《数理方程：2-4非齐次方程的求解问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数理方程：2-4非齐次方程的求解问题（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1几种常见的几种常见的固有函数系固有函数系的形式的形式(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和矩形域矩形域上的拉普拉斯方程是适用的。上的拉普拉斯方程是适用的。圆域圆域上的拉普拉斯方程对应的上的拉普拉斯方程对应的固有函数系固有函数系为为(5)(5)小结小结1. 卷积卷积 预备知识：卷积与卷积定理预备知识：卷积与卷积定理（关于（关于Laplace变换的）变换的）P224 复变函数复变函数2. 卷积定理卷积定理 定理定理记记（满足交换律、结合律、分配律）（满足交换律、结合律、分配律）32.4 非齐次方程的求解
2、问题本节考察非齐次方程的定解问题，并介绍一种本节考察非齐次方程的定解问题，并介绍一种常用的解法：常用的解法：固有函数法固有函数法。下面我们将以三种类型定解问题的解法为例，下面我们将以三种类型定解问题的解法为例，来说明这种解法的要点与解题步骤。来说明这种解法的要点与解题步骤。一、有界弦的一、有界弦的强迫振动强迫振动问题问题二、有限长杆的热传导问题二、有限长杆的热传导问题( (有热源有热源) )三、三、泊松方程泊松方程( (非齐次的拉普拉斯方程非齐次的拉普拉斯方程) )一、有界弦的一、有界弦的强迫振动强迫振动问题问题(54(54) )首先，我们考察下列问题首先，我们考察下列问题我们可以设问题我们可
3、以设问题(54)(54)的解为的解为其中其中表示表示仅由强迫力仅由强迫力引起的弦振动的位移；引起的弦振动的位移；而而表示表示仅由初始状态仅由初始状态引起的弦振动的位移；引起的弦振动的位移；5(54(54) )(55(55) )(56(56) )和和分别满足如下定解问题：分别满足如下定解问题：分离分离变量法变量法为此，我们首先讨论为此，我们首先讨论齐次边界条件齐次边界条件与与零初值条件零初值条件的的强迫振动强迫振动问题：问题：(47(47) )(48(48) )(46(46) )由由2.12.1节的知识可知，节的知识可知，满足满足(46)(46)相应的相应的齐次方程齐次方程且同时满足且同时满足齐
4、次边界条件齐次边界条件(47)(47)的的固有函数系固有函数系为为下面我们用下面我们用固有函数法固有函数法来求这个定解问题的解。来求这个定解问题的解。7(47(47) )(48(48) )(46(46) )第一步第一步：设所求的解为设所求的解为其中其中是关于是关于的待定函数。的待定函数。第二步第二步：将方程中的自由项将方程中的自由项也按上述也按上述固有固有函数系函数系展成傅里叶级数：展成傅里叶级数：(49(49) )(50(50) )8(47(47) )(48(48) )(46(46) )(50(50) )其中其中(51(51) )(49(49) )把把(49)-(50)(49)-(50)代入
5、方程代入方程(46)(46)中可得中可得9由此得由此得(47(47) )(48(48) )(46(46) )在表达式在表达式(49)(49)中利用中利用初值条件初值条件(48)(48)得得(49(49) )10(47(47) )(48(48) )(46(46) )于是得如下常微分方程的初值问题于是得如下常微分方程的初值问题(52(52) )应用常微分方程中的应用常微分方程中的常数变易法常数变易法或或拉氏变换法拉氏变换法，得，得问题问题(52)(52)的解为的解为(53(53) )11补充补充 用用拉普拉斯变换拉普拉斯变换求解求解记记对方程两边作对方程两边作解解拉普拉斯变换拉普拉斯变换得得因此因
