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1、西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制第二章作业：第二章作业：2.9, 2.15, 2.16要求：要求：1） 2.9, 2.16采用手算采用手算2）2.15采用采用MATLAB处理。要求给出处理。要求给出 源程序以及上机实验结果源程序以及上机实验结果3）作业上交时间：下周二）作业上交时间：下周二参考资料：参考资料：谷源涛，应启珩，郑君里谷源涛，应启珩，郑君里. 信号与系统信号与系统-MATLAB综合实验综合实验.高等教育出版社，高等教育出版社，2008.西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制解：根据式解：根据式(2.26)有有
2、 例例3 求周期矩形脉冲的频谱，设周期矩形脉冲的周求周期矩形脉冲的频谱，设周期矩形脉冲的周期为期为 ，脉冲宽度为，脉冲宽度为 ，如图所示。，如图所示。 2.3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制(2.36)(2.38)(2.39)(2.37)定义定义 则式（则式（2.36）变为）变为可得到周期矩形脉冲信号的傅里叶级数展开式为可得到周期矩形脉冲信号的傅里叶级数展开式为由于由于 ，代入上式得，代入上式得2.3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制图图
3、2.17 周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱2.3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制通通常常将将 这这段段频频率率范范围围称称周周期期矩矩形形脉脉冲冲信号的带宽，用符号信号的带宽，用符号 表示：表示： (2.40) 考虑当周期矩形脉冲信号的周期和脉宽改变时它考虑当周期矩形脉冲信号的周期和脉宽改变时它们的频谱变化的情形。们的频谱变化的情形。2.3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制图图2.18 信号脉冲宽度与频谱的关系信号脉冲宽度与频谱的关系
4、 脉冲宽度愈窄，信号的带宽愈大，从而使得频带脉冲宽度愈窄，信号的带宽愈大，从而使得频带中包含的频率分量愈多。另外，当信号周期不变而脉中包含的频率分量愈多。另外，当信号周期不变而脉宽减小时，由式宽减小时，由式(2.39)(2.39)可知，信号频谱幅值也越小。可知，信号频谱幅值也越小。2.3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制信号的脉冲宽度相同而周期不同时，其频谱变化情形信号的脉冲宽度相同而周期不同时，其频谱变化情形 ：图图2.19 信号周期与频谱的关系信号周期与频谱的关系 周期愈大，信号周期愈大，信号谱线的间隔便愈小。谱
5、线的间隔便愈小。若周期无限增大，亦若周期无限增大，亦即趋于无限大，原来即趋于无限大，原来的周期信号变成非周的周期信号变成非周期信号此时，谱线期信号此时，谱线变得越来越密集，最变得越来越密集，最终谱线间隔趋近于零，终谱线间隔趋近于零，整个谱线便成为一条整个谱线便成为一条连续的频谱。由式连续的频谱。由式(2.39)可知，当周期可知，当周期增大而脉宽不变时，增大而脉宽不变时，各频率分量幅值相应各频率分量幅值相应变小。变小。2.3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制周期矩形脉冲信号特点周期矩形脉冲信号特点周期增大时，谱线变密，
6、幅度减小；周期增大时，谱线变密，幅度减小；脉宽减小时，带宽增加，幅度减小。脉宽减小时，带宽增加，幅度减小。周期周期脉宽（脉冲宽度）脉宽（脉冲宽度）带宽带宽谱线密度谱线密度幅度幅度决定决定2.3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析 西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制2.4 非周期信号的频域描述非周期信号的频域描述2.4.1 傅里叶变换傅里叶变换西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 设设 为为 区间上的一个周期函数。它区间上的一个周期函数。它可表达为傅里叶级数的形式可表达为傅里叶级数的形式(2-1)式中式中(2-2)将式将
