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1、5.3 线性常系数齐次方程线性常系数齐次方程n阶阶常系数常系数线性微分方程的标准形式线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式一、定义-特征方程法特征方程法代入代入 得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法 有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为 有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特
2、征根为 有一对共轭复根有一对共轭复根方程两根方程两根:得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为得两实根得两实根:定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法. .解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1 1解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例2 2特征方程为特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项三、三、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法注意注意n次特征方程有次特征方程有n个根个根, 而每个根对应着通解中的一项而每个根对应着通解中的一项,且每一项且每一项对应对应一个任意常数一个任意常数.特征根为特征根为故所求通解为故所求通解为解解特征方程为特征方程为例例4 4欧拉方程(可化为常系数线性方程) 例例5.欧拉方程(可化为常系数线性方程) 有: 转化为常系数线性方程:算子解法算子解法: 例例6.解解: 由题设得定解问题(1)则(1)化为特征根: 设特解: (2)(3)代入(3)得 A1 得通解为利用初始条件得故所求特解为作业：求解下列微分方程作业：求解下列微分方程
