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1、课题学习：最短路径1.看图思考：看图思考：为什么有的人会经常践踏草地呢？为什么有的人会经常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多了绿地里本没有路，走的人多了 禁止践踏禁止践踏两点之间，线段最短两点之间，线段最短爱护草坪爱护草坪爱护草坪爱护草坪连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短2.将军饮马问题：将军饮马问题： 将军每天骑马从城堡将军每天骑马从城堡A A出发，到城堡出发，到城堡B B，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？路程最短？ 这就是被称为这就是被称为将军饮马将军饮马而而广为流传的
2、问题。广为流传的问题。3.P两点之间线段最短两点之间线段最短. 根据：根据：BA( (一一) )两点在一条直线两侧两点在一条直线两侧例例1.1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡如图：古希腊一位将军骑马从城堡A A到城堡到城堡B B，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？最短？ 最短路线：最短路线：将军饮马：将军饮马：A -P- B.4. 例例2.2.如图：一位将军骑马从城堡如图：一位将军骑马从城堡A A到城堡到城堡B B， 途中马要到河边饮水一次，途中马要到河边饮水一次， 问：这位将军怎样走路程最短？问：这位将军怎样走路程最短？ AB河河两点在
3、一条直线同侧两点在一条直线同侧( (二二) )一次轴对称：一次轴对称：5.BABC例例2作法：作法：（1）作点）作点B关于直线关于直线 MN 的对称点的对称点 B（2）连结）连结BA，交，交MN于点于点 C； 所以所以 点点C就是所求的点就是所求的点MN两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧( (二二) )一次轴对称：一次轴对称：6. BC+AC BC +AC ，即，即AC+BC最小最小NABCBC 直线直线MN是点是点B、B的对称轴，的对称轴， 点点C、C在对称轴上，在对称轴上，BC=BC，BC=BC 在在MN 上任取另一点上任取另一点C，连结连结BC、BC、 AC 、 BC 例例2证明：证明
4、：在在AB C中，中，AB AC+B C， BC+AC = BC+AC = BAMBC +AC = BC +AC 两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧( (二二) )一次轴对称：一次轴对称：7.例例2 2变式变式1 1：已知：已知：P P、Q Q是是ABCABC的边的边ABAB、 ACAC上的点，你能在上的点，你能在BCBC上确定一点上确定一点R R， 使使PQRPQR的周长最短吗？的周长最短吗？两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧( (二二) )一次轴对称：一次轴对称：8.例例3已知如图已知如图 和和 内一点内一点 ,( (三三) )二次轴对称：二次轴对称：一点在两相交直线内部一点在两相交直
5、线内部求作求作:OM上一点上一点B, ON上一点上一点C, 使使AB+BC+AC最小最小作法作法（1）作点）作点A关于关于OM、 ON的对称点的对称点A、A”9.草地草地河边河边.驻地驻地A例例3.3.如图：一位将军骑马从如图：一位将军骑马从驻地驻地A A出发，先牵马去出发，先牵马去草地草地 OMOM吃草，再牵马去吃草，再牵马去河边河边ONON喝水，喝水， 最后回到驻地最后回到驻地A A，问：这位将军怎样走路程最短？问：这位将军怎样走路程最短？OMN( (三三) )二次轴对称：二次轴对称：一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部10.例例3 3变式变式1 1：已知：已知P P是是ABCABC的
6、边的边BCBC上的点，上的点， 你能在你能在ABAB、ACAC上分别确定一点上分别确定一点Q Q和和R R， 使使PQRPQR的周长最短吗？的周长最短吗？( (三三) )二次轴对称：二次轴对称：一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部11.例例4 4：如图，如图，A A为马厩，为马厩，B B为帐篷，为帐篷，将军将军某一天要某一天要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马， 再到河边饮马，然后回到帐篷，再到河边饮马，然后回到帐篷， 请你帮助确定这一天的最短路线。请你帮助确定这一天的最短路线。（四）二次轴对称：（四）二次轴对称： 两点在两相交直线内部两点在两相交直线
7、内部12.例例4 4答案：如图答案：如图,A,A是马厩是马厩,B,B为帐篷为帐篷, ,牧马人某一天要从牧马人某一天要从马厩牵出马马厩牵出马, ,先到草地边某一处牧马先到草地边某一处牧马, ,再到河边饮马再到河边饮马, ,然后回到帐篷然后回到帐篷. .请你帮他确定这一天的最短路线请你帮他确定这一天的最短路线. .ABABCD（四）二次轴对称：（四）二次轴对称： 两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部13. .（四）二次轴对称：（四）二次轴对称： 两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部例例4 4变式变式1 1：已知：已知： MONMON和和 MONMON内两点内两点A A、B B。 求作：点求
8、作：点C C和点和点D,D,使得点使得点C C在在OMOM上，上， 点点D D在在ONON上，且上，且AC+CD+BD+ABAC+CD+BD+AB最短。最短。14.例例4 4变式变式2 2：如图，如图，OMCNOMCN是矩形的台球桌面，有是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于黑、白两球分别位于B B、A A两点的位置上，两点的位置上， 试问怎样撞击白球，使白球试问怎样撞击白球，使白球A A依次碰撞球台边依次碰撞球台边OMOM、ONON后，反弹击中黑球？后，反弹击中黑球？（四）二次轴对称：（四）二次轴对称： 两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部15. .AABBCDMON例4变式2：（四）二次轴对称：（四）二次轴对称： 两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部16.（2）把）把A，B在直线同侧的问题转化为在直线同侧的问题转化为 在直线的两侧，化折线为直线，在直线的两侧，化折线为直线， 将军饮马的实质：将军饮马的实质：（3）可利用）可利用“两点之间线段最短两点之间线段最短” 加以解决。加以解决。（1）求最短路线问题）求最短路线问题- 通过几何变换找对称图形。通过几何变换找对称图形。17.反思是进步的阶梯我的收获；我的疑惑；面对一个新的求线段最短问题时，我们可以通过怎样的途径去研究它？18.
