数学图形变换复习

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1、 图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折，图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折，图形在运动的过程中，对应线段、对应角的大图形在运动的过程中，对应线段、对应角的大小不变小不变 图形在平移的过程中，对应点的连线平行图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等图形在旋转的过程中，对应线段的夹且相等图形在旋转的过程中，对应线段的夹角相等，这个夹角就是旋转角图形在翻折前角相等，这个夹角就是旋转角图形在翻折前后，对应点的连线的垂直平分线就是对称轴后，对应点的连线的垂直平分线就是对称轴知识梳理知识梳理 图形的运动是近几年新课程考试的热点问题，常见图形的运动是近几年新课程考试的热点问题，常见的题型有：的题型有：一

2、、判断题这类题目主要考察中心对称图形、轴对一、判断题这类题目主要考察中心对称图形、轴对称图形的概念称图形的概念 【例例1】 从一副扑克牌中抽出如下四从一副扑克牌中抽出如下四张牌，牌，其中是中心其中是中心对称称图形的有（形的有（ ）A.1张； B.2张； C.3张 ； D.4张B【例例2】下列下列图形中，只有一条形中，只有一条对称称轴的是（的是（ ） A B C D【例例3】下列下列图形中，是形中，是轴对称称图形的形的为（ ） A B C DCD【例例4】下面的希腊字母中下面的希腊字母中, 是轴对称图形的是（是轴对称图形的是（ ） A B C D【例例5】下列图形中，是中心对称图形的是（下列图形

3、中，是中心对称图形的是（ ） A.菱形；菱形； B.等腰梯形；等腰梯形； C.等边三角形；等边三角形； D.等腰直角三角形等腰直角三角形【例例6】将叶片将叶片图案旋案旋转1801800 0后，得到的后，得到的图形是形是( )( )DAD二、计算题解答这类题目，关键是寻找图形在运动过二、计算题解答这类题目，关键是寻找图形在运动过程中的等量线段和相等的角程中的等量线段和相等的角 【例例7】如如图，如果直，如果直线m是多是多边形形ABCDE的的对称称轴，其中其中A=130=1300 0，B=110=1100 0那么那么BCDBCD的度数等于（）的度数等于（） A. 40. 400 0 ；B.50.5

4、00 0；C60600 0；D.70.700 0. .解析 对称轴把五边形分成了两个全等的四边形，再根据四边形的内角和等于3600，可以算得BCD2 300600选C【例例8】将一矩形将一矩形纸片按如片按如图方式折叠，方式折叠，BC、BD为折痕，折痕，折叠后折叠后在同一条直在同一条直线上，上，则CBD的的度数（度数（ ） A. 大于大于90； B.等于等于90； C. 小于小于90； D.不能确定不能确定解析 由轴对称图形的对应角相等，知ABCABC，EBDEBD，所以CBD90选B【例例9】如如图，将矩形，将矩形纸片片ABCD沿沿AE折叠，使点折叠，使点B落在落在直角梯形直角梯形AECD的中

5、位的中位线FG上，若上，若AB= ,则AE的的长为( )( ) ； B. 3 B. 3 ； C. 2 C. 2 ； D.D. A、解析 由轴对称图形的对应边相等，知ABAB；由垂直平分线的性质，知BBAB因此ABB是等边三角形，AE2选C【例例10】如图，设如图，设M、N分别是直角梯形分别是直角梯形ABCD两腰两腰AD、BC的中点，的中点，DEAB于点于点E，将，将ADE沿沿DE翻折，翻折，M与与N恰好重合，则恰好重合，则AE BE等于等于( )A2 1； B1 2； C3 2 ； D2 3【例例11】在在RtABC中，斜中，斜边AB=4=4，B=60=60，将，将ABC绕点点B旋旋转6060

