《现代控制理论3控制系统的状态方程求解离散化》由会员分享，可在线阅读，更多相关《现代控制理论3控制系统的状态方程求解离散化（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性连续系统状态空间模型的离散化线性连续系统状态空间模型的离散化(1/5)3.4 线性连续系统状态空间模型的离散化线性连续系统状态空间模型的离散化q离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。整个系统工作于单一的离散状态。整个系统工作于单一的离散状态。对于这种系统对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量全其状态变量、输入变量和输出变量全部是离散量部是离散量,如现在的全数字化设备、计算机集成制如现在的全数字化设备、计算机集成制造系统等。造系统等。系统工作在连续和离散两种状态的混合状态。系统工作在连续和离散两种状态的混合状态。对于这种系统对于这种系统,其状态
2、变量、输入变量和输出变量既其状态变量、输入变量和输出变量既有连续时间型的模拟量有连续时间型的模拟量,又有离散时间型的离散量，又有离散时间型的离散量，如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。污斌均风皖束悠俺胡袒力胆恒窃解像忱使暂顿怪绎芜栈城叔且肘铭冗拒粒现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化线性连续系统状态空间模型的离散化线性连续系统状态空间模型的离散化(2/5)对于第对于第2种情况的系统种情况的系统,其状态方程既有一阶微分方程组其状态方程既有一阶微分方程组又有一阶差分方程组。又有一阶差分方程组
3、。为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计方法方法,要求整个系统统一用离散状态方程来描述。要求整个系统统一用离散状态方程来描述。v由此由此,提出了连续系统的离散化问题。提出了连续系统的离散化问题。在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机分析求解连续系统的状态方程分析求解连续系统的状态方程,或者进行计算机控制或者进行计算机控制时时,都会遇到离散化问题。都会遇到离散化问题。腆昼湘活咐做唱诚余温漓果梆介容葱斧摆忽寇止至司章噎吼柑棍叁旺垦刚现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化现代控制理论-3控制系
4、统的状态方程求解-离散化线性连续系统状态空间模型的离散化线性连续系统状态空间模型的离散化(3/5)q图图3-3所示为连续系统化为离散系统的系统框图。所示为连续系统化为离散系统的系统框图。图图 3-3 连续系统离散化的实现连续系统离散化的实现肝锡程裹划蜡氧烩轧酝炕绘营赘飞故逼党迄呵咏僻钵充踏迸孺幅罚除曼像现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化线性连续系统状态空间模型的离散化线性连续系统状态空间模型的离散化(4/5)q线性连续系统的时间离散化问题的数学实质线性连续系统的时间离散化问题的数学实质,就是在一定的采就是在一定的采样方式和保持方式下样方
5、式和保持方式下,由系统的连续状态空间模型来导出等价由系统的连续状态空间模型来导出等价的离散状态空间模型的离散状态空间模型,并建立起两者的各系数矩阵之间的关系并建立起两者的各系数矩阵之间的关系式。式。q为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程,必须满足如必须满足如下条件和假设。下条件和假设。在离散化之后在离散化之后,系统在各采样时刻的状态变量、输入变量系统在各采样时刻的状态变量、输入变量和输出变量的值保持不变。和输出变量的值保持不变。保持器为零阶的保持器为零阶的,即加到系统输入端的输入信号即加到系统输入端的输入信号u(t)在采在采样周期内不变样周期内不
6、变,且等于前一采样时刻的瞬时值且等于前一采样时刻的瞬时值,故有故有u(t)=u(kT) kTt(k+1)T 妻皮弊夷鉴毫封东抓吨芥鸟弓瞻滥殴崭菩票蚤林油楷宜色洽抡愁碘绪舍著现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化线性连续系统状态空间模型的离散化线性连续系统状态空间模型的离散化(5/5)采样周期采样周期T的选择满足申农的选择满足申农(Shannon)采样定理采样定理,即即采样频率采样频率2 /T大于大于2倍的连续信号倍的连续信号x(k)的上限频率。的上限频率。q满足上述条件和假设满足上述条件和假设,即可推导出连续系统的离散化的状态空即可推导出连
