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1、 期权估价期权估价 Option Valuation程建波程建波程建波程建波2024/8/26 1本章内容本章内容期权介绍期权介绍1.衍生证券衍生证券2.期权的定义期权的定义3.欧式期权和美式期权欧式期权和美式期权4.期权价格期权价格5.看涨期权和看跌期权看涨期权和看跌期权6.实值和虚值实值和虚值7.期权的交易期权的交易期权估价期权估价1.内在价值与时间价值内在价值与时间价值2.期权的到期日价值期权的到期日价值3.期权策略期权策略4.影响期权价值的因素影响期权价值的因素 看涨期权价值的限制看涨期权价值的限制5.二项式期权定价二项式期权定价 套期保值率套期保值率6.布莱克布莱克舒尔斯定价公式舒尔
2、斯定价公式2024/8/262Options: Introduction 期权介绍期权介绍衍生证券（衍生证券（derivative securities） 又称衍生工具（又称衍生工具（derivatives），），这些证券的价格取决于或者衍生于其他证券的价格，所以又叫做或有这些证券的价格取决于或者衍生于其他证券的价格，所以又叫做或有权利（权利（contingent claim）, ,是强有力的套期保值或投机工具是强有力的套期保值或投机工具期权期权是一种合约，该合约赋予持有人在某一特定日期或该日之前的任是一种合约，该合约赋予持有人在某一特定日期或该日之前的任何时间以固定价格购进或售出一种资产的权
3、利何时间以固定价格购进或售出一种资产的权利1.是一种权利，至少涉及购买人和出售人两方，交易完成后，购买人成为是一种权利，至少涉及购买人和出售人两方，交易完成后，购买人成为期权持有人期权持有人2.标的资产是标的资产是选择购买或出售的资产选择购买或出售的资产3.期权到期时双方不一定进行标的物的实物交割，只需按价差补足价款期权到期时双方不一定进行标的物的实物交割，只需按价差补足价款4.双方约定期权到期的那一天称为双方约定期权到期的那一天称为“到期日到期日”，在，在“到期日到期日”之后，期权之后，期权失效失效5.期权的执行即依据期权合约购进或售出标的资产的行为期权的执行即依据期权合约购进或售出标的资产
4、的行为欧式期权（欧式期权（European options）只允许其持有者在到期日当天执行只允许其持有者在到期日当天执行美式期权（美式期权（American options）允许其持有者在期权有效期内的任何允许其持有者在期权有效期内的任何一天行使买入或卖出标的物的权利。一般来说，美式期权价值更高一天行使买入或卖出标的物的权利。一般来说，美式期权价值更高期权的购买价格称为期权的购买价格称为期权价格或期权费（期权价格或期权费（premium）,它表示如果执它表示如果执行期权有利可图，买方为获得执行的权利而付出的代价行期权有利可图，买方为获得执行的权利而付出的代价2024/8/263Options:
5、 Introduction 期权介绍期权介绍看涨期权（看涨期权（call option）是期权出售者给予期权持有者在将来确定的是期权出售者给予期权持有者在将来确定的到期日或之前以执行价格（到期日或之前以执行价格（strike price or exercise price）购买购买资产资产的权利的权利到期日净收入到期日净收入 = 股票股票价格执行价格价格执行价格利润利润 = 初始投资（即期权价格）初始投资（即期权价格）只要到期日股价高于执行价格，执行期权就是最优选择只要到期日股价高于执行价格，执行期权就是最优选择看跌期权（看跌期权（put option）是期权出售者赋予期权持有者在将来确定的是
6、期权出售者赋予期权持有者在将来确定的到期日或之前以执行价格（到期日或之前以执行价格（strike price或或exercise price）出售出售某种资某种资产的权利产的权利到期日净收入到期日净收入 = 执行价格执行价格股票股票价格价格利润利润 = 初始投资（即期权价格）初始投资（即期权价格）只要到期日股价低于执行价格，执行期权就是最优选择只要到期日股价低于执行价格，执行期权就是最优选择当期权持有者执行期权能产生利润时，称此期权处于当期权持有者执行期权能产生利润时，称此期权处于实值实值（in the money）状态；当执行期权无利可图时，称此期权处于状态；当执行期权无利可图时，称此期权处
