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1、向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束 数数 学学 物物 理理 方方 法法第四章第四章 解析函数的幂级数表示解析函数的幂级数表示 辅辅 导导 课课 课课 件件向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束一一. .本章知识提要本章知识提要二二. .学习与考试要求学习与考试要求三三. .本章重点与难点本章重点与难点四四. 本章疑难解析本章疑难解析 五.本章典型例题本章典型例题六六. .本章习题解析本章习题解析七七. .本章测试题本章测试题向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方
2、法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束 一.本章知识提要向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首
3、页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首
4、页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首
5、页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束二. 学习与考试要求学习与考试要求(1)理解级数收敛、发散及和的概念；了解级数收敛的必要与充分理解级数收敛、发散及和的概念；了解级数收敛的必要与充分(2)必要条件；了解级数绝对收敛与收敛的关系必要条件；了解级数绝对收敛与收敛的关系(2) 理解幂级数收敛圆与收敛半径的概念，掌握幂级数收敛半径理解幂级数收敛圆与收敛半径的概念，掌握幂级数收敛半径的求法的求法(3) 掌握将一个解析函数展为幂级数的基本方法，记住一些常用掌握将一个解析函数展为幂级数的基本方法，记住一些常用初等函数的泰勒展开式初等函数的泰勒展开式(4) 理解罗伦级数
6、的概念为罗伦级数理解罗伦级数的概念为罗伦级数 向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束三三 .重点与与难点重点与与难点 本章的重点本章的重点是幂级数收敛半径的求法，一个解析勒级数及在圆环 域内解析函数的罗朗展开 难点难点是将一个解析函数展为泰勒级数或罗伦级数向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束四四.本章疑难解析本章疑难解析向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束2.什么时候复数项级数具有可结合性与可交换性什么时候
7、复数项级数具有可结合性与可交换性?答答: 一般的复数项级数与实数项级数一样不具有项的可结合性一般的复数项级数与实数项级数一样不具有项的可结合性与可交换性与可交换性向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束3 求无穷级数的和与求序列极限之间有什么联系求无穷级数的和与求序列极限之间有什么联系?答答: 与实级数收敛性概念一样，无穷级数前与实级数收敛性概念一样，无穷级数前n项的和定义为项的和定义为部分和，部分和序列的敛散性确定无穷级数的敛散性部分和，部分和序列的敛散性确定无穷级数的敛散性 向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方
8、法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束6.复变量函数展为泰勒级数的条件与实函数情形有何不同复变量函数展为泰勒级数的条件与实函数情形有何不同?答答 复变量函数展为泰勒级数的条件比实函数时要弱得多复变量函数展为泰勒级数的条件比实函数时要弱得多 因因为为f f（z z）解析就可以保）解析就可以保证证
9、无限次可微与各无限次可微与各阶导阶导数的数的连续连续性；性； 而在实函数情形，要实现任意阶可导已是很困难的了，要证明余项而在实函数情形，要实现任意阶可导已是很困难的了，要证明余项趋于零则趋于零则 更为困难所以，复变量函数展为泰勒级数的实用范围就要更为困难所以，复变量函数展为泰勒级数的实用范围就要广阔得多广阔得多向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束8 奇、偶函数的泰勒级数有什么特点奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?答答 奇函数的泰勒级数
10、只含奇函数的泰勒级数只含z的奇次幂项，偶函数的泰勒级的奇次幂项，偶函数的泰勒级数只含数只含z的偶次幂项因此，在用直接展开法展开奇偶函数的泰勒的偶次幂项因此，在用直接展开法展开奇偶函数的泰勒级数时，可利用这一点来简化计算级数时，可利用这一点来简化计算向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物
11、理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束五五. 本章典型例题本章典型例题复数项级数的敛散性可
12、以由两个实数项级数的敛散性确定因此，复数项级数的敛散性可以由两个实数项级数的敛散性确定因此， 高等数学课程中关于实级数判敛的方法与技巧都可以应用高等数学课程中关于实级数判敛的方法与技巧都可以应用例例1.(1)向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束(2)向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕
13、尔哈提结束结束例例2. 判别下列级数是否收敛判别下列级数是否收敛?是否绝对收敛是否绝对收敛?向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下
