第二章流体输运性质及数学描述方法(讲义)

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1、第二章第二章流体输运性质及运动物理量描述流体输运性质及运动物理量描述第一节第一节流体的流体的输运性质输运性质第二节第二节流体运动物理量的流体运动物理量的描述描述 当系统各部分的物理性质如当系统各部分的物理性质如速度速度、温度温度或或密度密度不均匀时，系统则处于不均匀时，系统则处于非平衡态非平衡态。在不受外界干预。在不受外界干预时，系统总是要从时，系统总是要从非平衡态向平衡态过渡非平衡态向平衡态过渡。这种过。这种过渡称为输运过程。流体输运现象是一种渡称为输运过程。流体输运现象是一种自发过程自发过程。 从微观角度看，流体输运性质是由分子热运动从微观角度看，流体输运性质是由分子热运动以及分子之间的碰

2、撞产生的，使流体宏观性质趋于以及分子之间的碰撞产生的，使流体宏观性质趋于一致。一致。 输运过程有三种：输运过程有三种：动量输运动量输运、热量输运热量输运、质量质量输运输运。流体的这三种输运性质分别对应。流体的这三种输运性质分别对应粘滞现象粘滞现象、导热现象导热现象和和扩散现象扩散现象。第一节第一节流体的流体的输运输运性质性质1 1、定义：流体内部质点间或流层间因定义：流体内部质点间或流层间因相对运动相对运动而产生而产生内摩擦力内摩擦力以反抗相对运动的性质，称之为动量输运，以反抗相对运动的性质，称之为动量输运，或称为或称为粘性（粘度）粘性（粘度）。此内摩擦力称为。此内摩擦力称为粘滞力粘滞力。2

3、2、表达式、表达式一、动量输运（粘滞现象）一、动量输运（粘滞现象）-为为动力黏度动力黏度（黏度系数黏度系数），单位为：），单位为：Pa.s 或或 N.s/m2 或或Kg/(m.s)为速度梯度，单位为：为速度梯度，单位为： dyyduu流速为非线性分布流速为非线性分布-为速度梯度为速度梯度 粘性切应力与速度梯度成正比粘性切应力与速度梯度成正比; ;(2)(2)粘度系数物理意义：粘度系数物理意义：促使流体流动产生单位速度梯促使流体流动产生单位速度梯 度的剪应力度的剪应力。粘度总是与速度梯度相联系。粘度总是与速度梯度相联系。3 3、流体粘性成因、流体粘性成因 流体流体内摩擦内摩擦是两层流体间分子是两

4、层流体间分子内聚力内聚力和和分子动量交换分子动量交换的的宏观表现。宏观表现。 当两层液体作相对运当两层液体作相对运动时，两层液体分子的动时，两层液体分子的平均距离加大，分子之平均距离加大，分子之间的引力克服它们之间间的引力克服它们之间的相对运动。的相对运动。 （1）液体）液体 气体分子的随机运动范气体分子的随机运动范围大，流层之间的分子交围大，流层之间的分子交换频繁。换频繁。 两层之间的分子动量交两层之间的分子动量交换表现为力的作用，称为换表现为力的作用，称为表表观切应力观切应力。气体内摩擦力即气体内摩擦力即以表观切应力为主以表观切应力为主。一般认为：液体粘性主要取决于分子间的引力，气体的黏性

5、主要取液体粘性主要取决于分子间的引力，气体的黏性主要取决于分子的热运动决于分子的热运动。（2）气体）气体运动粘度系数运动粘度系数：4 4、运动粘度、运动粘度单位单位：m2/s常见流体的动力黏度和运动黏度常见流体的动力黏度和运动黏度( (表表2.1)2.1) 流体的黏度随流体的黏度随温度温度和和压力压力而变化，分别称为而变化，分别称为黏温特性黏温特性和和黏压黏压特性特性。黏度一般随温度变化较大，随压力变化不大。黏度一般随温度变化较大，随压力变化不大。 液体：分子之间的液体：分子之间的引力引力是产生粘度的主要因素是产生粘度的主要因素 温度温度分子间距分子间距分子吸引力分子吸引力内摩擦力内摩擦力粘度