7、式(2-2)代入式代入式(2-1)得得(2-3)2.4.1 傅里叶变换傅里叶变换西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 当当 时，区间时，区间 变成变成 ，频率，频率间隔间隔 变为变为无穷小量无穷小量，离散频率，离散频率 变成变成连续频率连续频率 。 由式由式(2-3)(2-3)得到得到(2-4)将式将式(2-4)(2-4)中括号中的积分记为：中括号中的积分记为：(2-5)它是变量它是变量 的函数。的函数。2.4.1 傅里叶变换傅里叶变换西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制则则(2-4)(2-4)式可写为：式可写为：(2-6
8、) 将将 称为称为 的傅里叶变换，而将的傅里叶变换，而将 称为称为 的逆傅里叶变换，记为：的逆傅里叶变换，记为：(2-7)2.4.1 傅里叶变换傅里叶变换西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制(2.8)(2.9)(2.10) 若将上述变换公式中的角频率若将上述变换公式中的角频率 用频率用频率 来替代，来替代，则由于则由于 ，式，式（2-5）和和（2-6）分别变为分别变为的的物理意义与物理意义与相同，仅单位不同。相同，仅单位不同。是复数，因而可以写成：是复数，因而可以写成： 从式从式(2.9)(2.9)可可知，知，一个非周期函一个非周期函数可分解成频率数可分解成
9、频率f f连续变化的谐波的连续变化的谐波的叠加叠加。式中。式中 是谐波是谐波 的系的系数，决定着信号的数，决定着信号的振幅和相位振幅和相位。2.4.1 傅里叶变换傅里叶变换西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制信号的幅值谱密度，相位谱密度，实谱密度，虚谱密度反映了信号的特定性质，利用各种不同谱图分析的信号的性质就称为谱分析“谱”是什么意思？“谱”就是符号，图形的意思。对什么的图形，符号？对频率的图形符号。2.4.1 傅里叶变换傅里叶变换(能量谱，有理谱能量谱，有理谱)西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制非周期函数非周期函数
10、存在有傅里叶变换的充要条件：存在有傅里叶变换的充要条件： 1 1）在区间）在区间 上绝对可积，即上绝对可积，即 2.4.1 傅里叶变换傅里叶变换2）为能量有限信号：）为能量有限信号：3）在）在满足狄里赫利条件满足狄里赫利条件西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制例例4 求图示单边指数函数的频谱。求图示单边指数函数的频谱。图图2.21 单边指数函数单边指数函数 解：由式解：由式(2.8)有有于是于是2.4.1 傅里叶变换傅里叶变换西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制幅频谱幅频谱相频谱相频谱图图2.22 单边指数函数的频谱单边指
11、数函数的频谱2.4.1 傅里叶变换傅里叶变换西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制例例5 图所示为一矩形脉冲图所示为一矩形脉冲(又称窗函数又称窗函数或门函数或门函数)，用符号，用符号 表示：表示：图图 矩形脉冲函数矩形脉冲函数(1)求该函数的频谱。求该函数的频谱。解：解：2.4.1 傅里叶变换傅里叶变换西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制图2.24 矩形脉冲函数的频谱其幅频谱和相频谱分别为其幅频谱和相频谱分别为 ：(2)(3) 可以看到，窗函数可以看到，窗函数 的频谱的频谱 是一个正或负的实数，正、负符号的变化相当于在相位上
12、是一个正或负的实数，正、负符号的变化相当于在相位上改变一个改变一个 弧度。弧度。(4) 矩形脉冲函数与矩形脉冲函数与sinc函数函数之间是一对之间是一对傅里叶变换对傅里叶变换对，若用，若用 表示矩形脉冲函数则有：表示矩形脉冲函数则有： 2.4.1 傅里叶变换傅里叶变换西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制2.4.2 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质线性线性尺度变换性尺度变换性 奇偶性奇偶性时移性时移性频移性（亦称调制性）频移性（亦称调制性）卷积卷积 时域微分和积分时域微分和积分 频域微分和积分频域微分和积分西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚
13、刚胥永刚制胥永刚制1. 1. 线性线性如果有如果有则则和和2.4.3 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质证明：根据傅里叶变换的定义进行证明证明：根据傅里叶变换的定义进行证明西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制例子：求下图波形的频谱例子：求下图波形的频谱+X1(f)X2(f)用线性叠加定理简化用线性叠加定理简化西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制2 2 时移性时移性如果有如果有则则例例 求下图所示矩形脉冲函数的频谱。求下图所示矩形脉冲函数的频谱。2.4.3 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永
14、永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 解：该函数的表达式可写为解：该函数的表达式可写为 可视为一个中心位于坐标原点的矩形脉冲时移至可视为一个中心位于坐标原点的矩形脉冲时移至 点位置所形成。点位置所形成。幅频谱和相频谱分别为幅频谱和相频谱分别为则则2.4.3 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制3. 频移性频移性(亦称调制性亦称调制性) 如果有如果有则则 常数。常数。 时间信号经过调制后的频谱等于将调制前原信号时间信号经过调制后的频谱等于将调制前原信号的频谱进行频移，使得原信号频谱的一半的中心位于的频谱进行频移，使得原信号频谱的一
15、半的中心位于 处，另一半位于处，另一半位于 处。处。2.4.3 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制图图2.33 的频谱的频谱 2.4.3 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质傅里叶变换的频移特性傅里叶变换的频移特性西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制4. 4. 时间比例特性（尺度变换性）时间比例特性（尺度变换性）如果有如果有则对于实常数则对于实常数 ，有，有 若信号若信号 在在时间轴上被压缩时间轴上被压缩至原信号的至原信号的 ，则其则其频谱函数在频率轴上将展宽频谱函数在频率轴上将展宽 倍，而其
16、幅值相应倍，而其幅值相应地减至原信号幅值的地减至原信号幅值的 。（尺度变换性或时频展缩。（尺度变换性或时频展缩性）性） 信号的持续时间与信号占有的频带宽成反比信号的持续时间与信号占有的频带宽成反比。 2.4.3 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制窗函数的尺度变换窗函数的尺度变换2.4.3 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制5. 5. 卷积卷积频域卷积频域卷积如果有如果有则则时域卷积时域卷积如果有如果有则则式中式中 表示表示 与与 的的卷积。卷积。2.4.3
17、 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制证明：（时域卷积证明：（时域卷积）根据卷积积分的定义有根据卷积积分的定义有其傅里叶变换为其傅里叶变换为由时移性知，由时移性知，代入上式得代入上式得2.4.3 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 卷积的图解卷积的图解 2.4.3 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制2.4.3 一些特殊函数的傅里叶变换一些特殊函数的傅里叶变换1. 单位脉冲函数单位脉冲函数
18、在在时间内激发有一矩形脉冲时间内激发有一矩形脉冲p(t)的幅值为的幅值为1/，面，面积为积为1。当。当0时，该矩形脉冲时，该矩形脉冲p(t)的极限便称为的极限便称为单位单位脉冲函数或脉冲函数或函数函数。性质：性质：(1)(2)西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制由由函数的两条性质式函数的两条性质式(2.96)和和(2.97) ，可得，可得其中其中x(t)在在t=t0时是连续的。时是连续的。 单位脉冲函数单位脉冲函数(t)的傅里叶变换的傅里叶变换 ：即：即：图图2.37 (t)及其傅里叶变换及其傅里叶变换 2.4.3 一些特殊函数的傅里叶变换一些特殊函数的傅里
19、叶变换西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制2 时移单位脉冲函数时移单位脉冲函数(t-t0)的傅里叶变换对：的傅里叶变换对： 3 常数常数1的傅里叶变换对：的傅里叶变换对： 2.4.3 一些特殊函数的傅里叶变换一些特殊函数的傅里叶变换西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制4 余弦函数余弦函数余弦函数的频谱：余弦函数的频谱：正弦函数的频谱：正弦函数的频谱：欧拉公式：欧拉公式：2.4.3 一些特殊函数的傅里叶变换一些特殊函数的傅里叶变换西华大学机械学院西华大学