6、此对上式作对上式作拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换得得12(47(47) )(48(48) )(46(46) )于是得如下常微分方程的初值问题于是得如下常微分方程的初值问题(52(52) )应用常微分方程中的应用常微分方程中的常数变易法常数变易法或或拉氏变换法拉氏变换法，得，得问题问题(52)(52)的解为的解为(53(53) )13(47(47) )(48(48) )(46(46) )(53(53) )(49(49) )将将代入代入即得定解问题即得定解问题(46)-(48)(46)-(48)的解。的解。14固有函数法固有函数法的解题步骤的解题步骤（一般）：（一般）：小结小结1.1.将所考虑的定解
7、问题的解按将所考虑的定解问题的解按固有函数系固有函数系展开展开2.2.将将非齐次方程中的自由项非齐次方程中的自由项也按也按固有函数系固有函数系展开展开如果自由项已经含有固有函数的形式，可直接如果自由项已经含有固有函数的形式，可直接进入下一步。进入下一步。3.3.将将步骤步骤1 1、2 2中的形式中的形式代入非齐次方程代入非齐次方程中化简，中化简，并比较待定系数得到一个常微分方程并比较待定系数得到一个常微分方程4.4.将利用将利用初值条件初值条件得到得到步骤步骤3 3中常微分方程的附中常微分方程的附加条件。加条件。然后求解常微分方程的初值问题。然后求解常微分方程的初值问题。5.5.将将步骤步骤4
8、 4中得到的常微分方程初值问题的解中得到的常微分方程初值问题的解 代回步骤代回步骤1 1。15由于与方程相应的由于与方程相应的齐次方程齐次方程且同时满足且同时满足齐次齐次第二类边界条件第二类边界条件的的固有函数系固有函数系为为例例1 1 求解下列问题求解下列问题其中其中均是常数。均是常数。解解首先，首先，设所求的解为设所求的解为其中其中是关于是关于的待定函数。的待定函数。16例例1 1 求解下列问题求解下列问题其中其中均是常数。均是常数。解解将将代入原方程化简得代入原方程化简得比较等式两边系数即得比较等式两边系数即得17中利用中利用初值条件初值条件得得例例1 1 求解下列问题求解下列问题其中其
9、中均是常数。均是常数。解解在在18于是，我们得到两组常微分方程的初值问题于是，我们得到两组常微分方程的初值问题利用通解公式有利用通解公式有首先当首先当时，时，利用条件利用条件可得可得19于是，我们得到两组常微分方程的初值问题于是，我们得到两组常微分方程的初值问题(53(53) )利用公式利用公式当当时，时，20由于由于21将将代入代入即得所求解为即得所求解为22二、有限长杆的导热问题二、有限长杆的导热问题( (有热源有热源) )(70(70) )首先，我们考察下列问题首先，我们考察下列问题我们可以设问题我们可以设问题(70)(70)的解为的解为其中其中表示表示仅由内部热源仅由内部热源引起的温度
10、函数；引起的温度函数；而而表示表示仅由初始温度仅由初始温度引起的温度函数；引起的温度函数；23(70(70) )和和分别满足如下定解问题：分别满足如下定解问题：(*(*) )(*(*) )分离分离变量法变量法24为此，我们首先讨论为此，我们首先讨论齐次边界条件齐次边界条件与与零初始条件零初始条件的情形，的情形，(58(58) )(59(59) )(57(57) )我们依然用我们依然用固有函数法固有函数法来求这个定解问题的解。来求这个定解问题的解。以以两端温度保持两端温度保持0 0度度为例：为例：由由2.22.2节可知，节可知， 满足满足(57)(57)相应的相应的齐次方程齐次方程且同时且同时2
11、4满足齐次满足齐次第一类第一类边界条件边界条件(58)(58)的的固有函数固有函数系为系为25(58(58) )(59(59) )(57(57) )第一步第一步：将定解问题的解关于将定解问题的解关于第二步第二步：将方程中的自由项将方程中的自由项也按上述也按上述固有固有函数系函数系展成傅里叶级数：展成傅里叶级数：(60(60) )(61(61) )按按固有函数系展开固有函数系展开傅里叶级数傅里叶级数26(61(61) )其中其中(62(62) )(60(60) )把把(60)-(61)(60)-(61)代入方程代入方程(57)(57)中可得中可得(58(58) )(59(59) )(57(57)