7、于虚值（虚值（ out of the money）状态；当执行价格等于资产价格时，称期权为状态；当执行价格等于资产价格时，称期权为两平期权两平期权（at the money）期权的交易分期权的交易分场内市场（场内市场（exchanges）交易和交易和场外市场（场外市场（over-the-counter markets）交易交易2024/8/264Intrinsic and Time Values内在价值与时间溢价内在价值与时间溢价期权的内在价值是指期权立即执行所产生的经济价值期权的内在价值是指期权立即执行所产生的经济价值等于（等于（S0X）、（）、（XS0）或）或0不同于到期日价值不同于到期日
8、价值 期权的时间价值是一种等待的价值，离到期时间越远，股价波动的可期权的时间价值是一种等待的价值，离到期时间越远，股价波动的可能性越大，期权的时间价值也就越大能性越大，期权的时间价值也就越大2024/8/265Values of Options at Expiration 期权的到期日价值期权的到期日价值看涨期权看涨期权看涨期权买方的收益看涨期权买方的收益= =S ST T-X-X，若，若S ST TX X0 0， 若若S ST TX X看涨期权卖方的收益看涨期权卖方的收益= =- -（S ST T-X-X），若），若S ST TX X0 0， 若若S ST TX X注：注：S ST T是到期
9、日的股票价格，是到期日的股票价格，X X是期权的执行价格，是期权的执行价格，X X=100=100IBM股价股价 （美元）（美元）90100110120130期权价值期权价值 （美元）（美元）001020302024/8/266Values of Options at Expiration 期权的到期日价值期权的到期日价值看涨期权看涨期权8090100110120ST3020100-10-14期权成本期权成本盈利盈利到期时看涨期权的收益与利润到期时看涨期权的收益与利润支付支付=执行时的价值执行时的价值2024/8/267Values of Options at Expiration 期权的到期
10、日价值期权的到期日价值看跌期权看跌期权看跌期权买方的收益看跌期权买方的收益= =0 0， 若若S ST TX XX-SX-ST T ，若，若S ST TX X看跌期权卖方的收益看跌期权卖方的收益= =0 0， 若若S ST TX X- -（X-SX-ST T），若），若S ST TX X注：注：S ST T是到期日的股票价格，是到期日的股票价格，X X是期权的执行价格是期权的执行价格2024/8/268Option Strategies 期权策略期权策略1.保护性看跌期权保护性看跌期权（Protective Put）：既投资股票，又购买该股票的看：既投资股票，又购买该股票的看跌期权跌期权保护性
11、看跌期权保护性看跌期权锁定（锁定（lock in）了投资的最小收益了投资的最小收益保护性看跌期权提供了防止股价下跌的保证，限制了损失，因此，它保护性看跌期权提供了防止股价下跌的保证，限制了损失，因此，它是一种是一种资产组合保险（资产组合保险（portfolio insurance）。保护的成本是，一旦。保护的成本是，一旦股价上升，购买期权的费用会减少你的利润，因为这时购买期权变得股价上升，购买期权的费用会减少你的利润，因为这时购买期权变得没有必要了没有必要了S ST TX XS ST TX X股票的收益股票的收益S ST TS ST T+看跌期权的收益看跌期权的收益X-SX-ST T0总计总计
12、X XS ST T2024/8/269Option Strategies 期权策略期权策略2.抛补看涨期权抛补看涨期权（Covered Call）：买进股票的同时卖出它的看涨期权：买进股票的同时卖出它的看涨期权这种头寸称为这种头寸称为“抛补的抛补的”，是因为投资者将来交割股票的义务正好被，是因为投资者将来交割股票的义务正好被手中持有的股票抵消。相反，如果没有股票而卖出股票则叫做手中持有的股票抵消。相反，如果没有股票而卖出股票则叫做“买裸买裸期权期权”（naked option writing）如果股价上升，抛补看涨期权如果股价上升，抛补看涨期权锁定锁定了投资的收益了投资的收益S ST TX X