20、机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制正余弦信号的傅里叶变换正余弦信号的傅里叶变换2.4.3 一些特殊函数的傅里叶变换一些特殊函数的傅里叶变换西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制5 周期函数周期函数 周期函数周期函数x(t)的傅里叶级数形式：的傅里叶级数形式： 一个周期函数的傅里叶变换由无穷多个位于一个周期函数的傅里叶变换由无穷多个位于x(t)各谐波频率上的单位脉冲函数组成各谐波频率上的单位脉冲函数组成。x(t)的傅立叶变换为：的傅立叶变换为：式中式中(a)2.4.3 一些特殊函数的傅里叶变换一些特殊函数的傅里叶变换西华大学机械学院西华大学机械学院
21、胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制例例 求单位脉冲序列求单位脉冲序列 的傅里叶变换的傅里叶变换解：将解：将x(t)表达为傅里叶级数的形式表达为傅里叶级数的形式 于是有于是有对式对式(b)两边作傅里叶变换得两边作傅里叶变换得 根据式根据式(a)可得可得 亦即亦即(b)西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制v一个周期脉冲序列的傅里叶变换仍为一个周期脉冲序列的傅里叶变换仍为(在频域中的在频域中的)一个周期脉冲序列一个周期脉冲序列。单个脉冲的强度为。单个脉冲的强度为0=2/T，且且各脉冲分别位于各谐波频率各脉冲分别位于各谐波频率n0=n2/T上，上，n=0, 1
22、, 2, 。图图 周期脉冲序列函数及其频谱周期脉冲序列函数及其频谱 西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制2.5 随机信号描述随机信号描述2.5.12.5.1概述概述2.5.2 2.5.2 随机过程的主要特征参数随机过程的主要特征参数2.5.3 2.5.3 功率谱分析功率谱分析2.5.42.5.4相关分析相关分析西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制2.5.1 概述概述 随机信号特点：随机信号特点：- - 具有不能被预测的瞬时值；具有不能被预测的瞬时值；- - 不能用解析的时域模型来加以描述；不能用解析的时域模型来加以描述；-
23、 - 能由它们的统计的和频谱的特性来加以表征。能由它们的统计的和频谱的特性来加以表征。西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 描述随机信号必须采用概率统计的方法：描述随机信号必须采用概率统计的方法： - - 样本函数：随机信号按时间历程所作的各样本函数：随机信号按时间历程所作的各次长时间的观察，记作次长时间的观察，记作 ； - - 样本记录：在有限时间区间上的样本函数。样本记录：在有限时间区间上的样本函数。 - - 随机过程：同一试验条件下的全部样本函随机过程：同一试验条件下的全部样本函数的集（总体），记为数的集（总体），记为 2.5.1 概述概述西华大学机械
24、学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制随机过程与样本函数随机过程与样本函数随机过程的随机过程的集集合平均合平均统计特统计特征不是沿某单征不是沿某单个样本计算，个样本计算，而是在集合中而是在集合中某时刻某时刻t 对所对所有样本函数的有样本函数的观测值取平均。观测值取平均。按单个样本的按单个样本的时间历程进行时间历程进行平均的计算称平均的计算称为为时间平均时间平均西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制-均值、均方值、方差、概率密度函数、概均值、均方值、方差、概率密度函数、概率分布函数和功率谱密度函数等。率分布函数和功率谱密度函数等。-均值：均
25、值：-均方值：均方值：对随机过程常用的统计特征参数：对随机过程常用的统计特征参数： 这些特征参数均是按照集平均来计算的，即在集这些特征参数均是按照集平均来计算的，即在集中的某个时刻对所有的样本函数的观测值取平均。中的某个时刻对所有的样本函数的观测值取平均。分类：分类：平稳随机过程；平稳随机过程； 非平稳过程。非平稳过程。2.5.1 概述概述西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 平稳随机过程平稳随机过程 ： 过程的统计特性不随时间的平移而变化、或者过程的统计特性不随时间的平移而变化、或者说不随时间原点的选取而变化的过程。说不随时间原点的选取而变化的过程。 2.