6、，顶点点C运运动的路的路线长是（是（ ） 解析解析 RtABC绕点点B旋旋转6060的的过程，程，线段段BC扫过的的图形是一个形是一个圆心角心角为6060、半径、半径为2 2的扇形，点的扇形，点C运运动的路的路线就是一条弧，弧就是一条弧，弧长为选B 【例例12】如如图直角梯形直角梯形ABCD中，中，ADBC，ABBC，AD2，BC3，将腰，将腰CD以以D为中心逆中心逆时针旋旋转90至至E，连AE、DE，则ADE的面的面积是（是（ ） A1 ； B2； C3； D不能确定不能确定解析 已知ADE的底AD，从探求AD边的高入手设法解决问题过点D作DFBC于F，则FC=1将DFC绕点D逆时针旋转90

7、得DEG，那么AD边的高EG=1选A【例例13】如如图，将，将ABC绕点点A顺时针旋旋转60后，后，得到得到ABC，且，且C为BC的中点，的中点，则CD D B等于等于（ ） A、B、C、D、解析 判断ABC的特征是解决这个题的关键由旋转图形的性质很容易判断ACC是等边三角形，进而判断ABC是30角的直角三角形，那么ABBC选D【例例14】如图，如图，P是正三角形是正三角形 ABC 内的一点，且内的一点，且PA6，PB8，PC10若将若将PAC绕点绕点A逆时针旋逆时针旋转后，得到转后，得到PAB ，则点，则点P与点与点P 之间的距离为之间的距离为_，APB_。解析解析 这是一道典型题，第一个填

8、这是一道典型题，第一个填空为解答第二个填空作了暗示由空为解答第二个填空作了暗示由旋转图形的性质很容易判断旋转图形的性质很容易判断APP是等边三角形，由勾股定理的逆定是等边三角形，由勾股定理的逆定理可以判定理可以判定BPP是直角三角形，是直角三角形，因此因此APB150三、画图题这是考察概念难度较高的题目，不仅要理三、画图题这是考察概念难度较高的题目，不仅要理解概念，还要根据概念动手画图解概念，还要根据概念动手画图 【例例15】在中国的园林建筑中，很多建筑在中国的园林建筑中，很多建筑图形具有形具有对称称性如性如图是一个破是一个破损花窗的花窗的图形，形，请把它把它补画成中心画成中心对称称图形形解析

9、解析 这个图形既是中心对这个图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，称图形，也是轴对称图形，一般情况下学生不会画错，一般情况下学生不会画错，体现了命题的人性化，但是体现了命题的人性化，但是在不用尺规随意用手画的情在不用尺规随意用手画的情况下是要扣分的况下是要扣分的【例例16】如图，如图，88方格纸上的两条对称轴方格纸上的两条对称轴EF、MN相交于中心点相交于中心点O，对，对ABC分别作下列变换：分别作下列变换： 先以点先以点A为中心顺时针方向旋转为中心顺时针方向旋转90，再向右平移，再向右平移4格、向上格、向上 平移平移4格；格； 先以点先以点O为中心作中心对称图形，再以点为中心作中心对称图形，

10、再以点A的对应点为中心的对应点为中心逆时针方向旋转逆时针方向旋转90； 先以直线先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转的对应点为中心顺时针方向旋转90其中，能将其中，能将ABC变换成变换成PQR的是（）的是（）（A） ; （B） ; （C）；（；（D）解析解析 这道题目含而不笑，不要求这道题目含而不笑，不要求画图但是画图的每一个过程都要在脑画图但是画图的每一个过程都要在脑海里显现选海里显现选D四、探究图形运动过程中的等量关系四、探究图形运动过程中的等量关系图2EABDGFOMNC图3ABDGEFOMNC图1A(

11、G )B( E )COD( F )【例例17】如如图1，一等腰直角三角尺，一等腰直角三角尺GEF的两条直角的两条直角边与正方形与正方形ABCD的两条的两条边分分别重合在一起重合在一起现正方形正方形ABCD保持不保持不动，将三，将三角尺角尺GEF绕斜斜边EF的中点的中点O（点（点O也是也是BD中点）按中点）按顺时针方向旋方向旋转（1）如）如图2，当，当EF与与AB相交于点相交于点M，GF与与BD相交于点相交于点N时，通，通过观察或察或测量量BM、FN的的长度，猜想度，猜想BM、FN满足的数量关系，足的数量关系，并并证明你的猜想；明你的猜想；（2）若）若三角尺三角尺GEF旋旋转到如到如图3所示的位