13、S ST TX X股票的收益股票的收益S ST TS ST T+看涨期权的收益看涨期权的收益-0- -（S ST T-X-X）总计总计S ST TX X2024/8/2610Option Strategies 期权策略期权策略3.对敲对敲（Straddle）：同时买进具有相同执行价格与到期时间的同一种：同时买进具有相同执行价格与到期时间的同一种股票的看涨期权与看跌期权股票的看涨期权与看跌期权对那些预期股价将大幅升降但不知向哪个方向变动的投资者来说，对对那些预期股价将大幅升降但不知向哪个方向变动的投资者来说，对敲是很有用的策略敲是很有用的策略对对敲来说，最糟糕的是股票价格没有变化，此时，看涨期权
14、与看跌对对敲来说，最糟糕的是股票价格没有变化，此时，看涨期权与看跌期权都毫无价值地失效了，投资者损失了购买期权的支出期权都毫无价值地失效了，投资者损失了购买期权的支出S ST TX XS ST TX X看涨期权的收益看涨期权的收益0 0S ST T-X-X+看跌期权的收益看跌期权的收益X-X-S ST T0 0总计总计X-X-S ST TS ST T-X-X2024/8/2611Determinants of Option Values 影响期权价值的因素影响期权价值的因素变量变量欧式看涨期权欧式看涨期权 欧式看跌期权欧式看跌期权 美式看涨期权美式看涨期权 美式看跌期权美式看跌期权股票的市价股
15、票的市价+期权收益期权收益+到期期限到期期限不一定不一定不一定不一定+股价波动率股价波动率+无风险利率无风险利率+红利红利+ 其他变量不变，一变量增其他变量不变，一变量增加对期权价值的影响加对期权价值的影响2024/8/2612Determinants of Option Values 影响期权价值的因素影响期权价值的因素股价波动性对看涨期权价值的影响股价波动性对看涨期权价值的影响高波动性的情况高波动性的情况股票价格股票价格1020304050期权收益期权收益0001020低波动性的情况低波动性的情况股票价格股票价格2025303540期权收益期权收益000510假定每种情况的概率都为假定每种
16、情况的概率都为0.2，看涨期权的执行价格为，看涨期权的执行价格为30美元美元好的股价带来的收益是无限的，差的股价带来的收益也不会好的股价带来的收益是无限的，差的股价带来的收益也不会低于零。这种低于零。这种不对称性不对称性意味着标的股票价格的波动性的增加意味着标的股票价格的波动性的增加使期权的期望收益增加，从而增加了期权的价值。使期权的期望收益增加，从而增加了期权的价值。2024/8/2613Determinants of Option Values 影响期权价值的因素影响期权价值的因素1.A1.A点为原点，表示股票价格为零时，期权的价值也为零点为原点，表示股票价格为零时，期权的价值也为零2.2
17、.线段线段ABAB和和BDBD组成期权的最低价值线组成期权的最低价值线3.3.线段线段AEAE是期权价值的上限是期权价值的上限4.4.曲线曲线AGHAGH是期权价值线是期权价值线5.5.股价足够高时，期权价值线与最低价值线的上升部分平行股价足够高时，期权价值线与最低价值线的上升部分平行ABC股票价格股票价格GHDEF45期权价值下限期权价值下限= =内在价值内在价值期权价值上限期权价值上限= =股价股价执行价格执行价格看涨期权看涨期权价值价值期权价值线期权价值线2024/8/2614 Restrictions on The Value of a Call Option 看涨期权价值的限制看涨期
18、权价值的限制考虑两个资产组合考虑两个资产组合一份股票看涨期权一份股票看涨期权由股票与数额为由股票与数额为（X+D）/（1+r）T的借款构成的的借款构成的杠杆化股权头寸杠杆化股权头寸，在，在期权到期日那天，借款偿付额为期权到期日那天，借款偿付额为（X+D）一一个个执执行行价价格格为为70美美元元的的半半年年期期期期权权，在在到到期期日日之之前前（just before）的的时时间间T，公公司司将将对对股股东东持持有有的的每每一一股股股股票票支支付付红红利利5美美元元，有有效效年年利利率率为为10%，那那么么购购进进股股票票的的同同时时，需需借借一一笔笔数数额额为为75/(1.10)0.5=71.