26、5.1 概述概述对于一个平稳随机过程，若它的任一单个样对于一个平稳随机过程，若它的任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集本函数的时间平均统计特征等于该过程的集平均统计特征，则该过程称为平均统计特征，则该过程称为各态历经过程各态历经过程。 工程中遇到的许多过程都可认为是平稳的；工程中遇到的许多过程都可认为是平稳的；其中的许多都具有各态历经性。其中的许多都具有各态历经性。西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 均值均值 表示信号的常值分量。表示信号的常值分量。2.5.2 随机过程的主要特征参数随机过程的主要特征参数对于一个各态历经过程对于一个各态历经过程
27、 ，其均值，其均值 定义为定义为1、均值、均值 变量变量 的数学期望值；的数学期望值； 样本函数样本函数 ； 观测的时间。观测的时间。西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制随机信号的均方值随机信号的均方值 定义为定义为 变量变量 的数学期望值。的数学期望值。 均方值描述信号的能量或强度。均方值描述信号的能量或强度。 的平方根的平方根称均方根值称均方根值 。2、均方值、均方值2.5.2 随机过程的主要特征参数随机过程的主要特征参数西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 方差方差 表示随机信号的波动分量，方差的平方表示随机信号的波
28、动分量，方差的平方根根 称为标准偏差。称为标准偏差。随机信号的方差随机信号的方差 定义为定义为3、方差、方差 、 、 之间的关系为之间的关系为2.5.2 随机过程的主要特征参数随机过程的主要特征参数西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制随机过程的均值、方差和均方值的估计公式为：随机过程的均值、方差和均方值的估计公式为：2.5.2 随机过程的主要特征参数随机过程的主要特征参数西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制4 4、概率密度函数、概率密度函数- - 概率密度函数是指一个随机信号的瞬时值落在概率密度函数是指一个随机信号的瞬时值
29、落在指定区间指定区间 内的概率对内的概率对 比值的极限值。比值的极限值。- - 概率密度函数概率密度函数 则定义为：则定义为：2.5.2 随机过程的主要特征参数随机过程的主要特征参数西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制4 4、概率密度函数、概率密度函数2.5.2 随机过程的主要特征参数随机过程的主要特征参数西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制4 4、概率密度函数、概率密度函数 概率密度可以直接用来判断设备的运行状态。图示为概率密度可以直接用来判断设备的运行状态。图示为某一高速滚动轴承工作时振动加速度信号的幅值概率密度某一高
30、速滚动轴承工作时振动加速度信号的幅值概率密度函数图，其中蓝线为正常轴承的，红线为故障轴承的。由函数图，其中蓝线为正常轴承的，红线为故障轴承的。由于磨损、腐蚀等故障的出现，轴承振幅增大，谐波增多，于磨损、腐蚀等故障的出现，轴承振幅增大，谐波增多，反映到概率密度上则使之变得陡峭，同时两旁展宽。因此，反映到概率密度上则使之变得陡峭，同时两旁展宽。因此，比较不同工况下的振动信号图，就可以大致判断设备运行比较不同工况下的振动信号图，就可以大致判断设备运行状态是否发生变化。状态是否发生变化。 2.5.2 随机过程的主要特征参数随机过程的主要特征参数西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥
31、永刚制胥永刚制概率密度函数与概率分布函数间的关系概率密度函数与概率分布函数间的关系式中式中 为为 值小于或等于值小于或等于 的总时间。的总时间。- - 概率分布函数概率分布函数 表示随机信号的瞬时值低表示随机信号的瞬时值低于某一给定值于某一给定值 的概率，即的概率，即5 5、概率分布函数、概率分布函数2.5.2 随机过程的主要特征参数随机过程的主要特征参数西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制1 1、自功率谱密度函数、自功率谱密度函数 2 2、互功率谱密度函数、互功率谱密度函数 3 3、自谱和互谱的估计、自谱和互谱的估计4 4、工程应用、工程应用 2.5.2
32、功率谱分析功率谱分析西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制1、自功率谱密度函数、自功率谱密度函数2.5.4 功率谱分析功率谱分析1）随机信号是功率信号，对其做截断处理）随机信号是功率信号，对其做截断处理2）对截断信号进行傅里叶变换）对截断信号进行傅里叶变换西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制3） 求截断信号的平均功率求截断信号的平均功率是实数，故有：是实数，故有：（*）西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制（*）对公示对公示两边取极限，则有：两边取极限，则有：令：令：描述了随机信号的平均功率
33、在各个不同描述了随机信号的平均功率在各个不同不同频率上的分布称为自功率谱密度函数不同频率上的分布称为自功率谱密度函数西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制4) 单边谱，双边谱单边谱，双边谱 根据信号功率（或能量）根据信号功率（或能量）在频域中的分布情况，将随在频域中的分布情况，将随机过程区分为窄带随机、宽机过程区分为窄带随机、宽带随机和白噪声等几种类型。带随机和白噪声等几种类型。 窄带过程的功率谱（或能窄带过程的功率谱（或能量）集中于某一中心频率附量）集中于某一中心频率附近，宽带过程的能量则分布近，宽带过程的能量则分布在较宽的频率上，而白噪声在较宽的频率上，而
34、白噪声过程的能量在所分析的频域过程的能量在所分析的频域内呈均匀分布状态。内呈均匀分布状态。 西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制5) 互功率谱密度函数互功率谱密度函数2.5.4 功率谱分析功率谱分析互功率谱密度函数采用两个随机信号的截断信号来定义互功率谱密度函数采用两个随机信号的截断信号来定义为双边谱，与为双边谱，与类似，类似，的单边谱为的单边谱为西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 也是含正、负频率的双边互谱，实用中也常取也是含正、负频率的双边互谱，实用中也常取只含非负频率的单边互谱只含非负频率的单边互谱 ，由此规定，由
35、此规定 自谱是自谱是 f 的实函数，而互谱则为的实函数，而互谱则为 f 的复函数，实的复函数，实部部Cxy(f) 称为共谱，虚部称为共谱，虚部 Qxy( f ) 称为重谱称为重谱.2.5.4 功率谱分析功率谱分析西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制写为幅频和相频的形式：写为幅频和相频的形式：2.5.4 功率谱分析功率谱分析互谱密度函数为复数，表示出了两信号之间的幅值互谱密度函数为复数，表示出了两信号之间的幅值与相位关系与相位关系西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制6) 自谱和互谱的估计自谱和互谱的估计 互谱的估计为互谱的估
36、计为定义功率谱亦即自谱的估计值定义功率谱亦即自谱的估计值2.5.4 功率谱分析功率谱分析西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制8) 相干函数与频率相应函数相干函数与频率相应函数利用互谱密度函数可以定义相干函数利用互谱密度函数可以定义相干函数以及系统以及系统的频率响应函数的频率响应函数输出输出与输入与输入输出输出与输入与输入A)B)C)西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制是一个复矢量，由互谱与自谱的比值求得。是一个复矢量，由互谱与自谱的比值求得。保留幅值大小与相位信息，因而描述了系统保留幅值大小与相位信息，因而描述了系统的频域
37、特性。的频域特性。通过自谱和互谱来求取通过自谱和互谱来求取 系统的频率响应函数（重要补系统的频率响应函数（重要补充）充） ： 一个线性系统的输出一个线性系统的输出 等于其输入等于其输入 和和系统的脉冲响应系统的脉冲响应 的卷积，即的卷积，即 西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制根据卷积定理，上式在频域中化为根据卷积定理，上式在频域中化为 式中式中 即为系统的频响函数，它反映了系统即为系统的频响函数，它反映了系统的传递特性。的传递特性。2.5.4 功率谱分析功率谱分析对式对式(*)(*)两端乘以各自的复共轭并取期望值有两端乘以各自的复共轭并取期望值有(*)上式
38、反映出输入与输出的功率谱密度和频响函数间的关上式反映出输入与输出的功率谱密度和频响函数间的关系；系； 式中没有频响函数的相位信息，因此式（式中没有频响函数的相位信息，因此式（*）不）不可能得到系统的相频特性。可能得到系统的相频特性。（*）西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制(*) 式式(*)(*)将输入、输出的相位关系完全保留了下来将输入、输出的相位关系完全保留了下来，且在这里输入的形式并不一定限制为确定性信号，也，且在这里输入的形式并不一定限制为确定性信号，也可以是随机信号。可以是随机信号。 由于由于 为实偶函数，因此频响函数的相位变为实偶函数，因此频响函
39、数的相位变化完全取决于互谱密度函数的相位变化。化完全取决于互谱密度函数的相位变化。 如果在式如果在式(*)(*)两端乘以两端乘以 的复共轭并取期望的复共轭并取期望值，则有值，则有 2.5.4 功率谱分析功率谱分析西华大学机械学院西华大学机械学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 通常一个测试系统往往受到内部和外部噪声的通常一个测试系统往往受到内部和外部噪声的干扰。从而输出也会带入干扰。干扰。从而输出也会带入干扰。 输入信号与噪声是独立无关的，因此它们的互输入信号与噪声是独立无关的，因此它们的互相关为零。相关为零。 结论：在用互谱和自谱求取系统频响函数时不结论：在用互谱和自谱求取系统频响函数时不会受到系统干扰的影响。会受到系统干扰的影响。 2.5.4 功率谱分析功率谱分析
