《新高考数学一轮复习讲与练第23讲 双曲线（练）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考数学一轮复习讲与练第23讲 双曲线（练）（解析版）（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第02讲 双曲线（练）一、单选题1已知双曲线的离心率为，实轴长为2，实轴的左端点为，虚轴的上顶点为为右支上任意一点，则面积的取值范围为（）ABCD【答案】D【分析】根据题意列式求解，再结合双曲线的渐近线分析可得到直线的距离大于两平行线间距离，运算求解.【详解】由已知得，解得，故双曲线的方程为，直线的方程为，与一条渐近线平行，两平行线间距离，所以到直线的距离，即的取值范围为，又，所以面积，故面积的取值范围为.故选：D.2已知双曲线的左，右焦点分别为、，A是双曲线C的左顶点，以、为为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（）ABC2D【答案】D【分析】根据题意易得圆
2、与渐近线的方程，联立即可求得的坐标，结合图像易得，利用斜率公式即可求得，从而可求得双曲线C的离心率.【详解】依题意，易得以为直径的圆的方程为，设，则，又由双曲线易得双曲线C的渐近线为，如图，联立，解得或，又，轴，由得，即，.故选：D.线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（）ABCD【答案】D【分析】根据长度关系可得，利用双曲线定义可用表示出，利用勾股定理可构造关于的齐次方程求得离心率.【详解】设，则，；由双曲线定义可知：，则.故选：D.4已知双曲线的左焦点为，过作一倾斜角为的直线交双曲线右支于点，且满足（为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率为
3、（）ABCD【答案】C【分析】由题意得出，写出直线的方程，与双曲线方程联立，求出点坐标，利用，即可求出结果【详解】解：记右焦点为，由题意知，且为等腰三角形，则只能是，所以，所以直线的方程为，由，得所以，整理，得，即，解得或（舍去），所以故选：C5已知双曲线的右焦点为，过和两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（）ABCD【答案】B【分析】由双曲线可得其渐近线为，再求得直线的斜率，由平行得到斜率相等即可求得，再由焦点坐标得，从而求得，则该双曲线的方程可求.【详解】因为双曲线，所以它的渐近线为，又因为，所以直线的斜率为，因为直线与双曲线的一条渐近线平行，所以，故，又因为双曲线的右焦
4、点为，所以，故，所以该双曲线的方程为.故选：B.6“”是“方程表示双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】方程表示双曲线等价于，求解判断即可【详解】方程表示双曲线等价于，即或，故“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A7已知双曲线C：的左、右焦点分别为，离心率为2，是双曲线上一点，轴，则的值为（）ABCD【答案】A【分析】由离心率可得，再根据可得，即可整理双曲线方程为，代入可求的坐标，即可求得答案【详解】由题意可得即，由可得即，所以双曲线方程为，当时，解得，所以，因为，所以，故选：A8已知双曲线的焦点在轴上，则的离心率的取值
5、范围为（）ABCD【答案】A【分析】由题知，再解不等式，结合离心力公式求解即可.【详解】解：因为双曲线的焦点在轴上，所以，解得因为，所以故选：A二、填空题9如图所示,已知双曲线:的右焦点为,双曲线的右支上一点,它关于原点的对称点为,满足,且,则双曲线的离心率是_.【答案】【分析】连接左焦点，得到平行四边形，通过余弦定理列方程即可解出.【详解】设双曲线的左焦点为,连接,根据双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形，由题意以及双曲线定义，可得,则,所以,即,即,所以双曲线的离心率为:.故答案为：.10在平面直角坐标系中，已知，为双曲线的左右焦点，为C的左右顶点，C的离心率等于2，P为C左支上一点，若
6、平分，直线与的斜率分别为，且，则等于_.【答案】【分析】根据结合直线与的斜率分别为，的斜率关系，角平分线定理以及双曲线的定义，可得，又由离心率得，又在焦点三角形中用余弦定理得直线倾斜角的余弦值，从而可得直线的斜率的值.【详解】解：由题意得下图：则，双曲线的离心率，所以，则又直线与的斜率分别为，且，且在第二象限所以，则，因为平分，由角平分线定理得：，结合，即可得，所以又在双曲线中有，所以则在中，由题意，可得为锐角，所以则.故答案为：.11已知双曲线与直线无交点，则的取值范围是_【答案】【分析】结合双曲线的几何性质，可知直线应在两渐近线上下两部分之间，由此可得不等式，解之即可求得的取值范围.【详解
7、】依题意，由可得，双曲线的渐近线方程为，因为双曲线与直线无交点，所以直线应在两条渐近线上下两部分之间，故，解得，即.故答案为：. .三、解答题12求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在轴上，离心率为，两顶点间的距离为6；(2)以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的标准方程.（2）根据椭圆的焦点和顶点，求得双曲线的，从而求得双曲线的标准方程.【详解】（1）设双曲线的方程为.由，得，所以双曲线的方程为.（2）由题意可知，双曲线的焦点在轴上.设双曲线的方程为，则，所以双曲线的方程为.一、单选题1已知分别为双曲线的左右焦点，为双曲线
