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1、实验四实验四 空间几何图形的描绘空间几何图形的描绘 一、实验目的一、实验目的 掌握用掌握用mathematica软件包描绘空间几何图形软件包描绘空间几何图形(空空间曲面和曲线间曲面和曲线)的方法的方法. 通过作图和观察通过作图和观察, 深入理解多深入理解多元函数的概念元函数的概念, 提高空间想象力提高空间想象力. 深入理解二次曲面深入理解二次曲面的图形和方程的图形和方程. 二、学习二、学习mathematica命令命令 1. 空间直角坐标系中作二元显函数空间直角坐标系中作二元显函数z=f(x, y)三维三维图形命令图形命令Plot3D:Plot3Dfx,y,x,x1,x2,y,y1,y2,选项
2、选项其中其中fx,y是是x, y的的二元函数二元函数, x1, x2表示表示x的作图范围的作图范围, y1, y2表示表示y的作图范围的作图范围. 例如输入例如输入 Plot3Dx2+y2,x,-2,2,y,-2,2作作函数函数z=x2+y2在区域在区域2 x 2, 2 y 2上的图形上的图形. 与二维平面作图命令与二维平面作图命令Plot相似相似, Plot3D也有许多选项也有许多选项. 输入输入?Plot3D,Plot3Df, x, xmin, xmax, y, ymin, ymax generates a three-dimensional plot of f as a function
3、 of x and y. Plot3Df, s, x, xmin, xmax,y, ymin, ymax generates a three-dimensional plot in which the height of the surface is specified by f, and the shading is specified by s.及及一系列的选项一系列的选项. 2. 利用参数方程作空间曲面图形的命令利用参数方程作空间曲面图形的命令ParametricPlot3D 作曲面时的基本形式为作曲面时的基本形式为:ParametricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,u1
4、,u2, v,v1, v2, 选项选项其中其中xu,v, yu,v, zu,v为参数方程为参数方程的三个表示式的三个表示式, u1, u2和和v1, v2分别分别为两个参变量为两个参变量u和和v的作图范围的作图范围. 输入输入ParametricPlot3Du*Cosv, u*Sinv,u2,u,0,3,v,0,2Pi;可以作出旋转抛物面可以作出旋转抛物面z=x2+y2的图形的图形,这个图形比这个图形比Plot3D命令作出的图形命令作出的图形要好得多要好得多.3. 常见曲面的常用常见曲面的常用(标准方程的标准方程的)参数方程参数方程:当当a=b=c时为球面时为球面.椭球面椭球面:椭圆抛物面椭圆
5、抛物面:当当a=b时为旋转抛物面时为旋转抛物面.椭圆锥面椭圆锥面:当当a=b时为圆锥面时为圆锥面.椭圆柱面椭圆柱面:当当a=b时为圆柱面时为圆柱面.正螺面正螺面:单叶单叶双曲面双曲面:圆环圆环面面:空间曲线空间曲线 绕绕 z 轴旋转所得曲面的参数方程为轴旋转所得曲面的参数方程为:实际上实际上, 对给定的对给定的t, 得曲线得曲线 上一点上一点M1( (t), (t), (t),其绕其绕 z 轴旋转得到一个圆轴旋转得到一个圆, 该圆在平面该圆在平面z= (t)上上.其半径为点其半径为点M1到到z轴的距离轴的距离:因此因此, 在平面在平面 z = (t)上的圆的上的圆的方程为方程为:再再令令 t
6、在在 , 内变化内变化, 即为所求旋转曲面的参数方程即为所求旋转曲面的参数方程.例如例如, 与与 z 轴异面直线的参数为轴异面直线的参数为:令其令其绕绕 z 轴轴旋转所得的旋转曲面的参数方程为旋转所得的旋转曲面的参数方程为:t , 消去消去参量参量 t 和和 , 得曲面的直角坐标系下的方程得曲面的直角坐标系下的方程:此此曲面为单叶双曲面曲面为单叶双曲面.这也是的直纹面性质这也是的直纹面性质. 如图如图: 4. 利用参数方程作空间曲线图形的命令利用参数方程作空间曲线图形的命令ParametricPlot3D 作曲线时的基本形式为作曲线时的基本形式为:ParametricPlot3Dxt,yt,z
7、t,t,t1,t2, 选项选项其中其中xt, yt, zt为参数方程的三个表示式为参数方程的三个表示式, t1, t2为为参变量参变量 t 的作图范围的作图范围. 空间螺旋线的参数方程为空间螺旋线的参数方程为:x=cost, y=sint,z=t/10, 0 t 8 输入输入ParametricPlot3DCost,Sint,t/10, RGBColor1,0,0,t,0,8Pi 将多个图形绘于一起仍用将多个图形绘于一起仍用Show命令命令.例如例如, 将一将一个球面个球面x2+y2+z2=4与一个拄面与一个拄面(x1)2+y2=1绘与一起绘与一起. 输入输入(见程序见程序). 作单侧曲面作单
8、侧曲面(默比乌斯带默比乌斯带): 输入输入:rt_,s_:=2+0.5*s*Cost/2;xt_,s_:=rt,sCost;yt_,s_:=rt,sSint;zt_,s_:=0.5*s*Sint/2;ParametricPlot3Dxt,s,yt,s,zt,s,t,0,2Pi,s,-1,1,PlotPoints-50,8,BoxRatios-5,5,1,Ticks-False;程序程序练习练习:1. 用用Plot3D命令画出函数命令画出函数在在-x, -y上的图形上的图形, 采用选项采用选项PlotPoints-50.2. 函数函数在在(0, 0)处不连续处不连续, 用用Plot3D命命令画出
9、函数在令画出函数在-2 x 2, -2 y 2上的图形上的图形,采用选项采用选项PlotPoints-50或更大或更大, 观察曲面在观察曲面在(0, 0)处的变化处的变化. 3. 一个圆环面的参数方程为一个圆环面的参数方程为: x=(3+cosu)cosv,y=(3+cosu)sinv,z=sinu(0 u 2 ,0 v 2 ),用用ParametricPlot3D命令画出它的图形命令画出它的图形. 4. 一个正螺面的参数方程为一个正螺面的参数方程为: x=ucosv, y=usinv, z=v/3(-1 u 1, 0 v 4 ),用用ParametricPlot3D命令画出它的图形命令画出它
10、的图形.5. 用用Plot3D命令画出双曲抛物面命令画出双曲抛物面在在-6 x 6, -14 y 14上的图形上的图形, 采用选项采用选项PlotPoints-30和和BoxRatios-1,1,1,改变改变BoxRatios中中的参数再观察的参数再观察.6. 做两个半径相同的圆柱面垂直相交的图形做两个半径相同的圆柱面垂直相交的图形. 7*. 做两个半径相同的圆柱面垂直相交的做两个半径相同的圆柱面垂直相交的交线交线. 将将此图形与此图形与6题的图形放在一起观察题的图形放在一起观察. 输入以下命令输入以下命令:ParametricPlot3DCost,Sint,Sint,RGBColor1,0,0,Cost,Sint,-Sint,RGBColor0,0,1,t,0,2Pi; 8*. 作出球面作出球面x2+y2+z2=22与圆柱面与圆柱面(x-1)2+y2 =1相相交所成的空间曲线的图形交所成的空间曲线的图形. 输入以下命令输入以下命令:ParametricPlot3D1+Cost,Sint,2Sint/2,RGBColor1,0,0,t,0,2Pi; 此曲线称为此曲线称为维维安妮曲线维维安妮曲线.
