无穷级数习题课

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1、第七章第七章 无穷级数习题课无穷级数习题课 (一一)常数项级数常数项级数 一、定义及性质一、定义及性质 2敛散性定义敛散性定义 3性质性质 必要性必要性: 线性运算性质线性运算性质: 则级数收敛，否则级数发散。则级数收敛，否则级数发散。 设级数设级数 为常数为常数 则则 设设 ，如果，如果 存在，存在， 级数级数 收敛收敛 1常数项级数常数项级数 4常数项级数类型常数项级数类型 正项级数正项级数交错级数交错级数任意项级数任意项级数常数项级数常数项级数 二、判别常数项级数收敛的解题方法二、判别常数项级数收敛的解题方法 若成立，则需作进一步的判别。若成立，则需作进一步的判别。 判别常数项级数判别常

2、数项级数 的敛散性，应先考察是否有的敛散性，应先考察是否有 成立。若不成立，则可判定级数发散；成立。若不成立，则可判定级数发散；此时可将常数项级数分为两大类，即正项级数与任意项级数。此时可将常数项级数分为两大类，即正项级数与任意项级数。 对于正项级数，可优先考虑应用比值法或根值法。若此对于正项级数，可优先考虑应用比值法或根值法。若此二方法失效，则可利用比较法（或定义）作进一步判别；二方法失效，则可利用比较法（或定义）作进一步判别； 若不收敛，但级数是交错级数，可考虑应用莱布尼兹判若不收敛，但级数是交错级数，可考虑应用莱布尼兹判别法，若能判别级数收敛，则原级数条件收敛；别法，若能判别级数收敛，则

3、原级数条件收敛； 对于一般的任意项级数，则可考虑利用利用级数收敛定义、对于一般的任意项级数，则可考虑利用利用级数收敛定义、性质等判别。性质等判别。 解题方法流程图如下图所示。解题方法流程图如下图所示。 对于任意项级数，一般应先考虑正项级数对于任意项级数，一般应先考虑正项级数 是否收敛。是否收敛。若收敛，则可判定原级数收敛，且为绝对收敛；若收敛，则可判定原级数收敛，且为绝对收敛； 解题方法流程图解题方法流程图 Yes判断判断 的敛散性的敛散性比值法比值法根值法根值法比较法比较法 找正项收敛找正项收敛级数级数找正项发散找正项发散级数级数用其它方用其它方法证明法证明No 莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法

4、 YesNoNoNoYesNoYesNoYes 为正项级数为正项级数 为任意项级数为任意项级数 发散发散 收敛收敛 收敛收敛 发散发散条件收敛条件收敛 绝对收敛绝对收敛 为交错级数为交错级数 收敛收敛 且且 三、典型例题三、典型例题 ，由定义，由定义 所以原级数收敛，且和为所以原级数收敛，且和为1。【例【例1】判别级数】判别级数 的收敛性，并求级数的和。的收敛性，并求级数的和。分析：此级数为正项级数，由于分析：此级数为正项级数，由于因此可利用定义求。因此可利用定义求。解：解： 由于由于由级数收敛的必要条件，原级数发散。由级数收敛的必要条件，原级数发散。【例【例2】判别级数】判别级数 的收敛性。

5、的收敛性。分析：此级数为正项级数，因为分析：此级数为正项级数，因为 分别求分分别求分子、分母的极限不为子、分母的极限不为0，由级数收敛的必要条件，原级数发散。，由级数收敛的必要条件，原级数发散。解：解： 因为因为而而故由比较审敛法的极限形式，原级数收敛。故由比较审敛法的极限形式，原级数收敛。 【例【例3】判别级数】判别级数 的收敛性。的收敛性。分析：此级数为正项级数，根据分析：此级数为正项级数，根据 的形式，可用的形式，可用 比较审敛法，也可采用比值审敛法。比较审敛法，也可采用比值审敛法。解法解法1：此级数为正项级数，：此级数为正项级数，而级数而级数 为等比级数收敛，为等比级数收敛， 解法解法

6、2：由比值审敛法：由比值审敛法故由比值审敛法知原级数收敛。故由比值审敛法知原级数收敛。,由于由于 故转到应用比较判别法。由于故转到应用比较判别法。由于 【例【例4】判别级数】判别级数 的收敛性。的收敛性。而而不存在不存在 ，所以，所以 不存在。不存在。 分析：此级数为正项级数，设分析：此级数为正项级数，设 而级数而级数 收敛，从而级数收敛，从而级数 收敛；收敛；或将或将 拆成两个级数，拆成两个级数， 分别判定级数的收敛性。分别判定级数的收敛性。同理同理 极限也不存在，即不能应用比值和根值判别法，极限也不存在，即不能应用比值和根值判别法，,由于由于 解法解法1：设：设而由比值法而由比值法 易知级