19、51美美元元的的借借款款，6个个月月后后偿偿还还75美美元元。那那么么，到到期期日日杠杆化股权头寸的收益如下杠杆化股权头寸的收益如下 ：建立上述杠杆化股权资产组合的净现金流出量为建立上述杠杆化股权资产组合的净现金流出量为S071.5美元美元期权的收益总是大于或等于杠杆化股权头寸的收益，所以期权的收益总是大于或等于杠杆化股权头寸的收益，所以 Cmax0, S0PV(X) PV(D)一般表达式一般表达式数字数字股票收益股票收益ST+DST+5减：贷款偿还额减：贷款偿还额X +D75总计总计ST -XST -702024/8/2615Restrictions on The Value of a Ca
20、ll Option 看涨期权价值的限制看涨期权价值的限制PV(X)+PV(D)S045期权价值下限期权价值下限=S0PV(X) PV(D)期权价值上限期权价值上限= =S0看涨期权看涨期权价值价值允许的范围允许的范围S0PV(X) PV(D)C S0没有人会支付高于没有人会支付高于S0的价值去购买实际价值为的价值去购买实际价值为S0的股票的期限，所以的股票的期限，所以CS0期权价值期权价值2024/8/2616Binomial Option Pricing 二项式期权定价二项式期权定价两状态期权定价两状态期权定价（Two-State Option Pricing）现在的股票价格为现在的股票价格
21、为100美元，年底的股票价格可能升至美元，年底的股票价格可能升至200美元，或者降美元，或者降至至50美元。该股票的看涨期权执行价格为美元。该股票的看涨期权执行价格为125美元，有效期为美元，有效期为1年，利率年，利率为为8%。如果年底的股票价格下跌，期权持有者的收益为。如果年底的股票价格下跌，期权持有者的收益为0，如果股票价，如果股票价格上升，期权持有者会获得格上升，期权持有者会获得75平均的收益。用平均的收益。用“二叉树（二叉树（trees）”表表示如下：示如下：现有一资产组合，由一股股票和利率为现有一资产组合，由一股股票和利率为8%的的46.30美元美元借款组成，这一借款组成，这一组合的
22、收益也取决于年末的股票价格组合的收益也取决于年末的股票价格10020050C750年末股票价格年末股票价格50200减：借款的本金与利率减：借款的本金与利率5050合计合计015053.70=2CC=26.8515002024/8/2617Binomial Option Pricing 二项式期权定价二项式期权定价这种定价方法主要依赖于复制这种定价方法主要依赖于复制（replication）的概念，由于股票年末的概念，由于股票年末有两种可能的价格，利用杠杆的资产组合的收益复制了两份看涨期权有两种可能的价格，利用杠杆的资产组合的收益复制了两份看涨期权的收益，因此，它们才具有相同的市场价格的收益，
23、因此，它们才具有相同的市场价格另一个角度：由一股股票与出售两份看涨期权构成的资产组合另一个角度：由一股股票与出售两份看涨期权构成的资产组合可见，投资者构造了一个无风险资产组合，其未来收益为可见，投资者构造了一个无风险资产组合，其未来收益为50美元，其美元，其价值为价值为50/1.08 = 46.30美元美元。那么，资产组合的价值又等于股票多头。那么，资产组合的价值又等于股票多头100美元减去两份出售的看涨期权的价值美元减去两份出售的看涨期权的价值2C，即，即1002C = 46.30美元，美元，C = 26.85美元美元创造创造完全套期保值（完全套期保值（a perfect hedge）的能力
24、是关键，套期保值锁定的能力是关键，套期保值锁定了年末的收益了年末的收益年末股票价格年末股票价格50200减：出售两份看涨期权的所得减：出售两份看涨期权的所得0150净收益净收益50502024/8/2618The Hedge Ratio 套期保值率套期保值率套期保值率等于范围的比率套期保值率等于范围的比率C+和和C-分别是看涨期权在股票上涨与下跌时的价值，分别是看涨期权在股票上涨与下跌时的价值，S+和和S-分别是分别是两状态下的股票价格两状态下的股票价格期权定价技术包括以下步骤期权定价技术包括以下步骤给定可能的年末股票价格，给定可能的年末股票价格， S+=200美元，美元，S-=50美元，执行