6、粘度 气体：分子热运动引起的气体：分子热运动引起的动量交换动量交换是产生粘度的主要因素。是产生粘度的主要因素。 温度温度分子热运动分子热运动动量交换动量交换内摩擦力内摩擦力粘度粘度 5 5、影响粘度的因素、影响粘度的因素说明：满足牛顿黏性定律的流体称为说明：满足牛顿黏性定律的流体称为牛顿牛顿流体流体，如油液和水为牛顿流体；反之称为，如油液和水为牛顿流体；反之称为非牛顿流体非牛顿流体，如奶油、高分子聚合物和胶，如奶油、高分子聚合物和胶质体等。当质体等。当 时称为无黏性流体。时称为无黏性流体。与垂直于流动方向的速度梯度与垂直于流动方向的速度梯度du/dydu/dy成正比成正比与接触面的面积与接触面

7、的面积A A成正比成正比与流体的种类有关与流体的种类有关与接触面上压强与接触面上压强P P 无关无关内摩擦力内摩擦力 F F6 6、流体按照粘度的分类、流体按照粘度的分类例例1 1：汽缸内壁的直径：汽缸内壁的直径D D=12=12cmcm，活塞的直径，活塞的直径d d=11.96=11.96cmcm，活塞长度，活塞长度L L=14=14cmcm，活塞往复运动的速度为，活塞往复运动的速度为1 1m/sm/s，润滑油的，润滑油的 = =0.1Pa0.1Pas s。求作。求作用在活塞上的粘性力。用在活塞上的粘性力。注意：面积、速度梯度的取法注意：面积、速度梯度的取法dDL例例题题 2 2 : :直直

8、径径为为 150150mmmm的的圆圆柱柱，固固定定不不动动。内内径径为为151.24151.24mmmm的的圆圆筒筒，同同心心地地套套在在圆圆柱柱之之外外。二二者者的的长长度度均均为为250250mmmm。柱柱面面与与筒筒内内壁壁之之间间空空隙隙充充以以甘甘油油。转转动动外外筒筒，每每分分钟钟100100转转，测测得得转转矩矩为为9.0919.091N.mN.m。假假设设空空隙隙中中甘甘油油的速度按线性分布的速度按线性分布，也不考虑末端效应。计算甘油的动力粘度，也不考虑末端效应。计算甘油的动力粘度例题例题3 3：一底面积为：一底面积为40cm40cm45cm45cm，高为，高为1cm1cm的

9、木块，质的木块，质量为量为5kg5kg，沿着涂有润滑油的斜面等速向下运动。已知，沿着涂有润滑油的斜面等速向下运动。已知v v 1m/s, 1m/s, =1mm, =1mm, 求润滑油的求润滑油的动力粘度动力粘度13125GvG 例题例题4 4：如图所示，转轴直径：如图所示，转轴直径=0.36m=0.36m，轴承长度，轴承长度=1m=1m，轴与轴承之间，轴与轴承之间的缝隙的缝隙0.2mm0.2mm，其中充满动力粘度，其中充满动力粘度0.72 Pa.s0.72 Pa.s的油，如果轴的转的油，如果轴的转速速200rpm200rpm，求克服油的粘性阻力所消耗的功率。，求克服油的粘性阻力所消耗的功率。

10、二、质量输运（扩散现象）二、质量输运（扩散现象）1 1、定义：流体密度分布不均时，流体的质量就会从定义：流体密度分布不均时，流体的质量就会从高密度区迁移到高密度区迁移到低密度区低密度区，这种现象称为，这种现象称为扩散现象扩散现象。根据组分不同，扩散现象分为。根据组分不同，扩散现象分为自自扩散扩散和和互扩散互扩散。2 2、自扩散、自扩散yx单位时间内每单位面积上的质量输单位时间内每单位面积上的质量输运为运为: :- - 自扩散系数自扩散系数负号表示质量输运方向和密度梯度方负号表示质量输运方向和密度梯度方向相反。向相反。2 2、互扩散（、互扩散（FickFick定律）定律） 某一种组分的某一种组分

11、的定常扩散率定常扩散率与其与其密度梯度密度梯度和和截面积截面积成正比，或成正比，或者单位时间每单位面积的质量流量与密度梯度成正比。者单位时间每单位面积的质量流量与密度梯度成正比。- -单位面积质量流量单位面积质量流量- -扩散系数，单位：扩散系数，单位：m m2 2/s/s一维定常的第一一维定常的第一FickFick扩散定律扩散定律 在三维空间中，每单位面积的质量流量为：在三维空间中，每单位面积的质量流量为： - - 组分组分A A的密度梯度的密度梯度单位为单位为m m2 2/s/s，其大小依赖于，其大小依赖于压强、温度和组分压强、温度和组分 几种物质的几种物质的扩散系数扩散系数小结：小结：粘

