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1、 第一章 二、实数集及其完备性二、实数集及其完备性 一、集合及其运算一、集合及其运算第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 集合与实数集元素 a 属于集合 M , 记作元素 a 不属于集合 M , 记作一、集合及其运算一、集合及其运算1. 定义及表示法定义及表示法定义定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合.组成集合的事物称为元素元素.不含任何元素的集合称为空集空集 , 记作 . ( 或) .注注: M 为数集 表示 M 中排除 0 的集 ;表示 M 中排除 0 与负数的集 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示法表示法:(1) 列举法:按某种方式列出集合中的全体元素 .例例
2、: 有限集合自然数集(2) 描述法: x 所具有的特征例例: 整数集合或有理数集 p 与 q 互质实数集合 x 为有理数或无理数机动 目录 上页 下页 返回 结束 是 B 的子集子集 , 或称 B 包含 A ,2. 集合之间的关系集合之间的关系定义定义2 .则称 A若且则称 A 与 B 相等相等,例如 ,显然有下列关系 : , ,若设有集合记作记作必有机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义 3 . 给定两个集合 A, B, 并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集机动 目录 上页 下页 返回 结束 或3. 3. 集合的运算法则集合的运算法则为任意三个集合为任意三个
3、集合, ,则下列法则成立则下列法则成立: :(1) (1) 交换律交换律 AB =BA, AB=BA ;(2) (2) 结合律结合律 ( AB ) C = A ( B C ) , ( AB ) C = A ( B C ) ;(3) (3) 分配律分配律 ( AB )C= ( A C )( B C ) , ( AB )C= ( A C ) ( B C ) ;(4) (4) 对偶律对偶律 (AB)C= AC BC ,(AB)C= AC BC ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1、实数的性质、实数的性质实数的性质:1. 实数对加减乘除运算是封闭的;2. 实数是有序的;3. 实数具有稠密性;4
4、. 实数与数轴上的点一一对应.二、实数集及其完备性二、实数集及其完备性机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2、常用的不等式、常用的不等式(1) (1) 绝对值不等式绝对值不等式运算性质运算性质绝对值不等式绝对值不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2)(2) 伯努利伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)不等式不等式(3) (3) 平均值不等式平均值不等式用数学归纳法可证上面两个不等式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 无限区间半开区间机动 目录 上页 下页 返回 结束 开区间闭区间3、区间与邻域、区间与邻域机动 目录 上页 下页 返回 结束 点的 邻域邻域其中, a 称
5、为邻域中心 , 称为邻域半径 .去心 邻域邻域左左 邻域邻域 :右右 邻域邻域 :4 4、确界与确界原理、确界与确界原理对于有限数集,一定有最大值和最小值.如,但对于无限数集,就未必有最大值和最小值.如,没有最大值和最小值.Maximum minimum机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义1: 设E为一非空数集,如果存在数M, 使得对则称M是E的一个上界下界若数集E既有上界又有下界,则称E为有界数集,否则就称为无界数集.思考:1.若数集E有上(或下)界,则其上(或下)界2.是否唯一?2. 是否任何一个数集都有上(或下)界?机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论:任何一个有限区间都是有界数
6、集,任何一个无限区间都是无界数集.定义2(确界). 设E为一非空数集,若数是E的一个上 界, 且对E的任意一个上 界上确界(最小的上界).记作(下)(下)下确界(最大的下界).机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 设求其上(下)确界.思考:一个有界数集是否一定有上(下)确界?若有,是否唯一?机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1(确界原理)一个非空有上(下)界的数集必存在上(下)确界.由实数理论可证.定理2 (1) 设E是有上界的非空数集,则(2) 设E是有下界的非空数集,则利用反证法.实数的完备性或连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理3 若数集E包含了它的一个上界则例 设求其上(下)确界.机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、集合集合概念集合的运算2、实数的性质4、确界与确界原理3、区间与邻域机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结作业 P8 5,6