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1、第一章第一章 数列数列1 1 数列数列1.1 1.1 数列的概念数列的概念 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数数. .比如他们研究过，比如他们研究过，10,10,由于这些数可以用上图中所示的三角形点阵表示，他由于这些数可以用上图中所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数们就将其称为三角形数. . 1 13 36 610101 14 49 91616类似地，类似地，1 1，4 4，9 9，16,16,被称为正方形数，因为这些被称为正方形数，因为这
2、些数能够表示成正方形数能够表示成正方形. .仔细观察仔细观察, ,你你能发现这些数能发现这些数的规律吗的规律吗? ?我们今天就来学习有关知识我们今天就来学习有关知识数列！数列！1.1.了解数列、通项公式的概念，能根据通项公式了解数列、通项公式的概念，能根据通项公式确定数列的某一项确定数列的某一项. . ( (重点）重点）2.2.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. . ( (难点）难点）（1 1）一个工厂把所生产的钢管堆成下图的形状）一个工厂把所生产的钢管堆成下图的形状. .从从最上面的一排起，各排钢管的数量依次是最上面的一排起，各排钢管的数量依次
3、是请看下面几个例子请看下面几个例子探究点探究点1 1 数列的概念数列的概念（2 2）GDPGDP为国内生产总值为国内生产总值. .分析各年分析各年GDPGDP数据，找出数据，找出增长规律，是国家制定国民经济发展计划的重要依增长规律，是国家制定国民经济发展计划的重要依据据. .根据中华人民共和国根据中华人民共和国20022002年国民经济和社会发年国民经济和社会发展统计公报，我国（展统计公报，我国（1998199820022002年年) )这五年这五年GDPGDP值值（亿元）依次排列如下：（亿元）依次排列如下：78 345,82 067,89 442,95 933,102 398.78 345,
4、82 067,89 442,95 933,102 398.3,4,5,6,7,8,9.3,4,5,6,7,8,9.（3 3）“人人口口问问题题”是是我我国国最最大大的的社社会会问问题题之之一一，对对人人口口数数量量的的估估计计和和发发展展趋趋势势的的预预测测是是我我们们制制定定一一系系列列相相关关政政策策的的基基础础. .新新中中国国成成立立后后，我我国国已已进进行行了了五五次次全全国国人人口口普普查查，历历次次全全国国人人口口普普查查公公报报数数据据资资料料见下表：见下表：年份年份1953195319641964198219821990199020002000人口数人口数/ /百万百万601
5、.93601.93723.07723.071 031.881 031.881 160.021 160.021 295.331 295.33五次普查人口数量（百万）依次排列为：五次普查人口数量（百万）依次排列为：601.93,723.07,1 031.88,1 160.02,1 295.33601.93,723.07,1 031.88,1 160.02,1 295.33（4 4）正弦函数）正弦函数y=sin xy=sin x的图像在的图像在y y轴左侧所有最轴左侧所有最低点从右向左，它们的横坐标依次排成一列数低点从右向左，它们的横坐标依次排成一列数（5 5）正奇数）正奇数1,3,5,71,3,5
6、,7，的倒数排成一列数的倒数排成一列数（6 6）某人）某人20142014年年1 11212月工资，按月顺序排列为月工资，按月顺序排列为2 100,2 2 100,2 100,2100,2 100 100， ，2 1002 100 思考：思考：由上面几个例子，你是否能归纳出数列的定由上面几个例子，你是否能归纳出数列的定义呢？义呢？提示：提示：一般地，按一定次序排列的一列数叫作一般地，按一定次序排列的一列数叫作_，数列中的每一个数叫作这个数列的项数列中的每一个数叫作这个数列的项. .数列一般形式数列一般形式可以写成可以写成_简记为数列简记为数列 ，其中数列的第，其中数列的第1 1项项 也称也称_
7、； 是数列的第是数列的第n n项，也叫数列的项，也叫数列的_._.数列数列首项首项通项通项概念！概念！ 像数列像数列，这样的项数有限的数这样的项数有限的数列，称为列，称为_；像数列；像数列，这样的项数无这样的项数无限的数列，称为限的数列，称为_._. 如数列如数列中，首项中，首项 ；第；第1010项项 ；第第n n项（通项）项（通项） . .有穷数列有穷数列无穷数列无穷数列数列的常见分类思考：思考：数列与数集是同一概念吗？数列与数集是同一概念吗？提示：提示：数列与数集是截然不同的两个概念，集合中元数列与数集是截然不同的两个概念，集合中元素有三条性质：确定性、互异性和无序性，而数列中素有三条性质
8、：确定性、互异性和无序性，而数列中的数是的数是“按一定顺序排列按一定顺序排列”的的. .由此可见，如果组成由此可见，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列同的数列. .如数列如数列2 2，4 4，6 6，8 8，1010与数列与数列10,8,6,4,210,8,6,4,2是不同的数列，而集合是不同的数列，而集合2,4,6,8,102,4,6,8,10与集合与集合10,8,6,4,210,8,6,4,2是同一集合，也就是说，理解数列的概是同一集合，也就是说，理解数列的概念，关键是理解念，关键是理解“按一定顺序排列按一定顺序排列