12、性（牛顿粘性定律）：粘性（牛顿粘性定律）：扩散（扩散（FickFick定律）：定律）：热传导（傅立叶定律）：热传导（傅立叶定律）： 动量、能量和质量三种输运，从微观角度看是通过分子热运动及分子相对碰撞分子热运动及分子相对碰撞实现的，使流体的宏观性质趋于一致。输运过程为不可逆不可逆过程，输运现象也只在层层流流动流流动中考虑。三、表面张力和毛细现象三、表面张力和毛细现象 1、液体内部与液体表面的特性： 液体内部质点内部质点之间的相互作用表现为压力压力；而界面液体之间的相互作用力表现为张力张力。张力引起液面内外出现压力差压力差以及毛细现象毛细现象。 2、表面张力现象与机理： 当液体与其它流体或固体接

13、触时，在分界面上都产生表面张力，出现一些特殊现象，例如空气中的雨滴呈空气中的雨滴呈球状球状；液体的自由表面好像一个被拉紧了的弹性薄膜弹性薄膜等。 表面张力的形成主要取决于分界面液体分子间的吸分界面液体分子间的吸引力引力，也称为内聚力内聚力。在液体中，一个分子只有距离它约10-7cm的半径范围内才能受到周围分子吸引力的作用。在这个范围内的液体分子对该分子的吸引力各方向相等，处于平衡状态。但在靠近静止液体的自由表面、深度小小于约于约10-7cm10-7cm薄的表面层内，每个液体分子与周围分 子之间的吸引力不能达到平衡，而合成一个垂直于自由表面的合力。这个合力从自由表面向下作用在该分子上，当分子处于

14、自由表面上时，向下的合力达到最大值。表面层内的所有液体分子均受有向下的吸引力，从而把表把表面层紧紧拉向液体内部面层紧紧拉向液体内部。由于表面层中的液体分子都有指向液体内部的拉力作用，所以任何液体分子在进入表面层时都必须反抗这种力的作用，也就是必须给这些分子以机械功。当自由表面收缩时，在收缩的方向上必定有与收缩方向相反的作用力，这种力称为表面张力表面张力。 表面张力T的大小以作用在单位长度上的力表示，计算式为：3、表面张力的计算： 为表面张力系数表面张力系数，描述单位长度截线上的单位长度截线上的表面张力表面张力，单位是N/m。 液体表面张力系数（表液体表面张力系数（表2.62.6，p17p17）

15、 饱和水表面张力系数与温度关系（表饱和水表面张力系数与温度关系（表2.72.7，p17p17） 常用液体在常用液体在20时与空气接触的表面张力系数时与空气接触的表面张力系数* 和空气接触 * * 和水银本身蒸汽接触20时两种介质分界面上的表面张力系数时两种介质分界面上的表面张力系数4、弯曲液面下的压强差（表面张力对液体自由表面两表面张力对液体自由表面两侧压强的影响侧压强的影响）： 若自由表面是一个平面，则沿着平面的表面张力处于平衡状态，平面表面两侧的压强相等；若自由表面是曲面曲面，则表面张力将使曲面两侧产生压强差压强差p1-p2p1-p2 ，以维持平衡。 设在曲表面上取一个边长为ds1和ds2

16、的微元矩形双曲面，双曲面曲率半径各为R1和R2，夹角为 和 ，作用在曲面凹面和凸面的压强分别为p1和p2，如图所示。在微元矩形双曲面两对边ds1和ds2上，R1R2ds1双曲面曲率半径R2双曲面曲率半径R1双曲面曲率半径夹角R1R1R1R2与边界线正交的外向力图1-5 曲表面的表面张力和压强 表面张力产生一对与边界线正交的向外力 和 ，则垂直于曲面的合力沿曲面法线方向的力平衡方程为 于是得： 由上式可知，曲面两侧压强差的大小正比于表面张力系数正比于表面张力系数，反比于反比于曲表面的曲率半径曲表面的曲率半径。 5、毛细现象 把细管插入液体内，若液体液体( (如水如水) )分子间的吸分子间的吸引力