12、 )27由此得由此得在表达式在表达式(60)(60)中利用中利用初值条件初值条件(59)(59)得得(60(60) )(58(58) )(59(59) )(57(57) )28于是得如下常微分方程的初值问题于是得如下常微分方程的初值问题(63(63) )应用应用一阶线性微分方程的通解公式一阶线性微分方程的通解公式或或拉氏变换法拉氏变换法，得问题得问题(52)(52)的解为的解为(64(64) )(58(58) )(59(59) )(57(57) )29补充补充 用用拉普拉斯变换拉普拉斯变换求解求解记记对方程两边作对方程两边作解解拉普拉斯变换拉普拉斯变换得得因此因此对上式作对上式作拉普拉斯逆变换
13、拉普拉斯逆变换得得30于是得如下常微分方程的初值问题于是得如下常微分方程的初值问题(63(63) )应用应用一阶线性微分方程的通解公式一阶线性微分方程的通解公式或或拉氏变换法拉氏变换法，得问题得问题(63)(63)的解为的解为(64(64) )(58(58) )(59(59) )(57(57) )(60(60) )将将代入代入即得定解问题即得定解问题(57)-(59)(57)-(59)的解。的解。(64(64) )(58(58) )(59(59) )(57(57) )32由于与方程相应的由于与方程相应的齐次方程齐次方程且同时满足且同时满足齐次齐次边界条件边界条件的的固有函数系固有函数系为为解解
14、首先，首先，设所求的解为设所求的解为例例2 2 求解下列问题求解下列问题其中其中为常数。为常数。(65(65) )(66(66) )33例例2 2 求解下列问题求解下列问题其中其中为常数。为常数。(65(65) )解解再将再将按上述固有函数系展成傅里叶级数按上述固有函数系展成傅里叶级数(67(67) )其中其中(66(66) )34把把(66)-(67)(66)-(67)代入代入(65)(65)的的方程中可得方程中可得例例2 2 求解下列问题求解下列问题其中其中为常数。为常数。(65(65) )解解(67(67) )(66(66) )35解解从而有从而有例例2 2 求解下列问题求解下列问题其中
15、其中为常数。为常数。(65(65) )(68(68) )在表达式在表达式(66)(66)中利用中利用(65)(65)中的中的初值条件初值条件得得(66(66) )(69(69) )36于是得如下常微分方程的初值问题于是得如下常微分方程的初值问题(68(68) )应用应用拉氏变换法或直接利用公式（拉氏变换法或直接利用公式（6464），得，得(69(69) )37将将代入代入即得所求解为即得所求解为(66(66) )例例2 2 求解下列问题求解下列问题(65(65) )38三、三、泊松方程泊松方程( (非齐次的拉普拉斯方程非齐次的拉普拉斯方程) )用用固有函数法固有函数法求解非齐次的拉普拉斯方程的
16、边值求解非齐次的拉普拉斯方程的边值问题。问题。我们通过举例来说明求解这类问题的要点我们通过举例来说明求解这类问题的要点与步骤。与步骤。例例3 3在以原点为中心以在以原点为中心以1 1为半径的圆内，试求为半径的圆内，试求泊松方程泊松方程的解，的解，使它满足边界条件使它满足边界条件解解由于区域是圆域，由于区域是圆域， 作极坐标变换作极坐标变换并记并记则问题归结为则问题归结为39(71(71) )(72(72) )由由2.32.3节的讨论可知，节的讨论可知，与与(71)(71)相应的齐次方程相应的齐次方程满足满足单值性条件单值性条件的的固有函数固有函数满足满足(41(41) )因此，与因此，与(71
