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1、(3)式表示在曲线 上的点 处的切线MT与极轴ox若曲线C由极坐标 表示，4.4.极坐标方程求导公式极坐标方程求导公式首页首页则可转化为以极角为参量的参量方程：这时在相应的条件下可得 (3)轴的夹角的正切（图56）.过点M的射线OH与切线MT的夹角 （4）将（3）式代入（4）式则得向径与切线夹角的正切 的正切则是的正切则是 （5）例2 证明：对数螺线 图57）上所有的点的切线证 由（5）式得，对每一 首页首页与向径的夹角 为常量.值都有即在对数螺线上任一点的切线与向径的夹角等于五、相关变化率五、相关变化率相关变化率问题相关变化率问题: :已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化
2、率时如何求出另一个变化率?求解步骤求解步骤:(1)建立相关方程建立相关方程F(x,y)=0;(2)将相关方程两端对将相关方程两端对t求导求导(利用隐函数和复合函利用隐函数和复合函数求导法数求导法),得到得到dx/dt,dy/dt满足的关系满足的关系.(3)解出所要求的变化率解出所要求的变化率.例例9 9解解仰角增加率仰角增加率五、小结五、小结隐函数求导法则隐函数求导法则: : 直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求按隐函数的求导法则求导导法则求导;参数方程求导参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函
3、数求导法则;相关变化率相关变化率: : 通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定两个相互依赖的变化率变化率; ; 解法解法: : 通过建立两者之间的关系通过建立两者之间的关系, , 用链用链式求导法求解式求导法求解. .作业P110: 1(4) , (5) ; 2 (2); 5 ; 7 (2) , (10); 8 (1) (9); 13; 第五节 2.4 2.4 高阶导数高阶导数一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.定义定义记作记作三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统
4、称为高阶导数高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,二、二、 高阶导数求法举例高阶导数求法举例1.1.直接法直接法: :由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例例1 1解解例例2 2解解例例3 3解解注意注意: : 求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4阶后阶后,不要急于合不要急于合并并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳法数学归纳法证明证明)逐阶求导，寻求规律，写出通式逐阶求导，寻求规律，写出通式例例4 4解解同理可得同理可得例例5 5解解三角函数辅助角公式三角函数辅助角公式 例例6.6. 设设求使存在的
5、最高分析分析: 但是不存在 .2又阶数机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:莱布尼兹公式莱布尼兹公式例例7 7解解3.3.间接法间接法: : 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, 通过四则通过四则运算运算, 变量代换等方法变量代换等方法, 求出求出n阶导数阶导数.常用高阶导数公式常用高阶导数公式例例8 8解解例例9 9解解举例说明求隐函数的二阶导数的方法举例说明求隐函数的二阶导数的方法对方程两边关于对方程两边关于x求导求导,得得两边再求导，得两边再求导，得将将代入上式得代入上式得说明说明： 求隐函数的二阶导数，要先求出隐函数的求隐函数的二阶导
6、数，要先求出隐函数的一阶导数，一阶导数，在一阶导数表达式的两边再对在一阶导数表达式的两边再对x求导数，求导数，二、隐函数隐函数的二阶导数例例1010解解把求出的一阶表达式代入二阶导数的表达式把求出的一阶表达式代入二阶导数的表达式由参数方程由参数方程确定的函数确定的函数的导数公式为的导数公式为参数方程确定的函数的二阶导数为：参数方程确定的函数的二阶导数为：三、参数方程参数方程确定的函数的二阶导数设设解解例例 求参数方程求参数方程确定的函数的二阶导数确定的函数的二阶导数解解代入公式得代入公式得例例11计算由摆线的参数方程计算由摆线的参数方程确定的确定的的二阶导数的二阶导数函数函数解解例例12设物体
7、作变速直线运动，运动方程为设物体作变速直线运动，运动方程为那么它的瞬时度为那么它的瞬时度为若速度若速度v仍是时间仍是时间t 的函数，我们可以求速度的函数，我们可以求速度v对时间对时间t的变化率：的变化率：，在力学中把它叫做物体在给定的，在力学中把它叫做物体在给定的时刻加速度，记作时刻加速度，记作也就是说，物体加速度也就是说，物体加速度是路程是路程对时间对时间t的二阶导数的二阶导数 , 即即这就是二阶导数的力学意义这就是二阶导数的力学意义四、二阶导数的力学意义设某质点作直线运动设某质点作直线运动,其运动方程为其运动方程为求该质点在求该质点在 t=3 时的加速度时的加速度.解解故故例例1313一一
