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1、实实际际工工程程中中的的各各种种技技术术图图样样，都都是是按按一一定定的的投投影影方方法法绘绘制制的的，机机械械工工程程图图样样通通常常是是用用正正投投影影法法绘绘制制。本本章章首首先先学学习习介介绍绍投投影影法法的的基基本本知知识识和和物物体体三三视视图图，再再讨讨论论点点、线线、面面等等几几何何元元素素的的投投影影原原理理，为为学学习习后后面面的的内内容容奠定基础。奠定基础。概述：概述：本章重点难点：本章重点难点：1.1.熟悉投影法的基本知识及三视图的对应关系。熟悉投影法的基本知识及三视图的对应关系。2.掌握点的投影及投影规律掌握点的投影及投影规律。3.3.掌握线、面的投影特性。掌握线、面
2、的投影特性。投影法和点、线、面的投影特性。投影法和点、线、面的投影特性。本章教学目标要求本章教学目标要求: :2.1 投影法和三视图的形成投影法和三视图的形成一、投影的形成1、投影法、投影法：物体在投影面的产生影像（图形）的方法。VAa投影面自然现象投射线2.1.1投影法的基本知识1）中心投影法 投射线汇交一点。图形随距离变化而变化。SV2）平行投影法）平行投影法 投射线相互平行。V正投影： 投射线垂直于投影面。斜投影： 投射线与投影面倾斜。性质：性质：显实性积聚性；类似性。3、投影的可逆要求、投影的可逆要求只有物体的一个投影是不能知道物体的形状和位置AA1A2aABCA1B1C1abc注意：
3、投影不等于影子注意：投影不等于影子4、工程上常用的几种投影1）多面正投影HVVH特点：特点：优点：反映实形、度量性好、作图简便、利于图示和图解。缺点：直观性和立体感差，难以想象。V2）轴测图（单面投影图）正轴测图：用正投影法得到的；斜轴测图：用斜投影法得到的。3）透视投影（透视图、透视）S特点：直观性和立体感较好。但作图较、度量性较。特点：直观性和立体很感；但作图很繁、度量性很差4）标高投影（地质地形图） 该图以水平面为投影面，对形状复杂的曲面（如）按一定的高度（5m)、一定的比例向水平面投影而得到的图形。投影面投影面2.1.22.1.2：三视图的形成及其投影规律：三视图的形成及其投影规律两个
4、形状不同的形体在两个形状不同的形体在同一个投影面上的同一个投影面上的投影投影却是相同的。却是相同的。怎样才能准确地表怎样才能准确地表达该物体的形状？达该物体的形状？增加水平位置的投增加水平位置的投影面及投影影面及投影采用多采用多面投影面投影WVH三投影面体系三投影面体系正面正面投影面（简称正投影面（简称正 面或面或V面）面）水平水平投影面（简称水投影面（简称水 平面或平面或H面）面）侧面侧面投影面（简称侧投影面（简称侧 面或面或W面）面）形体的三个投影形体的三个投影 H面上面上 水平投影水平投影 W面上面上 侧面投影侧面投影 V面上面上 正面投影正面投影俯视图俯视图左视图左视图主视图主视图三个
5、投影面两两三个投影面两两互相垂直互相垂直主视图主视图俯视图俯视图左视图左视图WVH三视图的展开三视图的展开VWHV面保持不动面保持不动H面向下旋转面向下旋转90。W向后旋转向后旋转90。三视图的方位关系三视图的方位关系上上下下左左右右后后前前上上下下前前后后左左右右下下上上左左右右前前后后课堂练习22 点的投影点的投影2.2.1 空间点的一面投影空间点的一面投影AA1A2aaA注意：空间点和其投影在图上的标记注意：空间点和其投影在图上的标记WHVoX一、空间点一、空间点A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a 点点A的正面投影的正面投影a点点A的水平投影的水平投影a 点点A的侧面投影的侧面
6、投影空间点用空间点用大写字母大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母小写字母表示表示a aa AZY2.2.2 点的三面投影点的三面投影三面投影体系三视图的投影规律三视图的投影规律长对正长对正高平齐高平齐宽相等宽相等长度长度宽度宽度高高度度YXZOVWA(x,y,z)a(x,y)a (y,z)a (x,z)xaazayHWVH向后翻向后翻向下翻向下翻不动不动二、点二、点A的三视图及其投影规律的三视图及其投影规律axaza (x,z)ayayZYHXOYWa(x,y)a (y,z)a aOX轴，轴， aaz= aayaax= a az,;a a OZ轴轴, a ax= a”aya 和和a
7、反映反映X坐标坐标a 和和a 反映反映Z坐标坐标a和和a 反映反映Y坐标坐标结论：相邻两面投影的连线结论：相邻两面投影的连线所夹的轴，不相邻两面投影不所夹的轴，不相邻两面投影不a aax已知点的两个投影，求第三投影。已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用圆规直接用圆规直接量取量取a az=aaxa 45。线线例例三、点三、点A的三个投影与其坐标之间的关系的三个投影与其坐标之间的关系点点A的空间位置的空间位置a （x，y）a （x，z）a （y，z） 点的任意点的任意两个投影两个投影反反映了映了该点的三个坐标该点