12、置所示的位置时，线段段FE的延的延长线与与AB的延的延长线相交于点相交于点M，线段段BD的延的延长线与与GF的延的延长线相相交于点交于点N，此，此时，（，（1）中的猜想）中的猜想还成立成立吗？若成立，？若成立，请证明；若明；若不成立，不成立，请说明理由明理由解析解析 从图从图1到图到图2到图到图3，不变的是，不变的是OE=OF=OB=OD和和45的角，变化的是因图形的位置关系而导致的的角，变化的是因图形的位置关系而导致的OBM与与OFN的度数不同，在图的度数不同，在图2中，中，OBMOFN 45，在图，在图3中，中，OBMOFN 135总之，总之，OBMOFN的性质不变，全等三角形的对的性质不

13、变，全等三角形的对应边应边BM=FN 五、因图形的运动而产生的函数关系问题五、因图形的运动而产生的函数关系问题【例例18】如图如图1所示，一张三角形纸片所示，一张三角形纸片ABC，ACB=900 ，AC=8，BC=6，沿斜边，沿斜边AB的中线的中线CD把这张纸片剪成把这张纸片剪成AC1D1和和BC2D2两个三角形，如图两个三角形，如图2所示，将纸片所示，将纸片AC1D1沿直线沿直线D2B（AB）方向平移（点）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一条直线上），始终在同一条直线上），当点当点D1与点与点B重合时，停止平移，在平移过程中，重合时，停止平移，在平移过程中，C1D1与与BC2交于交于点

14、点E，AC1与与C2D2、BC2分别交于点分别交于点F、P。（1）当）当AC1D1平移到如图平移到如图3所示的位置时，猜想图中的所示的位置时，猜想图中的D1E与与D2F的数量关系，并证明你的猜想。的数量关系，并证明你的猜想。 图1 图2 图3解析：图形在运动的过程中，对应线段平行且相等，对应点的连线平行且相等。在图形3中C1D1与C2D2始终平行且相等，AC1与BC2保持垂直关系，AD1=BD2=C1D1=C2D2=5，因此AD2=BD1，AC1D1AFD2，BC2D2BED1，APBACB（1）= 五、因图形的运动而产生的函数关系问题五、因图形的运动而产生的函数关系问题【例例18】如图如图1

15、所示，一张三角形纸片所示，一张三角形纸片ABC，ACB=900 ，AC=8，BC=6，沿斜边，沿斜边AB的中线的中线CD把这张纸片剪成把这张纸片剪成AC1D1和和BC2D2两个三角形，如图两个三角形，如图2所示，将纸片所示，将纸片AC1D1沿直线沿直线D2B（AB）方向平移（点）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一条直线上），始终在同一条直线上），当点当点D1与点与点B重合时，停止平移，在平移过程中，重合时，停止平移，在平移过程中，C1D1与与BC2交于交于点点E，AC1与与C2D2、BC2分别交于点分别交于点F、P。（2）设平移距离）设平移距离D2D1为为x，AC1D1与与BC2D2重叠

16、部分面积为重叠部分面积为y，请写出，请写出y与与x的函数关系式，以及自变量的取值范围的函数关系式，以及自变量的取值范围 图1 图2 图3 五、因图形的运动而产生的函数关系问题五、因图形的运动而产生的函数关系问题【例例18】如图如图1所示，一张三角形纸片所示，一张三角形纸片ABC，ACB=900 ，AC=8，BC=6，沿斜边，沿斜边AB的中线的中线CD把这张纸片剪成把这张纸片剪成AC1D1和和BC2D2两个三角形，如图两个三角形，如图2所示，将纸片所示，将纸片AC1D1沿直线沿直线D2B（AB）方向平移（点）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一条直线上），始终在同一条直线上），当点当点D1与