9、”的含义的含义. .B BA A【即时训练即时训练】序号序号 1 1， 2 2， 3 3， 4 4， n,n,项项 1 1， 在数列在数列中，每一项的序号中，每一项的序号n n与这一项与这一项 有下有下面的对应关系：面的对应关系：探究点探究点2 2 数列的通项概念数列的通项概念 可以看出，这个数列的每一项的序号可以看出，这个数列的每一项的序号n n与这一与这一项项 的对应关系可用如下公式表示：的对应关系可用如下公式表示： 这样，只要依次用序号这样，只要依次用序号1,2,31,2,3，代替公式中代替公式中的的n n，就可以求出该数列相应的项，就可以求出该数列相应的项. .序号序号1 12 23
10、34 4n n项项 实际上，对任意数列实际上，对任意数列 ，其每一项的序号，其每一项的序号与该项都有对应关系，见下表与该项都有对应关系，见下表. 因此数列也可以看作定义域为正整数集因此数列也可以看作定义域为正整数集N N+ +( (或它的有或它的有限子集限子集) )的函数，当自变量从小到大依次取值时，的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列该函数对应的一列函数值就是这个数列. . 数列数列的一个通项公式是的一个通项公式是例如，数列例如，数列的一个通项公式是的一个通项公式是 如果数列如果数列 的第的第n n项项 与与n n之间的函数关系可之间的函数关系可以用以用_表
11、示成表示成 ，那么这个式子就，那么这个式子就叫作这个数列的叫作这个数列的_，数列的通项公式就是，数列的通项公式就是相应函数的解析式相应函数的解析式. .一个式子一个式子通项公式通项公式观察以下数列，并写出其通项公式：观察以下数列，并写出其通项公式：【即时训练即时训练】思考思考1.1.是不是所有的数列都有通项公式？是不是所有的数列都有通项公式？提示：提示：不是，数列的通项公式实际是相应的函数不是，数列的通项公式实际是相应的函数解析式，如果数列的项与项数之间没有固定的关解析式，如果数列的项与项数之间没有固定的关系，则该数列就没有通项公式系，则该数列就没有通项公式, ,如上面的数列如上面的数列就没有
12、通项公式就没有通项公式. .思考思考2.2.根据前几项求数列的通项公式，是不是唯根据前几项求数列的通项公式，是不是唯一？一？提示：提示：不一定，根据数列的前几项，不能唯一确定不一定，根据数列的前几项，不能唯一确定数列的通项公式，如数列数列的通项公式，如数列 的通项公式可的通项公式可以为：以为： 1 1，n n为奇数为奇数, , 0 0，n n为偶数为偶数, ,a an n= =或者或者a an n=|sin |.=|sin |.例例1.1.根据下面的通项公式，分别写出数列的前根据下面的通项公式，分别写出数列的前5 5项项. .解解: :（1 1）在通项公式中依次取）在通项公式中依次取n =1,
13、2,3,4,5,=1,2,3,4,5,得到数列得到数列 的前的前5 5项为项为（2 2）在通项公式中依次取）在通项公式中依次取n =1,2,3,4,5,=1,2,3,4,5,得到数列得到数列 的前的前5 5项为项为【变式练习变式练习】根据下面的通项公式，分别写出数列的前根据下面的通项公式，分别写出数列的前5 5项项. .解解: :（1 1）在通项公式中依次取）在通项公式中依次取n n =1,2,3,4,5,=1,2,3,4,5,得到数得到数列的前列的前5 5项为项为-1-1，2 2，-3-3，4 4，-5.-5.（2 2）在通项公式中依次取）在通项公式中依次取n n =1,2,3,4,5,=1
14、,2,3,4,5,得到数得到数列的前列的前5 5项为项为；. .例例2.2.写出下面数列的一个通项公式写出下面数列的一个通项公式. .（1 1）3,5,7,93,5,7,9， （2 2）1,2,4,81,2,4,8，（3 3）9,99,999,9 9999,99,999,9 999，解解: :（1 1）观察知，这个数列的前）观察知，这个数列的前4 4项都是序号的项都是序号的2 2倍加倍加1 1，所以它的一个通项公式为，所以它的一个通项公式为（2 2）这个数列的前）这个数列的前4 4项可以写成项可以写成2 20 0,2,21 1,2,22 2,2,23 3，所，所以它的一个通项公式为以它的一个通
15、项公式为（3 3）这个数列的前）这个数列的前4 4项可以写成项可以写成10-1,100-1,1 000-1,10-1,100-1,1 000-1,10 000-110 000-1，所以它的一个通项公式为，所以它的一个通项公式为写出下面数列的一个通项公式写出下面数列的一个通项公式. .【变式练习变式练习】(1) - -1, , - - , , - - , ,;3436321315(2) 7, 77, 777, 7777,; (3)【解析解析】(1)(1) (2)(2) (3)(3)an=(- -1)n 2+(- -1)nnan= (10n- -1)79an=2n (2n- -1)(2n+1)据所
16、给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的特征；分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征并对此进行联想、各项的符号特征和绝对值特征并对此进行联想、转化、归纳转化、归纳【提升总结提升总结】CBD【特别提醒特别提醒】回顾本节课的收获回顾本节课的收获数列的概念数列的概念数列的概念数列的概念注意与函数、集合进行比较注意与函数、集合进行比较数列通项公式的求法数列通项公式的求法观察分析法观察分析法做事，不是人家要我做才做，而是人家没要我做也争着去做.这样才做得有趣味，也就会有收获. 谢觉哉