8、的三个坐标A（x，y，z）点点A的三个投影的三个投影YXZOVWA(x,y,z)a(x,y)a (y,z)a (x,z)xaazayH例例已知点已知点B(10,20,30)，求其求其三个投三个投影影b 、b 和和b 。XZYHYWO102030bbb”点在空间位置不同表现在坐标点在空间位置不同表现在坐标有差异，而有差异，而点的投影能反映该点的投影能反映该点的坐标，则点的坐标，则A、B两点的两点的坐标坐标差差，能反映两点的能反映两点的相对位置相对位置。 X （ 0 ） Y （ 0 ） Z （ 0 ）b aa a b bXYHYWZo x y z y2.2.3点的相对位置点的相对位置以点以点A为参
9、考点，则为参考点，则B点对点对A点的点的相对坐标为：相对坐标为：点B在点A的左、前、下左、前、下方 空间两点在某一投空间两点在某一投影面上的影面上的投影重合为一投影重合为一点点时，则称此两点为时，则称此两点为该该投影面投影面的重影点。的重影点。A、C为为H面面的重影点的重影点被被挡住挡住的投的投影加影加( )A、C为哪个投影为哪个投影面的重影点呢？面的重影点呢？a a c c ( )a c重影点重影点BA练习P7a（b)，重影点必须指明相对某平面重影点必须指明相对某平面。aa a b b b1.直线的投影仍然是直线直线的投影仍然是直线2.3.1 直线空间位置的确定直线空间位置的确定1. 通过通
10、过两个两个已知已知点点2. 通过通过一个一个已知已知点点并与并与一条一条已知已知直线平行直线平行(方向）方向）2.3.2直线投影的画法直线投影的画法2.作出直线上两个已知点作出直线上两个已知点的的各面投影各面投影3.将两点的将两点的同面投影同面投影连线连线2.3 2.3 直线的投影直线的投影 直线对直线对一个投影面一个投影面的投影特性的投影特性ABab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积聚性积聚性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=AB 显显 实实 性性直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABc
11、os类类 似似 性性ABabAMBa（b）（）（m）2.3.3 直线的投影规律直线的投影规律 直线在直线在三个投影面体系中三个投影面体系中的投影特性的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂
12、直于某一投影面垂直于某一投影面直线直线在三投影面体系中的在三投影面体系中的位置位置b ABb a aba (d )c dd DCc cs ASs a asa b a aba b b aa b ba 投影面平行线投影面平行线 在其平行的那个投影面上的投影反映在其平行的那个投影面上的投影反映实长实长，且与投影轴倾斜。且与投影轴倾斜。 另两个投影面上的投影另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴平行于相应的投影轴。水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性性实长实长实长实长实长实长ba aa b b b ABb a aba a b ba BAab aa b ba b 反映线段反映线段实长
13、实长。且平行。且平行于相应的投影轴。于相应的投影轴。 投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影， 在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上， 投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性c (d )cdd c a b a(b)a b e f efe (f )b ABb a a(b)a ee f fe (f )FE(d )c dd DCc c从属于一个投影面的直线从属于一个投影面的直线1 1、从从属属于于H H面面的的水水平平线线？3、从从属属 于于Y轴轴的的直直线线？2、从从属属于于V面面铅铅垂垂线线？?一般位置直线一般位置直线投影特性投影特性 三个投
14、影都缩短三个投影都缩短。即。即: 都不反映空间都不反映空间线段的实长，且与三根投影轴都倾斜。线段的实长，且与三根投影轴都倾斜。s ASs a asa s ass a a BAaa b ba b 若若点点在直线上在直线上, 则则点的投影点的投影必定在该直线必定在该直线的的同面投影同面投影上上。 同一直线上的两线段同一直线上的两线段长度之比等于其投影长度长度之比等于其投影长度之比。即：之比。即：AK/KB=ak/kb= a k / k b = a k / k b 定比定理定比定理k kk K2.3.4 直线上的点的投影特性直线上的点的投影特性:点点C不在不在直线直线AB上上判断点判断点C是否在线段
15、是否在线段AB上。上。点点C在直在直线线AB上上例例1abca b c c abca b 例例2：判断点：判断点K是否在线段是否在线段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上，故点故点K不在不在AB上。上。应用定比定理应用定比定理abka b k 另一判断法另一判断法?abka b k III取取aII= a b 取取aI = a k c因因c点与点与k点不重合，点不重合，故点故点K不在不在AB上。上。例3 已知点K在直线CD上,求点K的正面投影。OXcddck提示：提示：利用定比性来作图C1k课堂练习P8-4 空间两直线平行，则其所有空间两直线平行，则其所有同名投影同名投影必必