8、 显函数高阶导数显函数高阶导数逐次求导，从中发现，总结规律逐次求导，从中发现，总结规律二隐函数的二阶导数二隐函数的二阶导数求隐函数的二阶导数，先求出一阶导数，求隐函数的二阶导数，先求出一阶导数，在一阶导数表达式的两边再对在一阶导数表达式的两边再对 x 求导数，求导数，隐函数的导数的表达式中只能有隐函数的导数的表达式中只能有 x, y 而而不能保留不能保留三参数方程确定的函数的二阶导数三参数方程确定的函数的二阶导数五、 内容小结1(1)(3); 2(1); 4(2)(4); 6(1)(5); 7(4); 11作业习题习题.&2.5 微微 分分一、问题的提出一、问题的提出实例实例: :正方形金属薄
9、片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.再例如再例如,既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?二、微分的定义二、微分的定义定义定义( (微分的实质微分的实质) )由定义知由定义知: :三、可微的条件三、可微的条件定理定理证证(1) 必要性必要性(2) 充分性充分性例例1 1解解四、微分的几何意义四、微分的几何意义MNT）几何意义几何意义:(:(如图如图) ) P 五、微分的求法五、微分的求法求法求法: : 计算函数
10、的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则例例2 2解解例例3 3解解六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性结论结论：微分形式的不变性微分形式的不变性例例4 4解解例例3 3解解例例5 5解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.七、小结七、小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法
11、求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:导数与微分的区别导数与微分的区别:思考题思考题思考题解答思考题解答说法不对说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念. 微分在近似计算中的微分在近似计算中的应用应用一、计算函数增量的近似值一、计算函
12、数增量的近似值例例1 1解解二、计算函数的近似值二、计算函数的近似值例例1 1解解常用近似公式常用近似公式证明证明例例2 2解解三、误差估计三、误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做差，我们把它叫做间接测量误差间接测量误差.定义：定义：问题问题:在实际工作中在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对误差无法求得?办法办法: :将误差确定在某一个范围
13、内将误差确定在某一个范围内. .通常把绝对误差限与相对误差限简称为通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误绝对误差差与与相对误差相对误差.例例3 3解解四、小结四、小结近似计算的基本公式近似计算的基本公式复复 习习 课课求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数微微 分分关关 系系高阶导数高阶导数高阶微分高阶微分一、主要内容1 1、导数的定义、导数的定义定义定义2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:2 2、基本导数公式、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）3 3、求导法则、求导法则(1) 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积
14、、商的求导法则(2) 反函数的求导法则反函数的求导法则(3) 复合函数的求导法则复合函数的求导法则(4) 对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围: :(5) (5) 隐函数求导法则隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.(6) (6) 参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则4 4、高阶导数、高阶导数记作记作二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数)5、微分的定义微分的定义定义定义( (微分的实质微分的实质) )6 6、导数与微分的关系、导数与微分的关系定理定理7 7、 微分的求法微分的求法求法求法: :计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则8 8、 微分的基本法则微分的基本法则 微分形式的不变性微分形式的不变性二、典型例题例例1 1解解例例2 2解解例例3 3解解分析分析:不能用公式求导不能用公式求导.例例4 4解解两边取对数两边取对数例例5 5解解先去掉绝对值先去掉绝对值例例6 6解解例例7 7解解