17、)(71)相应的相应的齐次方程齐次方程且同时满足且同时满足单值性单值性条件条件的的固有函数系固有函数系为为40(71(71) )(72(72) )由由固有函数法固有函数法，设方程，设方程(71)(71)的解为的解为(73(73) )将将(73)(73)式代入方程式代入方程(71)(71)化简得化简得比较上式两端关于比较上式两端关于的系数，的系数，41(71(71) )(72(72) )(73(73) )(74(74) )(75(75) )可得可得将将边界条件边界条件(72)(72)代入代入(73)(73)式式, ,则有则有(77(77) )(76(76) )42(71(71) )(72(72)
18、 )(73(73) )(74(74) )(75(75) )可得可得(76(76) )再根据函数再根据函数的的有界性有界性，得，得(78(78) )43(75(75) )(76(76) )(77(77) )(78(78) )首先注意方程首先注意方程(75)(76)(75)(76)是齐次的是齐次的欧拉方程欧拉方程，则，则通解分别为通解分别为由条件由条件(78)(78)得得再由条件再由条件(77)(77)得得因此，因此，44(74(74) )通解为通解为由于方程由于方程(74)(74)是非齐次的是非齐次的欧拉方程欧拉方程，则，则(77(77) )(78(78) )由条件由条件(78)(78)得得再由
19、条件再由条件(77)(77)得得故故45(73(73) )然后将然后将代入级数代入级数则得定解问题则得定解问题(71)(72)(71)(72)的解为的解为化成直角坐标，则得化成直角坐标，则得(71(71) )(72(72) )46(71(71) )(72(72) )解法二解法二思路：思路：如果我们知道泊松方程的一个如果我们知道泊松方程的一个特解特解则通过作则通过作函数变换函数变换就可将泊松方程化成就可将泊松方程化成拉普拉斯方程拉普拉斯方程， 然后通过求解拉普拉斯方程的边值然后通过求解拉普拉斯方程的边值问题来得到泊松方程的边值问题。问题来得到泊松方程的边值问题。显然方程显然方程(71)(71)有
20、一个有一个特解特解令令则问题则问题(71)(72)(71)(72)可化为可化为47我们设这个我们设这个拉普拉斯方程边值问题拉普拉斯方程边值问题的解为的解为这个函数显然满足方程。这个函数显然满足方程。 为了满足为了满足边界条件边界条件，则有，则有于是边值问题于是边值问题(71)(72)(71)(72)的解为的解为48固有函数法固有函数法的解题步骤（圆域上的解题步骤（圆域上泊松方程泊松方程）小结小结1.1.将所考虑的定解问题的解按将所考虑的定解问题的解按固有函数系固有函数系展开展开2.2.将将非齐次方程中的自由项非齐次方程中的自由项也按也按固有函数系固有函数系展开展开如果自由项已经含有固有函数的形
21、式，可直接如果自由项已经含有固有函数的形式，可直接进入下一步。进入下一步。3.3.将将步骤步骤1 1、2 2中的形式代入非齐次方程中化简，中的形式代入非齐次方程中化简，并比较待定系数得到一个常微分方程并比较待定系数得到一个常微分方程4.4.将利用将利用有界性和边界条件有界性和边界条件求解求解步骤步骤3 3中常微分中常微分方程的相关问题。方程的相关问题。5.5.将将步骤步骤4 4中得到的常微分方程初值问题的解中得到的常微分方程初值问题的解 代回步骤代回步骤1 1。49对于如下对于如下泊松方程泊松方程的边值问题而言：的边值问题而言：补充补充(P)(P)(P1)(P1)思路思路1 1 将问题将问题(P)(P)的解看成两部分，的解看成两部分，令令和和分别满足分别满足50(P1)(P1)(P2)(P2)和和固有函固有函数法数法分离变分离变量法量法(或或试探法试探法)对于如下对于如下泊松方程泊松方程的边值问题而言：的边值问题而言：补充补充(P)(P)51(Q)(Q)思路思路2 2 (1)(1)找出此找出此泊松方程泊松方程的一个的一个特解特解令令(2)(2)将泊松方程化成将泊松方程化成拉普拉斯方程拉普拉斯方程可用可用分离变量法分离变量法或或试探法试探法求解问题求解问题(Q)(Q)对于如下对于如下泊松方程泊松方程的边值问题而言：的边值问题而言：补充补充(P)(P)