17、引力( (称为内聚力称为内聚力) )小于液体分子与固体分子之间的吸引小于液体分子与固体分子之间的吸引力力，也称为附着力，则液体能够润湿固体润湿固体，液体将在管内上升到一定的高度，管内的液体表面呈凹面，如图2-1(a)所示，若液体液体( (如水银如水银) )的内聚力大于液体与固体之的内聚力大于液体与固体之间的附着力间的附着力，则液体不能润湿固体不能润湿固体，液体将在管内下降到一定高度，管内的液体表面呈凸面，如图2-1(b)所示。图2-1 (a) 湿润管壁的液体的液面上升 (b) 不湿润管壁的液体的液面下降液体在细管中能上升或下降的现象称为毛细现象毛细现象。液体在细管中上升或下降的高度与表面张力有

18、关，可以用简便方法直接求得。如图2-1(a)，密度为的液体在润湿管壁的表面张力作用下，沿半径为r的细管上升到h高度后停止，达到平衡状态，即表面张力向上分表面张力向上分力的合力与升高液柱的重量相等力的合力与升高液柱的重量相等。设液面与固体壁面的接触角接触角(液体表面的切面与固壁表面的夹角，在液体液体表面的切面与固壁表面的夹角，在液体内部内部)为 ， 细管内液体的凹表面近似地看作是高度为、半径为R 的球冠。则其平衡关系式为： 或 由图2-1a可知： 代入上面平衡关系式，即得上升高度的计算式 （2-1） 接触角与球冠液面的高度的关系： 在图2-1（a）中 （2-2a） 在图2-1（b）中 而 （2-

19、2b） 水与玻璃的接触角约为 ，由式（2-2a）得 将上式代入式（2-1），得水在细玻璃管中的上升高度为 （2-3） 对于很细的玻璃管很细的玻璃管，水的凹表面可近似地看作是一个半球面，则=00，=R= r ，于是由式（2-1）可得 (2-4) 水银与玻璃的接触角约为1400，由式（2-2b）得 将上式代入式（2-1），得水银在细玻璃管中的下降高度为 （2-5） 由式（2-3）和式（2-5）可知，当细管半径越小时，细管半径越小时，h的绝的绝对值就越大对值就越大。所以，当用内径很细的管子作液柱式测压计的管子时，会造成较大的测量误差。一般来说，对于水，细管的内径应对于水，细管的内径应大于大于14mm

20、；对于水银，细管的内径大于细管的内径大于10mm时，此时毛细时，此时毛细现象产生的测量误差已很小，不必加以修正现象产生的测量误差已很小，不必加以修正。 【例例1-3】 把一内径为10mm的玻璃管插入盛有20水的容器中，求水在玻璃管中上升的高度。 【解解】 查得20水的密度，表面张力，则由式（2-3）得：第二节第二节流体运动物理量的描述流体运动物理量的描述一、拉格朗日方法一、拉格朗日方法二、欧拉法二、欧拉法三、描述流体运动的概念三、描述流体运动的概念拉格朗日：拉格朗日： 法国数学家、物理学家。法国数学家、物理学家。1736年年1月月25日生于意大利西北部的都灵，日生于意大利西北部的都灵，1813

21、年年4月月10日卒于巴黎。日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在出邀请说，在“欧洲最大的王欧洲最大的王”的宫廷中应有的宫廷中应有“欧洲最大的数学家欧洲最大的数学家”。于是他应邀去柏林，。于是他应邀去柏林，居住达二十年之久。在此期间他完成了居住达二十年之久。在此期间他完成了分析分析力学力学一书，建立起完整的力学体系。一书，建立起完整的力学体系。1786年，他接受法王路易十六的邀请，年，他接受法王路易十六的邀请，定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领域定居巴黎，直至去世

22、。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。朗日的工作。欧拉欧拉(Euler)(Euler)： 瑞士数学家及自然科学家。瑞士数学家及自然科学家。1707年年4月月15日出生於瑞士的巴塞尔，日出生於瑞士的巴塞尔，1783年年9月月18日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭，自幼受父亲日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭，自幼受父亲的教育。的教育。13岁时入读巴塞尔大学，岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，岁大学毕业，16岁获硕士学位岁获硕士学位。欧拉是欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他世纪数学界最杰出的人物之一，他不但