16、相互平行。相互平行。反之亦然反之亦然。 平行两线段之比平行两线段之比=各同面投影之比各同面投影之比HabABcdCD投影特性投影特性一、平行两直线一、平行两直线 因：因：AB/CD，Aa/Cc所以：所以：ab/cd所以：平面所以：平面ABba/平面平面CDdc证明：证明： db d c a cbad b a c 2.3.5 两直线的相对位置两直线的相对位置:平行平行相交相交交差交差abcdc a b d 例例1：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。 对于对于一般位置一般位置直直线，线，只要有两个同面只要有两个同面投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行。两直线就平行。
17、AB/CDb d c a cbadd b a c 对于对于特殊位置特殊位置直线，直线，只有两个同面投影只有两个同面投影互相互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行。平行。求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：AB与与CD不平行不平行例例2：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？二、相交两直线二、相交两直线 若空间两直线相交，则其若空间两直线相交，则其同面投影同面投影必必相交，且相交，且交点交点的投影必符合的投影必符合空间一点空间一点的投的投影规律。影规律。反之亦然反之亦然。投影特性投影特性HABCDabcdkK K 点点是是
18、AB、CD两直线的两直线的共有点共有点，根据，根据直线上的点的直线上的点的投影特性可知：投影特性可知：该两直线的投该两直线的投影必然相交。影必然相交。abcdb a c d kk d c b a k cabb a c d k kd例例1：过：过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影例例2：见：见P36图图2-26示示aabbcdcdkkOXZYHYWa”b”k”c”d”12d b a abcdc1 (2 )3(4 )三、交叉两直线三、交叉两直线投影特性投影特性： 同面投影同面投影可能相交，可能相交，但但 “交点交点”不符合空间不符合空间一个点的投影规律一个点的投
19、影规律。 投影的投影的“交点交点”是两是两直线上的一直线上的一 对对重影点重影点的的投影，用其可帮助判断投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。两直线的空间位置。、是面的重影点，是面的重影点， 、是是H面的重影点。面的重影点。3 4 两直线相交吗？两直线相交吗？34ababABCDcdcd2(1)3(4)例：试判断两根水管例：试判断两根水管AB和和CD的相对位置，的相对位置，并判别可见性并判别可见性cdababcdOXOXcdababcd212(1)3(4)34abca b c 不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点abca b c 直线及直线及线外一线外一点点abca b c 两平行直两
20、平行直线线abca b c 两相交两相交直线直线abca b c 平面平面图形图形2.4.1 平面的表示法平面的表示法:dd 用几何元素表示平面用几何元素表示平面2.4 2.4 平面的投影平面的投影平行平行倾斜倾斜 平面对平面对一个一个投影面的投影特性投影面的投影特性2.4.2 平面的投影特性平面的投影特性:投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影现实形投影现实形 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直线投影积聚成直线 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平面投影类似原平面类似性类似性积聚性积聚性实形性实形性垂直垂直 平面在平面在三投影面体系三投影面体系中的投影特性中
21、的投影特性平面在三投影面体系中的平面在三投影面体系中的位置位置投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面abca c b c b a 1) 1) 投影面垂直面投影面垂直面(-(-铅垂面铅垂面) )类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影特性：投影特性： 水平水平投影投
