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1、积分变换积分变换第第4讲讲本文件可从网址http:/上下载1卷积定理与相关函数2卷积的概念若已知函数f1(t), f2(t), 则积分称为函数f1(t)与f2(t)的卷积, 记为f1(t)*f2(t)3卷积的图示f1(t)f2(t)tOf2(t)OttOtf2(tt)4在积分中, 令u=tt, 则t=tu, du=dt, 则即卷积满足交换律.5下证卷积满足结合律, 即f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)为此, 令则6交换二重积分的次序, 得令v=tu, 则u=tv, 7例1 证明 f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t
2、)证 根据卷积的定义8任给函数f(t), 都有f(t)*d(t)=f(t), 这是因为因此, 单位脉冲函数d(t)在卷积运算中起着类似数的运算中的1的作用.9在近世代数中, 代数(algebra)一词表示两个元素到一个元素的映射规则. 比如数的加减乘除, 向量的加, 内积, 矩阵的加和乘, 向量或者矩阵乘数, 等等,都是代数运算.如果一个代数运算满足类似加法的性质, 如有0元素, 有负元素, 满足交换律和结合律, 则相应的集合叫做加法群, 简称群.如果在加法群上再定义一个被称作乘法的运算, 满足交换律和结合律, 有1元素, 且同相应的加法运算满足分配律, 此集合就叫做乘法环, 简称环.如果乘法
3、除0元素外都有逆, 则被称作域了.10例2 若求f1(t)*f2(t)f1(t)1OttOf2(tt)1t11由卷积的定义有tO1et112卷积定理 假定f1(t), f2(t)都满足傅氏积分定理中的条件, 如 f1(t) F1(w) f2(t) F2(w)则 f1(t) * f2(t) F1(w)F2(w)以及13证 按傅氏变换的定义, 有14相关函数对两个不同的函数f1(t)和f2(t), 则积分称为两个函数的互相关函数, 记为R12(t), 即15当f1(t)=f2(t)=f(t)时, 积分称为f(t)的自相关函数(简称相关函数). 用记号R(t)表示, 即16根据R(t)的定义, 自相
4、关函数是一个偶函数, R(t)=R(t)事实上,令t=u+t, 可得关于互相关函数, 有如下的性质:R21(t)=R12(t)17前面已经证明过令f1(t)=f(t), f2(t)=f(t+t), 设f(t)F(w), 则18假设f1(t)F1(w), f2(t)F2(w), 称S12(w)=F1(w)F2(w)为互能量谱密度. 则f2(t+t)F2(w)ejwt可得即R12(t)S12(w), 且易证S21(w)= S12(w)19例3 求指数衰减函数的自相关函数和能量谱密度tOf(t)1tOf(t+t)1tOf(t+t)1tt20当t0时, 积分区间为0,+)当t0时, 积分区间为t, +
5、)21因此, 当t时, 自相关函数可合写为并求得能量谱密度为22例4 利用傅氏变换的性质, 求d(tt0),23例5 若f(t)=cosw0t u(t), 求F f(t)24例6 若F(w)=F f(t), 证明25奈奎斯特采样率26假设时间函数f(t)在区间a, a之外全为零, 并假设f(t)F(w)tOf(t)aaOwF(w)27现将f(t)进行周期化, 产生fT(t), T=2a, 然后用傅氏级数表示.tOfT(t)aa28tOfT(t)aaOwFT(w)w1w2.29根据对称原理有FT(t)2pfT(w)OtFT(t)i1t2.wOfT(-w)aa30假设时间函数f(t)的频谱函数F(w)在2pB,2pB之外为0.B称为f(t)的带宽.wOF(w)2pB2pBOtf(t)31现对f(t)进行间隔为Dt的采样得g(t)32如图所示:Oti1t2.wOG(w)w/2g(t)-w/23334作业 习题四 第51页第1题第(3)(4)小题第5题第(1),(2),(3)小题今天学号大于2004111111的同学交作业35