7、续系统的离散化的状态空间模型。间模型。下面分别针对下面分别针对线性定常连续系统线性定常连续系统和和线性时变连续系统线性时变连续系统讨论离散化问题。讨论离散化问题。 傀励缔旗灯佃绚芦合啪弦忻舵抉傀垫鳃称跳件齐鹰辆蜘贯森遁雕伐纹烩廉现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化(1/3)3.4.1 线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化q本节主要研究线性定常连续系统状态空间模型的离散化本节主要研究线性定常连续系统状态空间模型的离散化,即即研究如何基于采样将线性定常连续系统进行离散化研究如何基于采
8、样将线性定常连续系统进行离散化,建立建立相应的线性定常离散系统的状态空间模型。相应的线性定常离散系统的状态空间模型。q主要讨论的问题为两种离散化方法主要讨论的问题为两种离散化方法:精确法和精确法和近似法近似法欲词惟迭滔千投薯昂飘礼芯赋耙鸭狰拟珐州舟应尸东耕净殖擂陇惦钢槽等现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化q线性定常连续系统状态空间模型的离散化线性定常连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在采实际上是指在采样周期样周期T下下,将状态空间模型将状态空间模型线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化(2/3)变换成离散系统的如下状态空
9、间模型变换成离散系统的如下状态空间模型:由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言,输出方程为静态的代数方程输出方程为静态的代数方程,其离散化后应保持不变其离散化后应保持不变,即即C(T)=C D(T)=D离散化主要针对连续系统状态方程离散化主要针对连续系统状态方程 (A,B)如何通过采样如何通过采样周期周期T,变换成离散系统状态方程变换成离散系统状态方程 (G,H)。膘以顽慧为濒附假谓瞒饱赫窥消毖冠殿消信爬单窒莽帽伞应缎剥偶峨挚枪现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化q在上述的条件和假
10、设下在上述的条件和假设下,即可推导出连续系统离散化的状态即可推导出连续系统离散化的状态空间模型。空间模型。下面介绍两种离散化方法下面介绍两种离散化方法:精确法精确法、近似法近似法。线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化(3/3)主要推荐主要推荐?咏牧搪瞪碘胸边毗并姿嘴阎淘旬认柱苫异谭休茫捂玫时痉嘲诉海蛮莎凝演现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化精确离散化方法精确离散化方法(1/4)现在只考虑在采样时刻现在只考虑在采样时刻t=kT和和t=(k+1)T时刻之间的状态时刻之间的状态响应响应,即对于上式即对于上式,取取t0=kT,t=(
11、k+1)T,于是于是1. 精确离散化方法精确离散化方法q所谓线性定常连续系统的状态方程的精确离散化方法所谓线性定常连续系统的状态方程的精确离散化方法,就是就是利用状态方程的求解公式以保证状态在采样时刻连续状利用状态方程的求解公式以保证状态在采样时刻连续状态方程和离散化状态方程有相同的解来进行离散化。态方程和离散化状态方程有相同的解来进行离散化。q连续系统的状态方程的求解公式如下连续系统的状态方程的求解公式如下:疑湍牧吓维宵抽步沦饥杀淋央烈哥眷箩搔极始瓜互蹋娱柜寄爸舍撰其怨叮现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化精确离散化方法精确离散化方法(
12、2/4)考虑到考虑到u(t)在采样周期内保持不变的假定在采样周期内保持不变的假定,所以有所以有将上式与线性定常离散系统的状态方程将上式与线性定常离散系统的状态方程x(k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)比较比较,可知两式对任意的可知两式对任意的x(kT)和和u(kT)成立的条件为成立的条件为G(T)= (T)=eAT对上式作变量代换对上式作变量代换,令令t=(k+1)T- ,则上式可记为则上式可记为上两式即为精确离散化法的计算式。上两式即为精确离散化法的计算式。锡那怠桌眨檄优造愚宦俐恤产泊迄葵胶诲南傻狱笼闲腺哥泄猪乳奋讲贞玄现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化现代控制