22、影积聚积聚成一直线成一直线,该直线与该直线与X轴、轴、Y轴倾斜。轴倾斜。另外两个投影具有另外两个投影具有类似性类似性。是什么位置是什么位置的平面？的平面？ 一一斜斜线线对对两两框框bca c b c b a abca c b c b a aabcc b c b a 铅垂面铅垂面正垂面正垂面侧垂面侧垂面三种位置的投影三种位置的投影面垂直面：面垂直面：a b c a b c abc2) 2) 投影面平行面投影面平行面( (水平面水平面) )积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面投影特性：投影特性：水平水平投影反映实形。投影反映实形。 另两个投影分别另两个投影分别积聚积聚成与相应的投影成与
23、相应的投影轴平行的直线。轴平行的直线。两平行线对一框两平行线对一框水平面水平面正平面正平面侧平面侧平面三种位置的投影三种位置的投影面平行面：面平行面：a b c a b c abcbca c b c b a abca c b c b a aa b c a c b abc3) 3) 一般位置平面一般位置平面三个投影都类似。三个投影都类似。投影特性投影特性：三框对应三框对应判断判断直线直线在平面在平面内的方法内的方法 定定 理理 一一过平面内的过平面内的两个两个已知点已知点，则该直，则该直线必在该平面内。线必在该平面内。定定 理理 二二过平面上的过平面上的一个已知一个已知点点，且，且平行平行于该平
24、面于该平面内的内的一已知直线一已知直线，则，则此直线在该平面内。此直线在该平面内。一、一、 平面内取平面内取直线直线2.4.3 属于平面内的属于平面内的直线直线和和点点:baaccb2121baaccb2121abcdabcd12342根据定理一根据定理一如何解？如何解？de例例1 已知直线已知直线DE在在 ABC所确定的平面所确定的平面 内，求作其水平投影内，求作其水平投影de。1 2 1b cbac e d a 延长延长DE分别与分别与AB、BC边相交于边相交于I、II点，求出点，求出线段线段I II的水平投影的水平投影12，在，在12上确定上确定de的位置。的位置。例例2：在平面：在平面
25、ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面的距面的距 离为离为10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？如何解？如何解？二、平面内取点二、平面内取点 点在平面内的条件：点在平面内的条件：先找出过此点而又在平面内先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，再的一条直线作为辅助线，再在该直线上确定点的位置。在该直线上确定点的位置。 点在该平面内的一条直线上。点在该平面内的一条直线上。1 例例1 已知点已知点D在在ABC所确定的平面所确定的平面 内，内，求作其水平投影求作其水平投影d。d abcb a c d1方法一方法一方法二方法二1 d a
26、bcb a c d122xbacbacee例例2：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点点 的的 水平投影。水平投影。bacc a b k利用平面的利用平面的积聚性求解积聚性求解k 小结：面上取线的方法：1）辅助线法；2）积聚投影法。bckada d b c ada d b c k bc例例3：已知：已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二两相交直线确定平面两相交直线确定平面两平行直线确定平面两平行直线确定平面2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置直线与平面、平面与平面的相对位置相对位置包括相对位置包括平行
27、平行、相交相交和和垂直垂直。2.5.1 平行问题平行问题 直线与平面平行直线与平面平行平面与平面平行平面与平面平行 若平面外的一直线与平面内的一条直线若平面外的一直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。平行，则该直线与此平面平行。一、直线与平面平行一、直线与平面平行几何条件：几何条件：投影规律：投影规律：若平面外的一直线的各面投影与平面内的一条直线同面投影平行，若平面外的一直线的各面投影与平面内的一条直线同面投影平行，则该直线与此平面平行。则该直线与此平面平行。、当平面为特殊位置时当平面为特殊位置时，怎么判断？（利用积聚性投影）2、当平面为一般位置时一般位置时，直线与平面平行在投影图
28、上不直接反映，它们的作图和判别问题必须根据有关几何条件进行。abPp如果AB/平面P则ab/pL则在铅垂面P上总能找到一直线L /AB，所以P/AB若ab/pABn a c b m abcmn例例1：过：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？例例2：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面面和平面和平面 ABC。正平线正平线n唯一解唯一解c mb a m abcn 二、两平面平行二、两平面平行 若一个平面内有两条相交直线与另若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。一个平面平行，则这两个平面平行。PQABCEFGABEF