23、为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、几何年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、几何学、变分法等课本，学、变分法等课本，无穷小分析引论无穷小分析引论、微分微分学原理学原理、积分学原理积分学原理等都成为数学中的经典等都成为数学中的经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

24、数、公式和定理。拉格朗日法拉格朗日法拉格朗日法拉格朗日法欧拉法欧拉法欧拉法欧拉法 着着眼眼于于流流体体质质点点，跟跟踪踪质点描述其运动历程质点描述其运动历程着着眼眼于于空空间间点点，研研究究质质点点流流经经空空间间各各固固定定点的运动特性点的运动特性是描述液体运动是描述液体运动常用的一种方法。常用的一种方法。描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法: : : :一、一、LagrangeLagrange法（拉格朗日法）法（拉格朗日法）法（拉格朗日法）法（拉格朗日法） 基本思想：基本思想：基本思想：基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录它们跟踪

25、每个流体质点的运动全过程，记录它们跟踪每个流体质点的运动全过程，记录它们跟踪每个流体质点的运动全过程，记录它们在运动过程中的各物理量及其变化规律在运动过程中的各物理量及其变化规律在运动过程中的各物理量及其变化规律在运动过程中的各物理量及其变化规律。 基本参数：基本参数：基本参数：基本参数： 位移位移位移位移流体质点的位置坐标：流体质点的位置坐标：流体质点的位置坐标：流体质点的位置坐标：几点说明：几点说明：几点说明：几点说明：1、对于某个确定的流体质点，（、对于某个确定的流体质点，（a，b，c）为常数，）为常数， 为变量为变量2、t为常数，（为常数，（a，b，c）为变量）为变量某一时刻不同流体质

26、点的位置分布某一时刻不同流体质点的位置分布3、a，b，c为为Lagrange变量变量，不是空间坐标函数，是流体质点的标号，不是空间坐标函数，是流体质点的标号“跟踪跟踪”的方法的方法独立变量：独立变量：独立变量：独立变量：（a,b,c, a,b,c, a,b,c, a,b,c, ）区分流体质点的标志区分流体质点的标志区分流体质点的标志区分流体质点的标志1. 1. 流体质点的位置坐标：流体质点的位置坐标：流体质点的位置坐标：流体质点的位置坐标：2. 2. 速度：速度：速度：速度：3. 3. 流体质点的加速度：流体质点的加速度：流体质点的加速度：流体质点的加速度：质点物理量：质点物理量：质点物理量：

27、质点物理量：流体质点的运动方程流体质点的运动方程 直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程 数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用 优缺点优缺点优缺点优缺点：二、二、二、二、 EulerEuler法（欧拉法）法（欧拉法）法（欧拉法）法（欧拉法）流体质点和空间点是两个完全不同的概念。流体质点和空间点是两个完全不同的概念。流体质点和空间点是两个完全不同的概念。流体质点和空间点是两个完全不同的概念。uu 独立变量：独立变量：独立变量：独立变量：uu 基本思想：基本思想：基本思想：基本思想：考察空间每一点

28、上的物理量及其变化。考察空间每一点上的物理量及其变化。考察空间每一点上的物理量及其变化。考察空间每一点上的物理量及其变化。空间一点上的物理量是指占据该空间点的流体质点的物理量。空间一点上的物理量是指占据该空间点的流体质点的物理量。空间一点上的物理量是指占据该空间点的流体质点的物理量。空间一点上的物理量是指占据该空间点的流体质点的物理量。“站岗站岗”的方法的方法二、二、二、二、 EulerEuler法（欧拉法）法（欧拉法）法（欧拉法）法（欧拉法）uu 流体质点运动的加速度流体质点运动的加速度流体质点运动的加速度流体质点运动的加速度矢量形式矢量形式局部加速度局部加速度质点加速度质点加速度质点加速度

29、质点加速度：位变加速度位变加速度第一部分：是由于某一空间点上的流体质点的速度第一部分：是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的变化而产生的，称为随时间的变化而产生的，称为局部加速度局部加速度第二部分：是某一瞬时由于流体质点的速度随空间第二部分：是某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变化而产生的，称为点的变化而产生的，称为位变加速度位变加速度密度的质点导数密度的质点导数 压强的质点导数压强的质点导数 括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，如密度、括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，如密度、温度、压强，可以是标量，也可以是矢量。温度、压强，可以是标量，也可以是矢量。全导数全导数局部导数局部