25、价美元，执行价格为格为125美元美元，计算，计算C+=75美元，美元，C-=0。股票价格的变动范围为。股票价格的变动范围为150美元，而期权价值的变动范围是美元，而期权价值的变动范围是75美元美元套期保值率套期保值率H=75/150=0.5由由0.5股股票与一份期权空头组成的资产组合，年末的确定价值股股票与一份期权空头组成的资产组合，年末的确定价值为为25美元美元年利率为年利率为8%，25美元的现值为美元的现值为23.15美元美元让套期保值头寸的现值等于将来确定收益的现值，让套期保值头寸的现值等于将来确定收益的现值， 0.5S0C0=23.15美元，即美元，即50美元美元C0=23.15美元美
26、元解出看涨期权的价值，解出看涨期权的价值，C0=26.85美元美元2024/8/2619The Hedge Ratio 套期保值率套期保值率期权价值为期权价值为C0=26.85美元时美元时初始现金流初始现金流对于每个可能的股票价格，对于每个可能的股票价格，一年后的现金流一年后的现金流S=50S=200出售两份期权出售两份期权53.70-150购买一股股票购买一股股票-10050200以年利率以年利率8%借入借入46.3美元美元46.3-50-50合计合计0002024/8/2620The Hedge Ratio 套期保值率套期保值率期权价值被高估期权价值被高估C0=30美元时，会获得美元时，会
27、获得套利利润（套利利润（arbitrage profits）初始现金流初始现金流对于每个可能的股票价格，对于每个可能的股票价格，一年后的现金流一年后的现金流S=50S=200出售两份期权出售两份期权600-150购买一股股票购买一股股票-10050200以年利率以年利率8%借入借入40美元美元40 -43.2-43.2合计合计0 6.80 6.80 注：套利盈利的现值正好等于期权价值高估部分的注：套利盈利的现值正好等于期权价值高估部分的2 2倍。倍。2024/8/2621The Hedge Ratio 套期保值率套期保值率期权价值被低估期权价值被低估C0=24美元时，采取相反的套利策略，也会获
28、得套利利润美元时，采取相反的套利策略，也会获得套利利润初始现金流初始现金流对于每个可能的股票价格，对于每个可能的股票价格，一年后的现金流一年后的现金流S=50S=200购买两份期权购买两份期权-480150出售一股股票出售一股股票100-50-200以年利率以年利率8%借出借出52美元美元-5256.1656.16合计合计06.166.16注：套利盈利的现值正好等于期权价值低估部分的注：套利盈利的现值正好等于期权价值低估部分的2 2倍。倍。2024/8/2622Binomial Option Pricing 二项式期权定价二项式期权定价两状态方法的推广两状态方法的推广（Generalizing
29、 The Two-State Approach）将一年分成两个将一年分成两个6个月的时期，在任何一个时期，股票都只有两个可个月的时期，在任何一个时期，股票都只有两个可能的价值。假设股价将增长能的价值。假设股价将增长10%或下降或下降5%，股票的初始价格为，股票的初始价格为100美美元元/ /股股我们可以把一年分成四个我们可以把一年分成四个3个月，或十二个个月，或十二个1个月，或个月，或365天，每一个天，每一个时间段都假定是一个两状态过程。当我们把一年分成越来越多的间隔时间段都假定是一个两状态过程。当我们把一年分成越来越多的间隔时，年末股票可能的价格范围也随之膨胀，并且实际上将最终形成时，年末