14、向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束三、解析函数展为幂级数的方法分析三、解析函数展为幂级数的方法分析向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方
15、法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方
16、法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束五、解析函数在圆环域中的罗伦级数五、解析函数在圆环域中的罗伦级数要将一个解析函数展成罗伦级数，需要考虑的问题要比展为泰勒级要将一个解析函数展成罗伦级数，需要考虑的问题要比展为泰勒级 数要多首先罗伦级数是在圆环域内展开的，一个函数在不同的圆环数要多首先罗伦级数是在圆环域内展开的，一个函数在不同的圆环 域内有不同的罗伦展开式；因此，给定一个函数后，第一步是找出它域内有不同的罗伦展开式；因此，给定一个函数后，第一步是找出它 的奇点，进而确定函数可以在哪些圆环城内展为罗伦级数其次是展的奇点，进而确定函数可以在哪些圆环城内展为罗伦级数其次是展 开的
17、方式，也分直接展开法和间接展开法与泰勒级数展开方法类似开的方式，也分直接展开法和间接展开法与泰勒级数展开方法类似 向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕
18、尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束六六. 本章测试题本章测试题1填空题：填空题：1.形如形如 的泰勒级数的泰勒级数,设收敛半径为设收敛半径为 则收敛域可表为则收敛域可表为_ 2. 的泰勒级数为的泰勒级数为_ 3. 已知已知 ,则 _ 4. 级数 的收敛半径为 向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束5. 级数 的收敛半径为 6. 幂级数 的收敛半径为 7。幂级数 的收敛半径为 8. 级数 的收敛半径为 9. 幂级数 的收敛半径为 向下向下向上向上末页末页首
19、页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束10. 幂级数 的收敛半径为 在 11。设 在 解析, 内的幂级数展开式.为_.是距 最近的奇点,则泰罗级数 的收敛域为_ 12. 函数 13. 级数 的和函数为 14. 函数 在 内的幂级数展开式为_. 向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束15级数 的和函数为 16. 为 的孤立奇点,且为_点 17. 设 的奇点 且该奇点为_点.18 设 的奇点为 _且该奇点为 _ 19如果 为f(z)的有限孤立奇点，则 为f(z)的可去奇点的充分必要条件为_ 20函数
20、的零点 是 _阶零点 向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束21. 为 的孤立奇点,且为_点22 的 _奇点 23如果 为f(z)的有限孤立奇点，则 为f(z)的极点的充分必要条件为_24. 函数 的零点 是 _阶零点 25. 为 的孤立奇点,且为_点 向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束二。选择题二。选择题1.复数项级数复数项级数 的收敛范围的收敛范围 的收敛半径为【 】 2. 级数 3. 是函数 的【 】A. 本性奇点 B 可去奇点 C 一阶级点 D 二阶级点 向下
21、向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束4. 级数 5. z=0 点是函数 的收敛半径为【 】 的【 】A. 本性奇点 B 可去奇点 C 一阶级点 D 二阶级点6. 函数 在z =0 点是( ) A. 本性奇点 B 可去奇点 C 一阶级点 D 二阶级点 向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束7. z=1 是函数 的( )A. 本性奇点 B 可去奇点 C 一阶级点 D 二阶级 8. z=1 是函数 的( ) A. 本性奇点 B 可去奇点 C 级点 D 非孤立奇点9. 函数 A.
22、可去奇点 B 级点 C 本性奇点 D 解析点向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束A. 可去奇点 B 级点 C 本性奇点 D 解析点三三.综合题综合题:向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束 .4习题解析向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返
23、回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返
24、回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返
25、回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返
26、回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返
27、回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返
28、回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返
29、回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返
30、回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返
31、回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返回 制作人：帕尔哈提结束结束向下向下向上向上末页末页首页首页 数学物理方法数学物理方法调音调音返回返
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