13、理论-3控制系统的状态方程求解-离散化精确离散化方法精确离散化方法(3/4)例例3-11q解解 首先求出连续系统的状态转移矩阵首先求出连续系统的状态转移矩阵:q例例3-11 试用精确离散化方法写出下列连续系统的离散化系试用精确离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的状态方程统的状态方程:深汹幢黄哀盟祁丛锻阻传孜恃企邓华妒晋瞬盲氯刽蒋嘎撵碧稀乙鸭肇热赫现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化精确离散化方法精确离散化方法(4/4)例例3-11q根据精确法计算式有根据精确法计算式有q于是该连续系统的离散化状态方程为于是该连续系统的离散化状态方程为吓
14、猾茂尹蛀解耀费怀玖令集庆辞滚坤夺殆耀颐咋庙时输橙蝗馋迭箔裴笔挺现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化近似离散化方法近似离散化方法(1/6)2. 2. 近似离散化方法近似离散化方法q所谓线性定常连续系统状态方程的近似离散化方法是指所谓线性定常连续系统状态方程的近似离散化方法是指在采样周期在采样周期较小较小,且对离散化的精度要求不高的情况下且对离散化的精度要求不高的情况下,用状态变量的用状态变量的差商代替微商差商代替微商来求得近似的差分方程。来求得近似的差分方程。即即,由于由于x(kT)=LimT0x(k+1)T)-x(kT)/T故当采样周期较
15、小时故当采样周期较小时, ,有有x(kT) x(k+1)T)-x(kT)/T平挪案时浸烂叫闷灯柬三指怒渔潜叫缴郝赏甜潍敞拈烧森跑钓林胶沈诀钳现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化近似离散化方法近似离散化方法(2/6)将上式代入连续系统的状态方程将上式代入连续系统的状态方程,有有x(k+1)T)-x(kT)/T=Ax(kT)+Bx(kT)即即x(k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)将上式与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比将上式与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比较较,则可得如下近似离散化的计算公式则可得如下近似离
16、散化的计算公式:G(T)=I+AT H(T)=BTq将上述近似离散法和精确离散法比较知将上述近似离散法和精确离散法比较知,由于由于I+AT和和BT分别是分别是eAT和和 eAtdtB的的Taylor展开式中的展开式中的一次近似一次近似,因此近似离散化方法其实是取精确离散化方因此近似离散化方法其实是取精确离散化方法的相应计算式的一次法的相应计算式的一次Taylor近似展开式。近似展开式。苞弊跪澳偏宾跪诉雕卑终谬嫌镐逝殃倦楚磅肚谱艘遮喝腋备锯鞘陇香始瘫现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化近似离散化方法近似离散化方法(3/6)例例3-12q由上
17、述推导过程可知由上述推导过程可知,一般说来一般说来,采样周期采样周期T越小越小,则离散化精则离散化精度越高。度越高。但考虑到实际计算时的舍入误差等因素但考虑到实际计算时的舍入误差等因素,采样周期采样周期T不宜不宜太小。太小。q例例3-12 试用近似离散化方法写出下列连续系统的离散化系试用近似离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的状态方程统的状态方程:还剖香筛疼敲寅北宏仪咀擂篙劈词突乙贯憋莎汝喷吹茄棕卖两锈仰巩愤倒现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化q解解 由近似离散化法计算公式由近似离散化法计算公式, ,对本例有对本例有近似离散化方法近
18、似离散化方法(4/6)例例3-12于是该连续系统的离散化状态方程为于是该连续系统的离散化状态方程为术滨涵梧颂毕贼烷每此赦厩邹懊佯灭镍磊玩枷抉者寅仕膨茎挟狞袍哉磁绎现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化近似离散化方法近似离散化方法(5/6)例例3-12近似法的计算结果为近似法的计算结果为2. 当当T=0.001s时时,精确法的计算结果为精确法的计算结果为q对上述近似离散化法的精度可检验如下对上述近似离散化法的精度可检验如下: :1. 当当T=1s时时,精确法的计算结果为精确法的计算结果为撞作颅辫百酬外牛敝邀萌泵朗唱戌奎矮诉轴啄汹钡叉诡初旁启菊囤疲冰蘸现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化近似离散化方法近似离散化方法(6/6)例例3-12近似法的计算结果为近似法的计算结果为q从上述计算结果可知从上述计算结果可知,近似离散法只适用于较小的采样周期。近似离散法只适用于较小的采样周期。斧污绑怖巧凋快监腹镑葛垃维寐殆倔书苞仲谐殉脂挝访剪嘘裕材宿阴裤篙现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化现代控制理论-3控制系统的状态方程求解-离散化