29、；ACEGPQ例、试判断两已知例、试判断两已知平面平面ABC和和DEF是否平行？是否平行？OXabcabcdeffedmmnn相交问题相交问题直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交一、直线与平面相交一、直线与平面相交直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点既是交点既是直线与平面直线与平面的的共有点，共有点，又是又是分界点分界点(贯穿点贯穿点)。要讨论的问题：要讨论的问题： 求求直线与平面的直线与平面的交点。交点。 判别两者之间的相互遮挡关系，判别两者之间的相互遮挡关系，即即判别可见性。判别可见性。我们只讨论我们只讨论直线直线或或平面平面中中至少至少有一个处于特殊有一个处于特殊
30、位置的情况。位置的情况。2.5.2相交问题相交问题HACBPacbpHMNnmCBKMNabcmnc n b a m 1、平面为特殊位置、平面为特殊位置利用积聚性利用积聚性例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K，并判别可见性。，并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一是一铅垂面铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与线，该直线与mn的的交点交点即即为为K点的水平投影。点的水平投影。 求交点求交点 判别可见性判别可见性由水平投影可知，由水平投影可知，K2段段在平面后，故正面投在平面后，故正面投影上影上k 2 为不可见。为不可见。通过
31、重影点判别可见性。通过重影点判别可见性。观察法观察法1 (2 )作作 图图k21k abcmnc n b a m 1 (2 )k21k mbckACBKMNnHa122、直线为特殊位置、直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MN为为铅垂线铅垂线，其，其水平投影水平投影积聚积聚成一个成一个点点，故故交点交点K的水平投影也积聚的水平投影也积聚在该点上。在该点上。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在位于平面上，在前；点前；点位于位于MN上，在上，在后。故后。故k 2 为不可见。为不可见。作图作图用面上取用面上取点法点法km(n)bm n c b a ac1 (2 )
32、21k m km(n)bn c b a ac1 (2 )21k m (n)bckACBCMHaNk 铅直线铅直线(i) 两平面的交线为两平面的交线为直线直线。(ii) 平面立体平面立体上的上的每一每一条轮廓线条轮廓线都是都是相邻两平面相邻两平面的的交线交线。(iii) 两平面两平面交线交线对投影对投影面的面的位置位置，由，由相交两平面相交两平面自身自身的的位置位置确定。确定。NMUQTRP主视主视方向方向水平线水平线侧垂线侧垂线一般线一般线3、一般位置平面与特殊位置平面相交、一般位置平面与特殊位置平面相交两平面相交时要讨论的问题两平面相交时要讨论的问题： 求求两平面的两平面的交线交线方法：方法
33、： a 确定确定交线交线的的两个端点。两个端点。b 确定确定交线交线的的一个端点一个端点及其及其方向。方向。 只讨论两平面中只讨论两平面中至少有一个处至少有一个处于特殊位置于特殊位置的情况。的情况。 判别两平面之间的相互遮挡关系，判别两平面之间的相互遮挡关系，即：即： 判别可见性。判别可见性。abcedfedfcabklkl空间及投影分析：空间及投影分析：DEF为铅垂面，为铅垂面，在在H面投影积聚成直线，面投影积聚成直线，交线应在此直线上，交线应在此直线上，同时又在同时又在abc，故交线的水平投影为故交线的水平投影为kl,再求再求kl.343(4)565(6)例例1：求矩形平面：求矩形平面P与
34、与ABC的的交线交线MN，并判别可见性，并判别可见性。HACBPacbpHMNnmac b p cpHb作图过程作图过程判别判别可见性可见性a mnn m 空间及投影分析空间及投影分析 ABC是一般位置平面，是一般位置平面， 平面平面P是是铅垂面铅垂面，其水平投影，其水平投影积聚成直线积聚成直线 pH ，pH与与abc的的交点交点m、n 即为两即为两平面交线平面交线MN的的水平性投影水平性投影。ac b p cpba 空间及投影分析空间及投影分析 平面平面P和和 ABC都都是是铅垂面铅垂面，它们，它们的水平投影有的水平投影有积聚性积聚性。ab与与p的的交点交点m(n) 即为两平面交线即为两平面
35、交线MN的的积聚性投积聚性投影影。MN为铅垂线。为铅垂线。例例2：求矩形平面：求矩形平面P与与ABC的的交线交线MN，并判别可见性，并判别可见性。HACBPacbpMNM(n)n m 作图过程作图过程m(n)判别判别可见性可见性拓展拓展一般位置直线与一般位置平面相交一般位置直线与一般位置平面相交bc b a acdedepmnmnkk辅助平面法辅助平面法:MNACBDEKP一、点的投影规律一、点的投影规律aaZayayaXYYO xa za a aOX轴轴 aax= a az=y=A到到V面的距离面的距离a ax= a ay=z=A到到H面的距离面的距离aay= a az=x=A到到W面的距离
