导数 f (x)
14、 由负变正由负变正， 则则 f (x0)为为函函数数 f(x) 的极大值的极大值，x0为极大值点为极大值点. . (3)(3)若若f (x)不变号，则不变号，则f (x0)不是函数不是函数 f (x)的极值，的极值，x0不是极值点不是极值点. .下一页上一页返回运用定理运用定理 3 求函数求函数f(x)的极值点和极值的的极值点和极值的一般步骤是：一般步骤是：( (1) )确定函数的定义域确定函数的定义域. .( (2) )求出一阶导数求出一阶导数f (x)，确定确定f(x)的极值嫌疑点的极值嫌疑点. .(4)(4)求出各极值点处的函数值，得到函数求出各极值点处的函数值，得到函数f(x)的的 全
15、部极值全部极值. .( (3)3)用用极值嫌疑点划分定义域，列表讨论极值嫌疑点划分定义域，列表讨论f (x)的的 符号变化，确定极值点符号变化，确定极值点. .下一页上一页返回例例3 3求函数求函数 f (x) = (x - -1) 3 的极值的极值. .解解 (1) f (x)的定义域为的定义域为(-, +).（3）列表讨论如下：列表讨论如下：下一页上一页返回x(-(- , 0) )f (x)0+ +不存在不存在- -0+ +f (x)极大值极大值03下一页上一页返回例例4 4 求函数求函数 f (x) = (x 2- 1)3 - 1的极值的极值. .解解(1)(1)f(x)的定义域为的定义
16、域为 (- - ,+,+ ).(2) f (x) =3 (x 2- - 1)2 2x=6x(x +1+1)2 (x - - 1)2,令令 f (x) = 0 , 得驻点得驻点 x1=-1 , x2=0 , x3=1. .（3）列表讨论如下：列表讨论如下：下一页上一页返回( (1, + + ) )x(-(- , 1) )f (x)-11- -0- -0+ +0+ +f (x)无极值无极值无极值无极值0 所以，函数在点所以，函数在点 x=0 取得极小值取得极小值 f(0)=-2 ，函数没有极大值函数没有极大值 下一页上一页返回定理定理 4( ( 极值的第二充分条件极值的第二充分条件 ) )( (1
17、) )若若 f (x0) 0，则，则 f(x0) 为函数为函数f (x)的的极小值，极小值， x0为极小值点为极小值点. .( (证明从略证明从略) )若若 f (x0) = 0，且且 f (x0) 0， 则则函函数数f (x)在在点点x0 0取得取得极值极值，且且设设函函数数 f (x) 在在点点 x0 的的二二阶阶导导数数存存在在，若若下一页上一页返回运运用用定定理理4求求函函数数f(x)的的极极值值点点和和极极值值的的一般步骤是：一般步骤是：(1)(1)确定定义域确定定义域. .(3)(3)考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确 定极值点定极值点. .(
18、4)(4)求出极值点处的函数值，取得函数求出极值点处的函数值，取得函数 f(x) 的的 全部极值全部极值. .(2)(2)求出一阶导数求出一阶导数f (x)，确定确定f(x)的所有驻点的所有驻点. .下一页上一页返回例例5 5求函数求函数 f (x) = x4 10x2 + + 5 的极值的极值. .解解 ( (1) ) f (x)的定义域为的定义域为 (- - , , + + ).(2) f (x) = 4x3 20x = 4x(x2 - - 5)，令令 f (x) = 0 ,得驻点得驻点( (3)3)因为因为 f (x) = 12x2 20， 于是有于是有所以所以函数函数 f(x) 在点在
