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1、3.3（1） 基本不等式基本不等式（2）基本不等式的最大值与最小值基本不等式的最大值与最小值对于任意实数对于任意实数x, ,y,(,(x- -y) )2 200总是成立的总是成立的, ,即即x2 2 -2xy+y2 2 00所以所以 , ,当且仅当当且仅当x=y 时等号成立时等号成立 如果如果a, ,b都是正数，那么都是正数，那么 , ,当且仅当当且仅当a=b时时,等号成立等号成立.设设 则由这个不等式可得出以则由这个不等式可得出以下结论下结论:一一.基本不等式基本不等式注意：1这个定理适用的范围： 2语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。上述不等式称为基本不等式,其中 称为a
2、,b的算术平均数, 称为a,b的几何平均数.对基本不等式的几何解释:以a+b为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DEAB,则 从而,而半径当且仅当C与O重合,即a=b时等号成立ADBEOCab其中正确的推导为()ABCD例例1例例2 已知x、y都是正数，求证：(1)(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.2；1不不等等式式m212m中中等等号号成成立立的的条条件件是是()Am1 Bm1Cm1 Dm02已知已知a，b R，且，且ab2，则()Aab4 Bab4Cab1 Dab1练习练习 已已知知两两个个正正数数x，y，求求x+y与与积积xy的的最值最值. (1)xy为定值为定值p，
3、那么当，那么当xy时，时，x+y有最小值有最小值 _ ； (2)x+y为定值为定值s，那么当，那么当xy时，时， 积积xy有最大值有最大值 _ . 积定和小积定和小和定积大和定积大二二.基本不等式的最大值与最小值基本不等式的最大值与最小值例例3.下列函数中，最小值为下列函数中，最小值为2的有的有那些那些? (1) (2)(3)(4) (5) (6)变式变式. 已知已知 证明：证明： 例例4. 设设x, y为正实数，且为正实数，且2x+5y=20，求，求 的最大值的最大值.想一想想一想:错在哪里？错在哪里？例例5.已知函数已知函数 ，求函数的最，求函数的最小值和此时小值和此时x的取值的取值运用均
4、值不等式的过程中，忽略了运用均值不等式的过程中，忽略了“正数正数”这个条件这个条件1已知函数，求函已知函数，求函数的最小值数的最小值用均值不等式求最值，必须满足用均值不等式求最值，必须满足“定值定值”这个条件这个条件练习练习 用均值不等式求最值用均值不等式求最值,必须注意必须注意 “相等相等” 的条的条件件.如果取等的条件不成立如果取等的条件不成立,则不能取到该最值，那则不能取到该最值，那么用什么方法求最小值么用什么方法求最小值正：正：两项必须都是正数；两项必须都是正数； 定：定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。求两
5、项积的最大值，它们的和应为定值。等等 ： 等号成立的条件必须存在等号成立的条件必须存在. 注注意意:在在使使用用“和和为为常常数数，积积有有最最大大值值”和和“积积为为常常数数，和和有有最最小小值值”这这两两个个结结论论时时，应应把把握握三三点点：“一一正正、二二定定、三三相相等等、四四最最值值”.当条件不完全具备时，应创造条件当条件不完全具备时，应创造条件. 例例4 4：设a,b均为正数,证明不等式: 注：变换形式再证对这一不等式的几何解释:以a+b为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DDAB,过C作CEOD于E,则在RtOCD中,由射影定理可知, 即ABDDCab由DCDE,得当且仅
6、当C与O重合,即a=b时,等号成立OE例例5 5：设a,b均为正数,证明不等式: 对这一不等式的几何解释:课本p89思考交流注：注：1.采用放缩法证明，证明思想很重要。采用放缩法证明，证明思想很重要。 2.在放缩时不能过度放缩，也不能放缩不足在放缩时不能过度放缩，也不能放缩不足2.理解四个理解四个“平均数平均数”的大小关系；的大小关系；a，bR+，则则 其中当且仅当其中当且仅当ab时取等号时取等号.三三.基本不等式链基本不等式链调和平均数调和平均数几何平均数几何平均数算术平均数算术平均数 加权平均加权平均数或平方数或平方平均数平均数(1)已知已知:x0,y0.且且2x+5y=20,求求 xy的
7、最大值的最大值.方法方法1:基本不等式法基本不等式法方法方法2:减元构造函数减元构造函数构造法构造法下面请大家来研究下列几个问题下面请大家来研究下列几个问题:(3)y=2x ,(0x1), 求求y的最大值的最大值(4)已知已知a、b是正数是正数 ，且，且a2+ =1，求求a 的最大值的最大值.(2)已知已知a、b是实数，且是实数，且a+b=4, 求求2a+2b的最小值的最小值当且仅当当且仅当a=b=2时时,2a+2b取得最小值取得最小值8.1 1变形变形: :函数函数 的最小值的最小值 是是(4) 已知，则函数已知，则函数 的最大值是的最大值是练习练习:求函数求函数 的最大值；的最大值；用代换法构造基本不等式用代换法构造基本不等式方法方法1方法方法2解题心得解题心得:根式的问题可以平方转化根式的问题可以平方转化.注意一题多解注意一题多解.方法方法1:利用基本不等式利用基本不等式根式根式:利用平方转化利用平方转化方法方法2:求二次函数定区间上的最值求二次函数定区间上的最值应用均值不等式时要注意应用均值不等式时要注意 “一正、二定、三相等一正、二定、三相等”综合法综合法分析法分析法问题：是否积或和为定值时，就一定可以求最值？下面运算是否正确下面运算是否正确?1.证明:如果 ,那么 证明:
