用常数变易法求解二阶线性非齐次方程

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1、9-6 用常数变易法求解二阶线性非齐次方程用常数变易法求解二阶线性非齐次方程 与欧拉方程的解法与欧拉方程的解法1. 常数变易法常数变易法若若 的两个线性无关的特的两个线性无关的特解是解是 与与 则其通解为则其通解为是任意常数是任意常数.令令代入代入令其为令其为0得得8/26/20241它的系数行列式正是它的系数行列式正是 与与 的朗斯基行列式的朗斯基行列式所以方程组有唯一的一组解所以方程组有唯一的一组解积分求出积分求出的解的解即得出非齐次方程即得出非齐次方程即即 8/26/20242例例.的通解为 的通解.解解: 将所给方程化为:已知齐次方程求建立方程组: 积分得故所求通解为8/26/2024

2、3解法解法 欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程代换可化为常系数微分方程. .( (其中其中为常数为常数)特点特点 各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同量的方次数相同2. 欧拉方程欧拉方程8/26/20244作变量变换作变量变换将自变量换为将自变量换为代入原方程代入原方程化为常系数微分方程化为常系数微分方程其中其中 为确定的常数为确定的常数.8/26/20245解解例例这是一个欧拉方程这是一个欧拉方程代入原方程得代入原方程得(1)8/26/20246和和(1)对应的齐次方程为对应的齐次方程为(2)(2)的特征方程为的特征方程为特征根为特征根为(2)的通解为的通解为设设(1)的特解为的特解为8/26/20247得得(1)的通解为的通解为故原方程的通解为故原方程的通解为8/26/20248小结小结欧拉方程解法思路欧拉方程解法思路变系数的线变系数的线性微分方程性微分方程常系数的线常系数的线性微分方程性微分方程变量代换变量代换注意：欧拉方程的形式注意：欧拉方程的形式8/26/20249