《新高考数学二轮精品专题二 平面向量与复数（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考数学二轮精品专题二 平面向量与复数（教师版）（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题 2平面向量与复数命题趋势1平面向量平面向量是高考的重点和热点，在选择题、填空题、解答题中均有出现选择题、填空题主要考查平面向量的基本运算，难度中等偏低；解答题中常与三角函数、直线与圆锥曲线的位置关系问题相结合，通常涉及向量共线与数量积2复数复数的考查主要为复数的运算、复数的几何意义、复数概念的考查考点清单一、平面向量1平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使其中，不共线的非零向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模设，则，3平面向量共线的坐标表示设，其中，4平面向量
2、的数量积（1）定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做向量和的数量积，记作规定：零向量与任一向量的数量积为（2）投影：叫做向量在方向上的投影（3）数量积的坐标运算：设向量，则5三角形“四心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点，角所对的边长分别为，则：为内心（1） 为外心（2） 为重心（4）为垂心二、复数1形如的数叫做复数，复数通常用字母表示全体复数构成的集合叫做复数集，一般用大写字母表示其中，分别叫做复数的实部与虚部2复数相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果，那么且特别地，两个实数可以比较大小，但对于两个复数，如果不全是实数，就只能说相等或不相等，不
3、能比较大小3复数的分类复数，时为实数；时为虚数，时为纯虚数，即复数（，）4复平面直角坐标系中，表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴实轴上的点表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数对应复平面内的点5共轭复数（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数复数的共轭复数用表示，即如果，那么（2）共轭复数的性质；非零复数是纯虚数；，；（3）两个共轭复数的积两个共轭复数，的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即6复数的模向量的模叫做复数的模(或长度)，记作或由模的定义可知（显然，）当时，复数表示实
4、数，此时7复数的加法与减法两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即8复数的乘法（1）复数的乘法法则复数乘法按多项式乘法法则进行，设，则它们的积（2）复数乘法的运算律复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律对任何，有 (交换律)； (结合律)； (分配律)9复数的除法复数除法的实质是分母实数化，即 精题集训（70分钟）经典训练题一、选择题1如图，若是线段上靠近点的一个三等分点，且，则（ ）ABCD【答案】D【解析】，即，得故选D【点评】本题考查了平面向量的基本定理，结合向量的线性运算即可解题，属于基础题2已知向量，满足，且与反向，则（ ）A36B48C57D64
5、【答案】A【解析】因为与反向，所以，又，所以，故选A【点评】本题考查了平面向量的数量积，属于基础题3设向量，且，则（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，所以，当时，则有，解得，故选A【点评】本题主要考查向量垂直的坐标运算公式，设向量，则当时，4在中，若，则的形状一定是（ ）A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以，所以，所以三角形是直角三角形，故选B【点评】判断三角形的形状，常用的方法有：（1）边化角；（2）角化边在边角互化时常利用正弦定理和余弦定理5已知双曲线的左右焦点分别为，且以为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限交点为，交双曲线左支于，
6、若，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】，圆方程为，由，由，解得，即，设，由，得，因为在双曲线上，解得（舍去），故选A【点评】解题关键是找到关于的齐次关系式，由题意中向量的线性关系，可得解法，圆与渐近线相交得点坐标，由向量线性关系得点坐标，代入双曲线方程可得6复数（ ）ABCD【答案】B【解析】，故选B【点评】本题主要考查了复数的运算，属于基础题7在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】由复数的运算法则，可得，对应的点位于第四象限，故选D【点评】本题主要考了复数的运算，以及复数平面的概念，属于基础题8已知为实数，复数（为虚数单位
