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1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换贾厚玉 浙江大学浙江大学第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数第二章第二章 解析函数解析函数第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分第四章第四章 级数级数第五章第五章 留数留数第六章第六章 保角映射保角映射第七章第七章 LaplaceLaplace变换变换浙江大学浙江大学第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数复数及其代数运算复数的表示复数的乘幂与方根复平面点集与区域复变函数复变函数的极限与连续浙江大学浙江大学复数及其代数运算复数及其代数运算a) 复数：一对有序实数（复数：一对有序实数（x, y），），记为记为 z=x+ i y规定：规定：浙江大学浙
2、江大学b) 按上述定义容易验证按上述定义容易验证 加法交换律、结合律加法交换律、结合律 乘法交换律、结合律和分配律乘法交换律、结合律和分配律 均成立。均成立。浙江大学浙江大学c) 共轭复数：共轭复数：互为共轭复数容易验证浙江大学浙江大学d) 复平面复平面一对有序实数（x，y）平面上一点P复数 z = x + i y xyz = x + i yO实轴、 虚轴、复平面Z 平面、 w 平面浙江大学浙江大学e) 复数的几种表示法复数的几种表示法几何表示：几何表示：平面上一矢量与一复数z构成一一对应，复 数的加减与矢量的加减一致。xyO加法运算浙江大学浙江大学xyO减法运算浙江大学浙江大学复数的三角形式
3、与指数形式复数的三角形式与指数形式利用极坐标来表示复数z，则复数 z 可表示为三角式三角式：指数式指数式：复数的 模复数的 幅角浙江大学浙江大学讨论：讨论：1)复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数均有无穷多个幅角。通常把2) 的幅角称为Arg z的主值。记为2）复数“零”的幅角没有意义，其模为零。3）当 r = 1时，复数z称为单位复数。利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。浙江大学浙江大学设定理注意注意多值性多值性xyO浙江大学浙江大学指数形式表示推广至有限个复数的乘法浙江大学浙江大学除法运算除法运算或者浙江大学浙江大学例：已知正三角形的两个顶点为例：已知正三角形的两个顶点为求三角
4、形的另一个顶点。xyO浙江大学浙江大学复数的乘幂复数的乘幂n个相同复数z的乘积成为z的n次幂复数的方根复数的方根设为已知复数，n为正整数，则称满足方程的所有w值为z的n次方根，并且记为浙江大学浙江大学设则即浙江大学浙江大学当k0，1，2，n1时，得到n个相异的根：浙江大学浙江大学例：例：即浙江大学浙江大学复球面与无穷远点zPN球极平面射影法取一个在原点O与z平面相切的球面，过O点作z平面的垂线与球面交于N点（称为北极或者球极）。P对于平面上的任一点z，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于P。浙江大学浙江大学从几何上可以看出： Z平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈，这个圆
5、周以外的点则对应于相应纬圈以北的点，而且若点z的模越大，球面上相应的点则越靠近北极N。由此我们引进一个理想“点”与北极N对应。称之为无穷远点扩充复平面 复平面约定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义；另外等也没有意义。N浙江大学浙江大学复平面点集与区域（1）邻域（2）去心邻域（3）内点点z是点集E的内点存在z的某个r邻域含于E内，即（4）外点点z是点集E的外点存在z的某个r邻域不含E内的点浙江大学浙江大学（5）边界点点z 既非 E 的内点，又非 E 的外点边界点的任一邻域无论多小，都既含有E的内点，又同时含有E的外点。（6）开集点集E中的点全是内点（7）闭集开集的余集空集和整个复平面既是开集，
6、又是闭集。（8）连通集E中任意两点可以用一条全在E中的曲线连接起来。（9）区域非空的连通开集浙江大学浙江大学（10）有界区域如果存在正数M，使得对于一切D中的点z，有（11）简单曲线、光滑曲线简单曲线、光滑曲线点集称为z平面上的一条有向曲线。则称 D为有界区域。浙江大学浙江大学简单曲线：简单曲线：简单闭曲线：简单闭曲线：光滑曲线：光滑曲线：（12）单连通区域设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部仍属于D，则称D为单连通区域单连通区域，否则称多连通区域。没有交叉点。浙江大学浙江大学平面图形的复数表示 很多平面图形能用复数形式的方程（或不等式）来表示；也可以由给定的复数形式的方程（或
7、不等式）来确定所表示的平面图形。例：Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为Z平面上以 z_0为中心、R为半径的圆周方程为浙江大学浙江大学例： （1）连接z1 和z2两点的线段的参数方程为（2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为（3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为浙江大学浙江大学例： 考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。（1）该方程表示到点2i和2距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接点2i 和2的线段的垂直平分线，它的方程为y = x。（2）设 z = x+ iy,浙江大学浙江大学（3）表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角的主值，因此满足方程的点
8、的全体是自 i 点出发且与实轴正向夹角为45度的一条半射线。（不包括 i点）（4）浙江大学浙江大学例： 指出不等式中点z的轨迹所在范围。解：因为所以于是有浙江大学浙江大学它表示在圆外且属于左半平面的所有点的集合浙江大学浙江大学复复 变变 函函 数数复变函数的定义复变函数的定义 设 D 是复变数z的一个集合，对于 D 中的每一个z，按照一定的规律，有一个或多个复数w的值与之对应，则称w为定义在 D 上的复变函数复变函数，记做单值单值函数函数 f(z):对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。多值函数多值函数 f(z):对于D中的每个z，有两个或两个以上 w 与之对应。浙江大学浙江大学定义：定义
9、：我们主要考虑单值函数f(z)是单射单射（或一对一映射）对于任意f(z)是满射满射f(z)是双射双射f(z) 既是单射，又是满射。单射，又是满射。浙江大学浙江大学例例：浙江大学浙江大学浙江大学浙江大学浙江大学浙江大学复变函数的极限与连续函数的极限函数的极限定义：设函数w = f (z)定义在z0的去心邻域如果有一确定的数A存在，对于任意给定的相应地必有一正数使得当 时有那么称A为f (z) 当z 趋向z0时的极限，记作浙江大学浙江大学几何意义：当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时，它的象点 f(z)就落入A的预先给定的小邻域内。关于极限的计算，有下面的定理。注意注意：z趋于z0的方式是任意
10、的，就是说，无论z从什么方向，以何种方式趋向于z0，f(z)都要趋向于同一个常数。浙江大学浙江大学定理一定理二浙江大学浙江大学例证明函数当z趋于0时的极限不存在。解法一令z=x+iy, 则所以极限不存在。浙江大学浙江大学解法2利用复数的三角表示式当z沿着不同的射线趋于零时，f(z) 趋于不同的值。如极限不存在。浙江大学浙江大学函数的连续函数的连续如果那么f(z)在z0处连续。如果 f(z)在D内各点都连续，那么 f(z) 在 D 内连续。定理定理： f(z)在z0处连续的充分必要条件是 u(x,y), v(x,y)在（x0，y0）处连续。连续函数的四则运算、复合运算都成立。有界闭区域上的连续函数的最值定理。浙江大学浙江大学例：例： 研究函数 f(z) = arg z 在复平面上的连续性因为故在原点不连续。不连续，理由是分别从上半平面与下半平面趋于负实轴时，极限值不等。其余地方均连续。浙江大学浙江大学例： 证明：若|z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0, 则z1，z2，z3是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的三顶点。证明： 由于所以 z1，z2，z3位于单位圆上。又得即补充例子浙江大学浙江大学同理可以得到得证。浙江大学浙江大学证明浙江大学浙江大学