7、数易知级数 收敛收敛,故由级数的比较判别法知，级数故由级数的比较判别法知，级数 收敛。收敛。解法解法2：因为：因为所以，分别考虑所以，分别考虑 和和 的敛散性。的敛散性。对于对于由比值法由比值法 知知 收敛，所以，收敛，所以， 绝对收敛；绝对收敛； 同理得同理得 收敛，可知原级数收敛。收敛，可知原级数收敛。 收敛，故由比较审敛法，原级数收敛。收敛，故由比较审敛法，原级数收敛。【例【例5】判别级数】判别级数 的收敛性。的收敛性。分析：此级数为正项级数分析：此级数为正项级数, 由由 的形式，利用比值的形式，利用比值法和根值法均不合适，由于法和根值法均不合适，由于 , 可采用比较法。可采用比较法。

8、解：此级数为正项级数，解：此级数为正项级数， 令令 注：应用比较法判断一个正项级数注：应用比较法判断一个正项级数 的敛散性，最关键的敛散性，最关键问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性（如几何级数，问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性（如几何级数， 级数等），然后根据级数等），然后根据 的特点，进行有针对性的放缩。的特点，进行有针对性的放缩。【例【例6】判别级数】判别级数 的收敛性。的收敛性。分析：此级数为正项级数，分析：此级数为正项级数， ，由于，由于 中含有中含有，可用比值审敛法。，可用比值审敛法。 解：令解：令 所以，原级数发散。所以，原级数发散。 由比值审敛法，当由比值审敛法，当 时

9、，原级数收敛；时，原级数收敛； 当当 时，原级数发散。时，原级数发散。 当当 时，时， 比值审敛法失效，注意到比值审敛法失效，注意到 注：在级数一般项注：在级数一般项 中，若含有形如中，若含有形如 的因子时，的因子时， 适于使用比值审敛法。适于使用比值审敛法。 故由根值审敛法，原级数收敛故由根值审敛法，原级数收敛。【例【例7】判断级数】判断级数 的敛散性的敛散性. 分析：此级数为正项级数分析：此级数为正项级数 , 由于由于 中中解：此级数为正项级数，解：此级数为正项级数， 注：在级数一般项注：在级数一般项 中中,若含有若含有 次方时次方时,适于使用根值适于使用根值 审敛法。审敛法。 含有含有

10、次方，可用根值审敛法。次方，可用根值审敛法。【例【例8】判断级数】判断级数 收敛？如果收敛，是条件收敛收敛？如果收敛，是条件收敛 还是绝对收敛？还是绝对收敛？ 分析：本题中，分析：本题中， 为交错级数，可采用莱布尼兹为交错级数，可采用莱布尼兹定理判别法。定理判别法。解：此级数为交错级数，因为解：此级数为交错级数，因为 , 而而 发散发散,原级数非绝对收敛原级数非绝对收敛. 因为因为 为交错级数为交错级数, 由莱布尼玆定理由莱布尼玆定理由比较审敛法知由比较审敛法知 发散发散所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛。 所以所以 在在 上单增，即上单增，即 单减单

11、减 ，故当故当 时，时， 单减，单减，令令即原级数非绝对收敛。即原级数非绝对收敛。 【例【例9】* 判别级数判别级数 的敛散性。的敛散性。分析：本题中，分析：本题中， 为交错级数，可采用莱布为交错级数，可采用莱布尼兹定理判别法。尼兹定理判别法。 解：先考虑级数解：先考虑级数 的敛散性。的敛散性。 由于当由于当 时，时， 而级数而级数 发散，故级数发散，故级数 发散，发散， 即原级数为交错级数，故应用莱布尼兹判别法判别。即原级数为交错级数，故应用莱布尼兹判别法判别。 从而原级数条件收敛。从而原级数条件收敛。 注：在运用莱布尼玆定理判别注：在运用莱布尼玆定理判别 时，可引入函数，时，可引入函数，利

12、用函数的导数，判别单调性。利用函数的导数，判别单调性。因为因为 ,其中其中所以所以 在在 内单调递减，得内单调递减，得 于是由莱布尼兹判别法可得级数于是由莱布尼兹判别法可得级数 收敛，收敛， 令令证明：设级数证明：设级数 和和 的部分和分别为的部分和分别为 和和则则【例【例10】 若若 , 级数级数 收敛收敛, 证明证明级数级数 收敛收敛.没有具体表达式，只能将没有具体表达式，只能将 看成任意项级数看成任意项级数, 所以，所以，考虑级数收敛定义。考虑级数收敛定义。 分析：因为题设给出了级数分析：因为题设给出了级数 收敛收敛, 但但即即 由于级数由于级数 收敛收敛, 所以所以 存在存在, 所以要所以要根据级数收敛的定义知根据级数收敛的定义知 收敛收敛.证明证明 存在，只需要证明存在，只需要证明 存在即可存在即可. 根据题中根据题中的条件的条件 ，所以，所以 ，因此，因此