17、点与点B重合时，停止平移，在平移过程中，重合时，停止平移，在平移过程中，C1D1与与BC2交于交于点点E，AC1与与C2D2、BC2分别交于点分别交于点F、P。（）对于（）的结论是否存在这样的（）对于（）的结论是否存在这样的x的值，使得重叠部分的的值，使得重叠部分的面积等于面积等于面积的面积的/；若不存在，请说明理由。；若不存在，请说明理由。 图1 图2 图3例例19将一矩形纸片将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中放在直角坐标系中,O为原点为原点,C在在x轴上轴上,OA=6,OC=10.（1）如图）如图1，在，在OA上取一点上取一点E，将，将EOC沿沿EC折叠，使折叠，使O落在落在AB边上的边

18、上的D点，求点，求E点的坐标。点的坐标。图1分析；图分析；图1的特殊性是矩形纸片折叠时的折痕过点的特殊性是矩形纸片折叠时的折痕过点C 例例19将一矩形纸片将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中放在直角坐标系中,O为原点为原点,C在在x轴上轴上,OA=6,OC=10.（2）如图）如图2，在，在OA、OC边上选取适当的点边上选取适当的点E/、F，将，将E/OF沿沿E/F折叠，使折叠，使O点落在点落在AB边上的边上的D/点，过点，过D/作作D/GAO交交E/F于于T点，交点，交OC于于G点，求点，求TG=AE/OAE/FD/GTCBXy图2图图2的一般性是矩形纸片折叠时的折痕过线的一般性是矩形纸片折叠

19、时的折痕过线段段OC上的一点，上的一点， （3）在（）在（2）的条件下设）的条件下设T（x,y），探求），探求y与与x之间的函数关之间的函数关系式，并指出自变量系式，并指出自变量x的取值范围的取值范围例例19将一矩形纸片将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中放在直角坐标系中,O为原点为原点,C在在x轴上轴上,OA=6,OC=10.（2）如图）如图2，在，在OA、OC边上选取适当的点边上选取适当的点E/、F，将，将E/OF沿沿E/F折叠，使折叠，使O点落在点落在AB边上的边上的D/点，过点，过D/作作D/GAO交交E/F于于T点，交点，交OC于于G点，求点，求TG=AE/OAE/FD/GTCBXy

20、图2D/E/FGOyxCBT(4)如图如图3,如果将矩形如果将矩形OABC变为平行四边形变为平行四边形OABC,使使OC=10,OC边上的高等于边上的高等于6,其它条件不变其它条件不变,探求探求:这时这时T(x,y)的坐的坐标标y与与x之间是否仍然满足之间是否仍然满足(3)中所得的函数关系中所得的函数关系,若满足若满足,请说明请说明理由理由;若不满足若不满足,写出你认为正确的函数关系式写出你认为正确的函数关系式.A图3六、和图形的运动相关的问题【例例21】已知抛物线已知抛物线y=ax2+bx+c与与y轴交于点轴交于点A(0，3)，与，与x轴分轴分别交于别交于B(1，0)、C(5，0)两点两点（

21、1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2）若点）若点D为线段为线段OA的一个三等分点，求直线的一个三等分点，求直线DC的解析式；的解析式；（3）若一个动点）若一个动点P自自OA的中点的中点M出发，先到达出发，先到达x轴上的某点轴上的某点(设设为点为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点设为点F)，最后运动到点，最后运动到点A求使点求使点P运动的总路径最短的点运动的总路径最短的点E、点、点F的坐标，并求出这个最的坐标，并求出这个最短总路径的长短总路径的长次碰壁后，恰好经过点A，求台球经过的路径如图，设点M关于 x轴对称的点称的点为M，点点A关于抛关于抛物物线的的对称称轴对称的点称的点为A，连结MA，则MA的的长为MEEFFA的最小的最小值解析 这是一道由轴对称的典型例题改编的“台球两次碰壁问题” ；台球由点M击出，经过x轴、抛物线的对称轴两例例22】如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB=2AD，线段，线段EF=10.在在EF上取一点上取一点M，分别以，分别以EM、MF为一边作矩形为一边作矩形EMNH、矩形、矩形MFGN，使矩形，使矩形MFGN矩形矩形ABCD.令令MN=X,当当 x为何值时，矩形为何值时，矩形EMNH的面积的面积S有最大值？最大值是多少？有最大值？最大值是多少？