《新高考数学一轮复习讲与练第17讲 数列求和（讲）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考数学一轮复习讲与练第17讲 数列求和（讲）（解析版）（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第04讲 数列求和本讲为高考命题热点，分值12-17分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，选择填空题常考等差等比数列的性质，大题题型多变，但对于文科来讲常考察基本量的计算与数列求和，对于理科考点相对难度较大，比如新定义，奇偶列等，考察逻辑推理能力与运算求解能力. 考点一 特殊数列的求和公式(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn考点二 数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(3)错位相减法如果
2、一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.高频考点一 分组转化法【例1】数列an的通项公式是an(1)n(2n1)，则该数列的前100项之和为()A.200 B.100 C.200 D.100【答案】D【解析】S100(13)(57)(197199)250100.【例2】(2022合肥质检)已知数列an的首项为1，anan12n，则数列an的前10项之和等于_.【答案】31【解析】因为anan12
3、n，所以an1an22n1，因此2，所以an的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，又a11，a22，S10(a1a3a9)(a2a4a10)3123131. 【方法技巧】1.若数列cn的通项公式为cnanbn，且an，bn为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列cn的前n项和.2.若数列cn的通项公式为cn其中数列an，bn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求cn的前n项和.3.求解此类求和问题需过两关：第一关，拆分关，即观察数列的通项公式的结构特征，拆分为若干个可求和的简单数列(如等差数列、等比数列)；第二关，求和关，对各个简单数列分别求和，最后合并为待求数列的前n项和.【跟踪训练】1
4、.(2021江南名校联考)在一个数列中，如果nN*，都有anan1an2k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列an是等积数列，且a11，a22，公积为8，则a1a2a2 021_.【答案】4 714【解析】根据a11，a22及anan1an28，得a34，a41，a52，a64，易知数列an是周期为3的周期数列，且anan1an27(nN*)，所以a1a2a2 021(a1a2)(a3a4a5)67312(124)6734 714.2.(2022衡水质检)已知等差数列an的前n项和为Sn，a59，S525.(1)求数列an的通项公式及Sn；(2)设bn(1)n
5、Sn，求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)设数列an的公差为d，由S55a325得a3a12d5，又a59a14d，所以d2，a11，所以an2n1，Snn2.(2)结合(1)知bn(1)nn2，当n为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(b5b6)(bn1bn)(1222)(3242)(5262)(n1)2n2(21)(21)(43)(43)(65)(65)n(n1)n(n1)123n.当n为奇数时，n1为偶数，TnTn1(1)nn2n2.综上可知，Tn.高频考点二 裂项相消求和【例3】(2021太原调研)已知等比数列an的前n项和为Sn(Sn0)，满足S1，S2，S3成等差数列，且a1
6、a2a3.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)设数列an的公比为q，依题意有S1S32S2，(a2a3)2(a1a2)，即q(a1a2)2(a1a2)，又Sn0，知a1a2S20，所以q2，又a1a2a3，知a1q2，所以an的通项公式an(2)n.(2)结合(1)知bn，所以Tn1.【方法技巧】1.用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：()，()，裂项后可以产生连续相互抵消的项.2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.【跟踪训练】1.设数列an的前n项和为Sn，已知S12，an1Sn2.(1)证明：an
7、为等比数列；(2)记bnlog2an，数列的前n项和为Tn，若Tn10恒成立，求的取值范围.【解析】(1)证明由已知，得a1S12，a2S124，当n2时，anSn12，所以an1an(Sn2)(Sn12)an，所以an12an(n2).又a22a1，所以2(nN*)，所以an是首项为2，公比为2的等比数列.(2)解由(1)可得an2n，所以bnn.则，Tn，因为Tn10，所以10，从而，因为1020，所以的取值范围为20，). 高频考点三 错位相减法求和【例4】 (2022天津南开区调研)已知数列an是等差数列，数列bn是等比数列，且a11，a3a412，b1a2，b2a5.(1)求an和b
8、n的通项公式；(2)设cn(1)nanbn(nN*)，求数列cn的前n项和Sn.【解析】(1)设等差数列an的公差为d，因为a11，a3a412，所以2a15d12，所以d2，所以an2n1.设等比数列bn的公比为q，因为b1a2，b2a5，所以b1a23，b29，所以q3，所以bn3n.(2)由(1)知，an2n1，bn3n，所以cn(1)nanbn(1)n(2n1)3n(2n1)(3)n，所以Sn1(3)3(3)25(3)3(2n1)(3)n，则3Sn1(3)23(3)3(2n3)(3)n(2n1)(3)n1得，4Sn32(3)22(3)32(3)n(2n1)(3)n13(2n1)(3)n
9、1(3)n1，所以Sn(3)n1.【方法技巧】1.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“SnqSn”的表达式.【跟踪训练】 1.(2020全国卷)设数列an满足a13，an13an4n.(1)计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；(2)求数列2nan的前n项和Sn.【解析】(1)由a13，an13an4n，得a25，a37.猜想an2n1.证明如下：由an13an4n，得an3an14n4(n2)，则an(2n1)3an1(2n1).又a13，知a130，所以an(2n1)0，则an2n1.(2)由(1)得2nan(2n1)2n，所以Sn32522723(2n1)2n.从而2Sn322523724(2n1)2n1.得Sn3222222322n(2n1)2n1，所以Sn(2n1)2n12.