8、的右顶点.过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】由内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MNx轴，设直线AB的倾斜角为，有，将表示为的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设上的切点分别为HIJ，则.由，得，即.设内心M的横坐标为，由轴得点J的横坐标也为，则，得，则E为直线与x轴的交点，即J与E重合.同理可得的内心在直线上，设直线的领斜角为，则，当时，；当时，由题知，因为A，B两点在双曲线的右支上，且，所以或，且，综上所述，.故选：B.2设双曲线的左右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于
9、两点，且，则双曲线的离心率为（）ABCD2【答案】A【分析】结合向量运算、双曲线的定义建立等量关系式，利用直线的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率.【详解】如图，设为的中点，连接.易知，所以，所以.因为为的中点，所以.设，因为，所以.因为，所以.所以.因为是的中点，所以.在Rt中，；在Rt中，.所以，解得.所以.因为直线的斜率为，所以，所以，所以离心率为.故选：A3已知双曲线：斜率为的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点，如图1.若直线的斜率为，则的离心率为（）ABCD【答案】D【分析】设，线段AB的中点，代入双曲线的方程中可得，两式相减得，可得，设，线段
10、CD的中点，同理得，由，得 三点共线， 从而求得，由此可求得双曲线的离心率.【详解】设，线段AB的中点，则，两式相减得，所以，设，线段CD的中点，同理得，因为，所以，则三点共线，所以，将代入得：，即，所以，即，所以，故选：D.4长为11的线段AB的两端点都在双曲线的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为（）ABCD【答案】B【分析】用A、B两点的坐标表示出和，(F为双曲线右焦点）解出A、B两点的坐标，利用，求得m的最小值.【详解】由双曲线可知，a3，b4，c5，设AB中点M的横坐标为m，则，当且仅当F、A、B共线且不垂直轴时，m取得最小值，此时检验: 如图，当F、A、B共线且轴时，为双曲线的通
11、径，则根据通径公式得,所以轴不满足题意.综上，当F、A、B共线且不垂直轴时，m取得最小值，此时故选：B5如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点若双曲线E：的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，则E的离心率为（）ABCD【答案】B【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.【详解】依题意，直线都过点，如图，有，设，则，显然有，因此，在，即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，即，解得，所以E的离心率为.故选：B6点，是曲线C：
12、的左右焦点，过作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A，B和C，D；线段AB，CD的中点分别为M，N，直线与x轴垂直且点G在C上.若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，则圆面积的最小值为（）ABCD【答案】B【分析】讨论斜率，斜率存在时设、联立曲线C，应用韦达定理求线段AB，CD的中点坐标，进而确定的方程，可得过定点，若以G为圆心的圆半径为，只需保证可满足圆与直线恒有公共点，即得面积最小值.【详解】当直线斜率均存在时，令且，则，联立与曲线C并整理得：，且，则，所以，故，联立与曲线C并整理得：，同理，可得，直线，故过定点，当直线中一条的斜率不存在时，令，则，所以，故过，而，要使以G为圆心的圆与直线M
13、N恒有公共点，且圆面积最小，若圆的半径为，只需恒成立，故圆最小面积为.故选：B7已知双曲线（，）的左，右焦点分别是，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（）A3B4C5D6【答案】C【分析】由可得在的角平分线上，由双曲线的定义和切线长定理可得为的内心，再由内心的向量表示，推得，再由双曲线的定义和离心率公式，即可求解.【详解】因为，所以是的角平分线，又因为点在直线上，且在双曲线中，点是双曲线右支上异于顶点的点，则的内切圆圆心在直线上，即点是的内心，如图，作出，并分别延长、至点、，使得，可知为的重心，设，由重心性质可得，即，又为的内心，所以，因为，所以，则，所以双曲线的离心率.故选：C.8已知直线与双曲线交于P，Q两点，轴于点H，直线与双曲线C的另一个交点为T，则下列选项中错误的是（）A且BC为定值D的最小值为2【答案】D【分析】由已知，可由双曲线方程推导结论，选项A，根据双曲线方程，可以求得渐近线方程，然后直线与双曲线交于P，Q两点，即可求解出的取值范围；选项B，利用坐标表示出，从而找到与之间的关系；选项C，由可知；选项D，利用借助基本不等式可得，故该选项错误.【详解】参考结论：已知双曲线方程为：，是双曲线上关于原点对称的两点