19、点 x=0 取得极大值取得极大值 f(0) =5,下一页上一页返回 在在在在实实实实际际际际问问问问题题题题中中中中常常常常会会会会遇遇遇遇到到到到求求求求函函函函数数数数的的的的最最最最大大大大值值值值与与与与最最最最小小小小值值值值问问问问题题题题下下下下面面面面我我我我们们们们在在在在函函函函数数数数极极极极值值值值的的的的基基基基础础础础上上上上讨讨讨讨论论论论如如如如何何何何求求求求函函函函数数数数的的的的最最最最大大大大值值值值与与与与最最最最小值小值小值小值 三、三、函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值下一页上一页返回 分析分析：若函数若函数f(x)在闭区间在闭区间a, b上
20、上连续，连续，那么它在那么它在 a, b 上一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值显然，在所设条件下，显然，在所设条件下，f(x)在闭区间在闭区间a, b的最的最值只可能在极值点和区间的端点处达到值只可能在极值点和区间的端点处达到 又因为又因为极值点只能在极值嫌疑点中去找，所以只极值点只能在极值嫌疑点中去找，所以只要求要求出全部极值嫌疑点和两个端点处的函数值，然出全部极值嫌疑点和两个端点处的函数值，然后加以比较，最大的就是最大值，最小的就是后加以比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值最小值 1.1.函数在闭区间上的最大值和最小值函数在闭区间上的最大值和最小值下一页上一页返回例例6 6 求
21、函数求函数 f (x) = x3-3x2 -9x+ 5在在 -2,6上的上的最大值和最小值最大值和最小值. .解解f (x) = 3x2 - 6x 9 =3(x+1)(x-3), 令令 f (x) = 0，得驻点得驻点 x1= -1, x2= 3. 计算计算f(x)在所有驻点及端点处的函数值：在所有驻点及端点处的函数值：f(-1)=10 , f(3)=-22 , f(-2)=3 , f(6)=59, 比较这些值的大小，可知，比较这些值的大小，可知， 在在-2,6上，函数上，函数f(x)的最大值为的最大值为f(6)=59, 最最小值为小值为f(3)=-22. .下一页上一页返回例例7 7解解函数
22、函数f (x) 在闭区间在闭区间-1,1上连续，且有上连续，且有下一页上一页返回 在在实际问题实际问题中，若分析得知函数中，若分析得知函数f(x)确实存在最大值或最小值，而所讨论的确实存在最大值或最小值，而所讨论的区间内仅有一个极值嫌疑点区间内仅有一个极值嫌疑点x0，则则 f(x0)就是所要求的最大值或最小值就是所要求的最大值或最小值 2.2.实际问题中的最大值和最小值实际问题中的最大值和最小值下一页上一页返回例例8 8要建造一个容积为要建造一个容积为V ( (正常数正常数) )的圆柱形密的圆柱形密闭容器，问应怎样选择圆柱形容器的半径闭容器，问应怎样选择圆柱形容器的半径R和高和高h，才能使所用
23、的原材料最省？才能使所用的原材料最省？（如图所示）如图所示） 解解由题意可知，要求适当由题意可知，要求适当选择选择R和高和高h，使圆柱形密闭容使圆柱形密闭容器的表面积器的表面积S最小而其容积最小而其容积V是是一常数因为一常数因为 Rh 下一页上一页返回下一页上一页返回例例9 9如图如图所示的电路中，已知电源电压为所示的电路中，已知电源电压为E，内内阻为阻为r，求负载电阻求负载电阻R为多大时，输出功率最大为多大时，输出功率最大 解解 由电学知道，消耗在负由电学知道，消耗在负载电阻载电阻R上的功率为上的功率为P=I2R，其中其中I为回路中的电流根据欧姆定为回路中的电流根据欧姆定律，有律，有 IRrE下一页上一页返回 现在来求现在来求R在在(0,+) 内取何值时，输出内取何值时，输出功率功率 P最大：最大：所以所以 R=r. 由于在区间由于在区间(0, +)内函数内函数P只有一个极值只有一个极值嫌疑点嫌疑点R=r，所以当所以当R=r时，输出功率最大时，输出功率最大 下一页上一页返回