7、），复数的共轭复数为，若为纯虚数，则（ ）ABCD【答案】B【解析】为纯虚数，则，则，故选B【点评】本题主要考查了复数的相关概念，属于基础题9对于给定的复数z，若满足的复数对应的点的轨迹是圆，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】的复数对应的点的轨迹是圆，圆心为，半径为，表示点到定点的距离，故选A【点评】本题考查复数的几何意义，表示复平面上对应点到原点的距离，表示对应的点间的距离，而，则复数对应的点在以对应点为圆心，为半径的圆上，利用几何意义题中问题转化为求定点到圆心的距离即可得10已知，是虚数单位，若，则（ ）ABCD【答案】A【解析】，故选A【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算、
8、复数相等的充要条件、复数的模，属于基础题11（多选）设为复数，下列命题中正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】BC【解析】由复数模的概念可知，不能得到，例如，A错误；由可得，因为，所以，即，B正确；因为，而，所以，所以，C正确；取，显然满足，但，D错误，故选BC【点评】本题主要考了复数的一些抽象概念，难度中等偏易二、填空题12已知，若，则与的夹角为_【答案】【解析】，解得，即，又与的夹角的范围是，则与的夹角为，故答案为【点评】本题考查了向量的垂直，向量的坐标运算，向量夹角的求法，考查计算能力高频易错题一、填空题1平面向量，的夹角为，且，则的最大值为_【答案】【解析】，因为，所以
9、，所以，所以，所以，令，则，当且仅当，即时，等号成立所以的最大值为，故答案为【点评】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方精准预测题一、选择题1已知向量，若与反向，则（ ）ABCD【答案】A【解析】若与共线，则，解得，故选A【点评】本题考查了向量共线的条件以及向量的坐标运算，属于
10、基础题2如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）ABCD【答案】B【解析】依题意，故选B【点评】本题考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性运算，属于基础题3已知平面向量，均为单位向量，若向量，的夹角为，则（ ）A25B7C5D【答案】D【解析】因为平面向量，为单位向量，且向量，的夹角为，所以，故故选D【点评】本题考查了向量模长的计算，运用“遇模则平方”的思想即可解题4如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量满足，则（ ）A0B1CD7【答案】D【解析】将向量放入如图所示的坐标系中，每个小正方形的边长为1，则，即，解得，故选D【点评】本题主要考查向量的分解，利用向
11、量的坐标运算是解决本题的关键5已知复数z满足（i为虚数单位），则（为z的共轭复数）在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【解析】因为，所以，所以，在复平面内对应的点为，在第三象限，故选C【点评】本题考点为复数的运算和复数的概念属于基础题6已知复数，则为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意，复数，可得，则，故选C【点评】本题主要考了复数的运算和复数的几何意义，属于基础题7已知复数，则的虚部为（ ）AB4C3D【答案】C【解析】因为，所以，所以的虚部为，故选C【点评】本题考点为复数的运算及复数的相关概念，属于基础题8若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为
12、（ ）A2B3CD【答案】D【解析】因为表示以点为圆心，半径的圆及其内部，又表示复平面内的点到的距离，据此作出如下示意图：所以，故选D【点评】常见的复数与轨迹的结论：（1）：表示以为圆心，半径为的圆；（2）且：表示以为端点的线段；（3）且：表示以为焦点的椭圆；（4）且：表示以为焦点的双曲线9复数，则复数在复平面内所对应的点在第（ ）象限A一B二C三D四【答案】A【解析】，对应的点为，在第一象限，故选A【点评】本题主要考查了复数的周期性、复数的运算法则、复数的几何意义，属于基础题二、填空题10已知向量|，若，且，则的最大值为_【答案】【解析】，且，与的夹角为，设，则，又，化简得，当且仅当时，等号成立，故答案为【点评】本题考查了平面向量的混合运算，还涉及利用基本不等式解决最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题11在中，点在边上若，则的值为_【答案】【解析】设，故，即，故，所以，两式相加可得，此式代入（1）式可得或（舍去），代入（1）式可得，故答案为【点评】本题考查平面向量的基本定理、数量积的运算，以及方程思想的运用，属于中档题