30、导数位变导数位变导数3.在工程实际中，在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉并不关心每一质点的来龙去脉。基于上述三点原。基于上述三点原因，因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。欧拉法的优越性：欧拉法的优越性：1.利用欧拉法得到的是利用欧拉法得到的是场场，便于采用，便于采用场论场论这一数学工具来研究。这一数学工具来研究。2.采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方程，在数学上方程

31、，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中方便。拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中方便。 拉格朗日法拉格朗日法 欧拉法欧拉法分别描述有限质点的轨迹分别描述有限质点的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数同时描述所有质点的瞬时参数表达式复杂表达式复杂 表达式简单表达式简单不能直接反映参数的空间分布不能直接反映参数的空间分布 直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布拉格朗日观点是重要的拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析方法流体力学最常用的解析方法两种方法的比较两种方法的比较:

32、: 在任意固定空间点处，所有物理量均不随在任意固定空间点处，所有物理量均不随时间而变化的流动。即有时间而变化的流动。即有 在流场某点处有物理量随时间变化在流场某点处有物理量随时间变化. .三、描述流体运动的概念三、描述流体运动的概念uu 定常流动定常流动定常流动定常流动uu 非定常流动非定常流动非定常流动非定常流动1、迹线：流体质点在空间运动所经过的轨迹。拉格朗日法迹线的微分方程独立变独立变量量 迹线是流场中某一质点运动的轨迹某一质点运动的轨迹。例如在流动的水面上撒一片木屑，木屑随水流漂流的途径就是某一质点的运动轨迹，也就是迹线。流场中所有的流体质点都有自己的迹线，迹线是流体运动的一种几何表示

33、，可以用它来直观形象地分析流体的运动，清楚地看出质点的运动情况清楚地看出质点的运动情况。迹线的研究是属于拉格朗拉格朗日法日法的内容，迹线表示同一流体质点在不同时刻所形成的曲线同一流体质点在不同时刻所形成的曲线. 【例例1】 已知用拉格朗日变量表示的速度分布为 u=(a+2)et-2，v=(b+2)et-2，且t=0时，x=a， y=b。求（1）t=3时质点分布；（2）a=2，b=2质点的运动规律；（3）质点加速度。 【解解】 已知： 将上式积分，得 上式中c1、c2为积分常数，它仍是拉格朗日变量的函数。 利用t=0时，x=a，y=b得c1=-2， c2=-2 X=(a+2)et-2t-2 y=

34、(b+2)et-2t-2 （1）将t=3代入上式 得 X=(a+2)e3-8 y=(b+2)e3-8 （2）a=2，b=2时 x=4et-2t-2 y=4et-2t-2 (3) 流体指点的加速度为： 【例例2】 在任意时刻，流体质点的位置是x=5t2，其迹线为双曲线xy=25。质点速度和加速度在x和y方向的分量为多少？ 【解解】 【例例2】 在任意时刻，流体质点的位置是x=5t2，其迹线为双曲线xy=25。质点速度和加速度在x和y方向的分量为多少？ 【解解】 由已知条件得到： 进一步求导，得到 流线是某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲线上这条曲线上的各流体质点的速度方向都与该曲线相切的各

35、流体质点的速度方向都与该曲线相切，因此流线是同一时同一时刻，不同流体质点所组成的曲线刻，不同流体质点所组成的曲线，如图3-3所示。 流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向，由流线的密集程度，也可以判定出速度的大小。流线的引入是欧拉法的研究特点流线的引入是欧拉法的研究特点。例如在流动水面上同时撤一大片木屑，这时可看到这些木屑将连成若干条曲线，每一条曲线表示在同一瞬时各水点的流动方向线就是流线。 a、流线的基本特性 (1)在定常流动时，因为流场中各流体质点的速度不随2、流线：图 3-3 流线的概念 时间变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变通过同一

36、点的流线形状始终保持不变，因此流线和迹线相重合。而在非定常流动时，一般说来流线要随时间变化，故流线和迹线不相重合。 (2)通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流线不能相交和分支流线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零或无穷大的那些只有在流场中速度为零或无穷大的那些点，流线可以相交点，流线可以相交，这是因为，在这些点上不会出现在同一点上存在不同流动方向的问题。速度为零的点称驻点驻点，速度为无穷大的点称为奇点奇点。 (3)流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线是一条光滑的连续曲线。 (4)流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大流线

