一、夹逼准则一、夹逼准则二、单调有界收敛准则二、单调有界收敛准则四、小结四、小结 思考题思考题极限存在准则极限存在准则两个重要极限两个重要极限第五节第五节三、连续复利三、连续复利 一、夹逼准则证证 上两式同时成立上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 注意注意: :准则准则 I和和准则准则 Iˊ称为称为夹逼准则夹逼准则. 例例1 1解解由夹逼定理得由夹逼定理得 作为准则作为准则Ⅰ´的应用，下面证明一个重要的极限的应用，下面证明一个重要的极限 例例2 2解解 单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:二、单调有界收敛准则 例例3 3证证(舍去舍去) 定义定义作为准则作为准则Ⅱ的应用，可以证明一个重要的极限的应用，可以证明一个重要的极限 类似地类似地, 例例4 4解解例例5 5解解 例例6 6解解 例例7 7解解 三、连续复利 ……… 四、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 . 思考题思考题 有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产小兔一对. 而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后每月亦生产小兔一对. 假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？并求出许多年后，兔子总对数的月增长率. 解解 若用“〇”、“△”分别表示一对未成年和成年的兔子，则根据题设有下面的小兔繁殖数量图： 〇〇△△△△△△△△△△△△〇〇△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇去年12月 1今年 1 月 12 月 23 月 34 月 55 月 86 月 13 从上图可看出, 从三月份开始, 每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和. 按此 规律可写出数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233可见一年后共有兔子233对. 按上述规律写出的无限项数列为著名的斐波那契(Fibonacci)数列, 其通项为且此数列有递推关系： 第n月的兔子对数的增长率 存在的证明及求法如下：证 用数学归纳法容易证明：数列是单调增加的；数列是单调减少的.又, 对一切成立. 即数列 、是有界的.根据“单调有界数列必有极限”的准则可知数列 和 的极限存在, 分别记作b*和b* , 即 两式相减，得 解上方程，得 ，因为 故即从而故许多年后兔子的总对数均以每月61.8%的速率增长. 思考题思考题求极限求极限 思考题解答思考题解答 练练 习习 题题一、填空题一、填空题: 二、求下列各极限二、求下列各极限: 练习题答案练习题答案 。