30、股票可能的价格范围也随之膨胀，并且实际上将最终形成钟钟形分布形分布（bell-shaped distribution）10011095121104.5090.25CC+C-C+C-+C-2024/8/2623Binomial Option Pricing 二项式期权定价二项式期权定价SS+S-S+S-+S-S+S+-S-+S-股价在最后期末的概率分布股价在最后期末的概率分布事件事件概率概率股票价格股票价格3 3升升1/81/81001001.051.053 3=115.76=115.762 2升升1 1降降3/83/81001001.051.052 20.97=106.940.97=106.9
31、41 1升升2 2降降3/83/81001001.051.050.970.972 2=98.79=98.793 3降降1/81/81001000.970.973 3=91.27=91.272024/8/2624Black-Scholes Pricing Formula 布莱克布莱克舒尔斯定价公式舒尔斯定价公式nN（d）为标准正态分布中离差小于为标准正态分布中离差小于d的概率的概率nT为期权到期时间为期权到期时间n为股票连续复利的年收益率的标准差为股票连续复利的年收益率的标准差公式公式12024/8/2625Black-Scholes Pricing Formula 布莱克布莱克舒尔斯定价公式舒
32、尔斯定价公式期权价格并不取决于股票的期望收益率期权价格并不取决于股票的期望收益率公式公式1 1中已经包含了股票价格的信息，而股票的价格与股票的风险中已经包含了股票价格的信息，而股票的价格与股票的风险特性有关特性有关把把N（d）部分看作看涨期权在到期处于实值状态的风险调整概率部分看作看涨期权在到期处于实值状态的风险调整概率如果两个如果两个N（d）均为均为1，看涨期权被执行的可能性很高，看涨期权的，看涨期权被执行的可能性很高，看涨期权的价值为价值为S0Xe rT，即调整后的内在价值，即调整后的内在价值S0PV（X） 如果如果N（d）趋于趋于0，意味着期权不会被执行，看涨期权的价值为，意味着期权不会
33、被执行，看涨期权的价值为0公式公式1 1告诉我们，可把看涨期权价值看作是经过到期时处于实值的告诉我们，可把看涨期权价值看作是经过到期时处于实值的概率调整后潜在未来收益的现值概率调整后潜在未来收益的现值ln(S0/X)近似表示期权现在实值或虚值的百分比近似表示期权现在实值或虚值的百分比分母分母T0.5 ，即即用股票价格在剩余期限中的标准差对期权的实值或用股票价格在剩余期限中的标准差对期权的实值或虚值的百分比进行调整虚值的百分比进行调整如果股价变动很小，并且距到期时间也所剩无几的时候，给定比如果股价变动很小，并且距到期时间也所剩无几的时候，给定比例的实值期权一般会保持原实值状态，因此，例的实值期权
34、一般会保持原实值状态，因此，N（d1）、）、 N（d2）代表期权到期时处于实值的概率代表期权到期时处于实值的概率该公式仅适用于欧式期权该公式仅适用于欧式期权2024/8/2626Black-Scholes Pricing Formula 布莱克布莱克舒尔斯定价公式舒尔斯定价公式应用应用已知条件如下：已知条件如下：n股票价格股票价格S0=100美元美元，利率，利率r=10%，执行价格，执行价格X=95美元美元，期权期限，期权期限T=0.25（三个月），标准差（三个月），标准差=0.50（每年（每年50%）首先计算：首先计算：d1=ln(100/95)+(0.10+0.502/2) 0.25/(0.500.250.5) = 0.4301731776d2=0.43017317760.500.250.5 = 0.1801731776接着查表求接着查表求N(d1)、 N(d2)N(0.4301731776) = 0.6664N(0.1801731776) = 0.5714最后可计算出看涨期权的价值为最后可计算出看涨期权的价值为nC=1000.6664 95e 0.100.25 0.5714 = 13.69725205美元美元应用应用用用ExcelExcel表格计算表格计算2024/8/2627