36、面的距离 a a OZ轴轴 点、线点、线 小小 结结 点与直线的投影特性，尤其是点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性特殊位置直线的投影特性。点与直线及两直线的相对位置点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。的判断方法及投影特性。定比定理。定比定理。重点掌握：重点掌握：二、各种位置直线的投影特性二、各种位置直线的投影特性 一般位置直线一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。三个投影与各投影轴都倾斜。 投影面平行线投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应
37、的投影轴。应的投影轴。 投影面垂直线投影面垂直线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。三、直线上的点三、直线上的点 点的投影在直线的同名投影上。点的投影在直线的同名投影上。 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比成定比定比定理。定比定理。四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置 平行平行 相交相交 交叉（异面）交叉（异面） 同名投影互相平行。同名投影互相平行。 同名投影相交，交点是两直线的共有点，同名投影相交，交点是两直线的共有点，且
38、符合空间一个点的投影规律。且符合空间一个点的投影规律。 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交点交点”不符合空不符合空间一个点的投影规律。间一个点的投影规律。“交点交点”是两直线上一是两直线上一对重影点的投影。对重影点的投影。平平 面面 小小 结结重点掌握：重点掌握：二、如何在平面上确定二、如何在平面上确定直线直线和和点点。三、两平面平行的条件：一定是分别位于两平三、两平面平行的条件：一定是分别位于两平 面内的面内的两组相交直线对应平行。两组相交直线对应平行。四、直线与平面的四、直线与平面的交点交点及平面与平面的及平面与平面的交线交线是是 两者的共有点或共有线。两者的共有点或共有线。解题
39、思路：解题思路：空间及投影分析空间及投影分析 目的是找出交点或交线的已知投影。目的是找出交点或交线的已知投影。判别可见性判别可见性尤其是尤其是如何利用重影点判别。如何利用重影点判别。一、平面的投影特性，一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的尤其是特殊位置平面的 投影特性。投影特性。要要 点点一、各种位置平面的投影特性一、各种位置平面的投影特性 一般位置平面一般位置平面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面三个投影为边数相等的类似多边形三个投影为边数相等的类似多边形类似性类似性。在其垂直的投影面上的投影积聚成直线在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性积聚性。另外两个投影类似。
40、另外两个投影类似。 在其平行的投影面上的投影反映实形在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性实形性。 另外两个投影积聚为直线。另外两个投影积聚为直线。 二、平面上的点与直线二、平面上的点与直线 平面上的点平面上的点一定位于平面内的某条直线上一定位于平面内的某条直线上 平面上的直线平面上的直线 过平面上的两个点。过平面上的两个点。 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。三、平行问题三、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。直线平行于平面内的一条直线。 两平面平行两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行于必须是一
41、个平面上的一对相交直线对应平行于另一个平面上的一对相交直线。另一个平面上的一对相交直线。四、相交问题四、相交问题 求直线与平面的交点的方法求直线与平面的交点的方法 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共有性和平面的积聚性直接求解。有性和平面的积聚性直接求解。 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上有性和直线的积聚性，采取平面上 取点的方法求解。取点的方法求解。 求两平面的交线的方法求两平面的交线的方法 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画可找出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画出交线的投影。出交线的投影。 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共有点，求出交线。平面的积聚性找出两平面的两个共有点，求出交线。abcdabcd12341234