37、密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地方，表示该处的流速较小。 b、流线微分方程 现由矢量分析法导出流线微分方程。设在某一空间点上流体质点的速度矢量 ，通过该点流线上的微元线段 。由流线的定义知，空间点上流体质点的速度与流线相切流体质点的速度与流线相切。根据矢量分析，这两个矢量的矢量积应等于零，即 即 上式又可写成 上式就是流线的微分方程流线的微分方程，式中时间t是个参变量。 【例例3】 有一流场，其流速分布规律为：u= -ky，v= kx，w=0，试求其流线方程。 【解解】 由于w=0，所以是二维流动，二维流动的流线方程为 将两个分速度代入流线微分方程，得到 即 xdx+ydy=0

38、积分上式得到 x2+y2=c 即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。试求：试求：（）时刻流体质点的分布规律；（）时刻流体质点的分布规律；（），时这个质点的运动规律；（），时这个质点的运动规律；（）流体质点的加速度；（）流体质点的加速度；例例 4 4 已知拉格朗日变数下的速度表达式为：已知拉格朗日变数下的速度表达式为： v vx x=(a+1)e=(a+1)et t-1 v-1 vy y=(b+1)e=(b+1)et t-1-1、为时流体质点所在位置的坐标。、为时流体质点所在位置的坐标。注意到在注意到在t=0t=0时，时，x=ax=a、y=by=b，即有，即有解解（1 1）C C1 1=-1 C=

39、-1 C2 2=-1=-1进一步求得流体质点的一般运动规律为进一步求得流体质点的一般运动规律为: :t=2t=2时流体质点的分布规律时流体质点的分布规律: :（2 2）a=1a=1，b=2b=2的特定流体质点，其运动规律为：的特定流体质点，其运动规律为：（）质点的加速度为（）质点的加速度为: :例例 5 :5 : 试求点 (1, 2 , 3) 处流体加速度的三个分量解解:小结：小结： 流流线线是是流流速速场场的的矢矢量量线线，是是某某瞬瞬时时对对应应的的流流场场中中的的一一条条曲曲线线，该该瞬瞬时时位位于于流流线线上上的的液液体体质质点点之之速速度度矢矢量量都都和和流流线线相相切切，是是与与欧

40、拉法欧拉法观点相对应的概念。观点相对应的概念。迹线迹线是是流体质点流体质点运动的运动的轨迹线轨迹线，与与拉格朗日拉格朗日观点相对应的概念观点相对应的概念迹线和流线最基本的差别是：迹线和流线最基本的差别是：迹迹线线是是同同一一流流体体质质点点在在不不同同时时刻刻的的位位移移曲曲线线(与与拉拉格格朗朗日日观观点点对对应应);流流线线是是同同一一时时刻刻、不不同同流流体体质质点点速速度度矢矢量量与与之之相相切切的的曲曲线线(与与欧欧拉观点相对应拉观点相对应)。3、流管、流束和总流 在流场中任取一条不是流线的封闭曲线一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上各点作流线，这些流线组成一个管状表面，称之为流管流管

41、。如图3-4所示。因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的一切特性，流体质流体质点不能穿过流管流入或流出点不能穿过流管流入或流出(由于流线不能相交由于流线不能相交)。流管就像固体管子一样，将流体限制在管内流动。 过流管横截面上各点作流线，则得到充满流管的一束流线簇，称为流束流束。当流束的横截面积趋近于零时，则流束达到它的极限当流束的横截面积趋近于零时，则流束达到它的极限流线流线。 在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面有效截面。流线相互流线相互平行时，有效截面是平面。流线不平行时，有效截面是曲面平行时，有效截面是平面。流线不平行时，有效截面是曲面，如图3-5所示。图 3-4 流管和流束图

42、3-5 有效截面 有效截面面积为无限小的流束和流管，称为微元流束微元流束和微元流微元流管管。在每一个微元流束的有效截面上，各点的速度可认为是相同的。 无数微元流束的总和称为总流总流。自然界和工程中所遇到的管流管流或渠流渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把总流流动把总流流动分为三类分为三类： （1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束全部边界受固体边界的约束，即流体充满流道，如压力水管中的流动。 （2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束总流边界的一部分受固体边界约束，另一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。 （3）射流 总流的全部边界均无固体边界约束总流的全部边界均无固体边界约束，如喷嘴出口的流动。