《线性变换和矩阵》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性变换和矩阵（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、7.3 线性变换和矩阵一、线性变换关于基的矩阵和坐标 1、线性变换关于基的矩阵 现设 是数域 上的 维向量空间。令 是 的一个线性变换取定 的一个基 ，对于 ，有 ， 仍是 的一个向量，设 （1），现在的问题是，如何计算 的坐标 ？ 令 （2） （3）这里 就是 关于基的坐标。令 则 阶矩阵 叫做线性变换 关于基 的矩阵。矩阵 的第 列的元素就是 关于基 的坐标。 这样，取定数域 上 维向量空间 的 一个基后，对于 的每一个线性变换，有唯一确定的 上的 阶矩阵与之对应。 例1、设 是 维向量空间 的标准基，线性变换 定义如下： 。求 关于标准基的矩阵。 例2、令 是数域 上的一个 维向量空间，
2、线性变换 是 的一个位似，求 关于任意基的矩阵。 特别地，(1)当 时， 的单位变换 关于任意基的矩阵为单位矩阵； (2)当 时， 的零变换 关于任意基的矩阵为零矩阵。 例3、设 的线性变换 定义如下： 。求：（1） 关于标准基的矩阵； （2） 关于基 的矩阵。 例4、设 ， ，求下面的线性变换 关于基 ， ， ， 的矩阵：（1） ；（2） 。2、线性变换关于基的坐标 为了计算 关于基 的坐标，由等式（3），即： 设 因为 是线性变换，所以 （4） 将（3）代入（4），得：上式表明， 关于基 的坐标所成的列是 。比较（1）式，得： 定理7.3.1：令 是数域 上一个维的向量空间， 是 的一个线
3、性变换，而 关于 的一个基 的矩阵是 。如果 中向量 关于这个基的坐标是 ，而 的坐标是 ，那么 。 例5、设 是数域 上的一个二维向量空间， 是 的一个基。线性变换 关于基 的矩阵为 ，而中一向量 关于基 的坐标为 。 求 关于这个基的坐标。 3、一个线性变换关于两个基的矩阵的关系 定理：设 是数域 上的一个 维向量空间， 是 的一个线性变换，关于 的两个基 和 的矩阵分别为 和 ，而基 到 的过渡矩阵为 ，则有 。 例6、设 是数域 上的一个二维向量空间，线性变换 关于 的一个基 的矩阵是 ，而基 到 的过渡矩阵为 。求关于基 的矩阵 。 例7、设 是 的一个基， 是 的线性变换，且 。求
4、：（1） 在标准基下的矩阵； （2） 在基 下的矩阵。二、矩阵的相似 1、定义：设 、 是数域 上的两个 阶矩阵，若存在 上 阶可逆矩阵 ，使得 成立，则称 与 相似，记作： 。 2、性质 （1）自反性：每一个 阶矩阵 均与它本身相似。 （2）对称性：若 ，则 。 （3）传递性：若 且 ，则 。 ， 结论： 维向量空间的一个线性变换关于两个基的矩阵是相似的。推广：（1）（2）三、矩阵 在给定基下的线性变换 引理7.3.2：设 是数域 上一个维向量空间， 是 的一个基，那么对于 中任意 个向量 ，恰有 的一个线性变换 ，使得 。 定理7.3.3：设 是数域 上一个维向量空间， 是 的一个基。对于 的每一个线性变换 ，令关于基 的矩阵 与它对应。则 （1）这样建立的映射 是一个双射； （2）若 ，而 ，那么 。 结论： ，它们的同构映射还保持乘法运算。 推论：设数域 上 维空间 的一个线性变换 关于 的一个取定的基的矩阵是 ，那么 可逆 可逆，且 关于这个基的矩阵是 。补充作业： 已知线性变换 关于基的矩阵为 。求 关于标准基的矩阵 。
