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1、3.高斯定理高斯定理一一 立体角定义立体角定义 Sds二. 通量SEnnES均匀场强场定义在物理空间上的函数场定义在物理空间上的函数n温度温度T 温度分布温度分布温度场（标量场）温度场（标量场）n流速流速v 流速分布流速分布流速场（矢量场）流速场（矢量场）n电荷产生的场具有什么性质？电荷产生的场具有什么性质？ q期望从不同的角度揭示电场的规律性期望从不同的角度揭示电场的规律性q通过与流速场类比找到用矢量场论来描述电场通过与流速场类比找到用矢量场论来描述电场流速场流速场n有源（或汇）、有旋有源（或汇）、有旋 、两者兼而有之、两者兼而有之n类比：类比：流线流线电力线电力线 流量流量电通量电通量 三
2、三 高斯定理高斯定理 通通过过任任意意闭闭合合曲曲面面的电通量的电通量Gauss面Gauss面上的场强，是所有电荷产生的场面内电量的代数和，与面外电荷无关证明：证明： 从特殊到一般从特殊到一般n 点电荷点电荷q被任意被任意球面球面包围包围 设设q 0，场具有球对称性场具有球对称性 n一个点电荷所产生的电场，在以点电荷为一个点电荷所产生的电场，在以点电荷为中心的任意球面的电通量等于中心的任意球面的电通量等于 点电荷点电荷q被被任意任意曲面曲面包围包围 n对整个闭合面对整个闭合面S有有 n包围一个点电荷的任意曲面上的电通量等于包围一个点电荷的任意曲面上的电通量等于n结果与电力平方反比律分不开结果与
3、电力平方反比律分不开 闭合曲面不包围点电荷闭合曲面不包围点电荷 n闭合曲面不包围点电荷闭合曲面不包围点电荷 ，dS与与dS所对的立体角所对的立体角 n则电通量也有则电通量也有 n对于闭合面对于闭合面S+S，总通量为总通量为 n结结论论：通通过过不不包包围围点点电电荷荷的的闭闭合合曲曲面面的的电通量为零电通量为零多个点电荷多个点电荷被任意闭合曲面包围被任意闭合曲面包围n设带电体系由设带电体系由n个点电荷组个点电荷组成成 ，其中，其中 k个在个在闭合面内闭合面内，n-k个在个在闭合面外闭合面外n由场强叠加原理，通过闭合由场强叠加原理，通过闭合面的总通量为面的总通量为 =0讨论：讨论： Gauss
4、定理说明定理说明 n闭合面内的电荷决定通过闭合面的电通量闭合面内的电荷决定通过闭合面的电通量, ,只要只要 S S内内电荷不为零电荷不为零 ，则通量不为零则通量不为零有源有源 q正电荷正电荷 喷泉形成的流速场喷泉形成的流速场 源源 q负电荷负电荷 有洞水池中的流速场有洞水池中的流速场汇汇n闭闭合合面面外外的的电电荷荷虽虽然然对对通通量量没没有有贡贡献献，但但并并不不意意味味着着不不影影响响闭闭合合面上的电场，高斯面上的场强是空间所有带电体所产生的面上的电场，高斯面上的场强是空间所有带电体所产生的 n高高斯斯定定理理是是静静电电场场的的一一条条重重要要的的定定理理，有有其其重重要要的的理理论论地
5、地位位，是是静静电电场场基基本本方方程程之之一一 ，它它是是由由库库仑仑定定律律导导出出的的， 反反映映了了电电力力平平方反比律方反比律 ，如果电力平方反比律不满足，则高斯定理也不成立。，如果电力平方反比律不满足，则高斯定理也不成立。 n但但高高斯斯定定理理只只给给出出了了源源和和通通量量的的关关系系，并并没没有有反反映映静静电电场场是是有有心心力力场场这这一一特特性性，它它只只反反映映静静电电场场性性质质的的一一个个侧侧面面, ,所所以以不不能能说说高高斯定理与库仑定律完全等价斯定理与库仑定律完全等价通过不包含电荷的任意闭合曲面S电通量恒为零电力线不会在没有电荷的地方中断,穿入S电力线必定从
6、其它地方穿出去七七 从从Gauss定理看定理看电场线电场线的性质的性质 n电场线疏的地方场强小，密的电场线疏的地方场强小，密的地方场强大地方场强大n电场线起始于正电荷或无穷电场线起始于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷远远，止于负电荷或无穷远一束电场线围成的管状区域叫电场管一束电场线围成的管状区域叫电场管电场管各截面的电通量相同电场管各截面的电通量相同 GaussGauss定理应用列举定理应用列举n定理反映了静电场的性质定理反映了静电场的性质有源场有源场 n提供求带电体周围的电场强度的方法提供求带电体周围的电场强度的方法 q球对称的电场球对称的电场q轴对称的电场轴对称的电场q无限大带电平面的电场
7、无限大带电平面的电场球对称的电场球对称的电场n例例题题6 6：求求均均匀匀带带正正电电球球壳壳内内外外的的场场强强，设设球球壳壳所所带带电电量为量为QQ，半径为半径为R Rn在球坐标下分析在球坐标下分析：n球球壳壳电电荷荷均均匀匀分分布布，围围绕绕任任一一直直径径都都是是旋旋转转不不变变场场强强分分布布也也不不变变，但但旋旋转转时时E和和E变变只只有有E0和和E0n只只有有径径向向分分量量Er不不为为零零，r相相同同Er相相同同场场呈呈球球对称分布对称分布n根据场的对称性做高斯面根据场的对称性做高斯面n求出通过求出通过Gauss面的通量面的通量 n结论：球壳内结论：球壳内E=0；球壳外球壳外
8、与点电荷场相同与点电荷场相同 例题例题7 均匀带电球体均匀带电球体n利用例题利用例题6的结果，球外一样的结果，球外一样n在球内任意取半径为在球内任意取半径为r的的Gauss面面 n注意计算注意计算rR时，高斯面内所包围时，高斯面内所包围的电量为的电量为 体电荷体电荷轴对称的电场轴对称的电场n例题例题8求求无限长均匀带无限长均匀带电棒电棒外的场强分布外的场强分布 q在柱坐标下分析在柱坐标下分析q作平面作平面1和和2n柱体对柱体对1镜像反射变换是不变的镜像反射变换是不变的场分布也不变场分布也不变n但此变换下但此变换下E分量反向，只有分量反向，只有E0n柱体对柱体对2镜像反射变换是不变的镜像反射变换
9、是不变的场分布也不变场分布也不变n但此变换下但此变换下Ez分量反向，只有分量反向，只有Ez0n剩下唯一不可能等于剩下唯一不可能等于0 0的分量只有的分量只有Ern无限长圆柱体具有沿无限长圆柱体具有沿z z方向的平移不变性方向的平移不变性n 等等r处处Er相等相等轴对称性轴对称性设棒上线电荷密度为设棒上线电荷密度为+ en作高斯面作高斯面以细棒为对称轴的圆柱（以细棒为对称轴的圆柱（l长）长）n求出通过求出通过Gauss面的通量面的通量 EdSE 是常数是常数无限大带电平面的电场无限大带电平面的电场n设带电板的面电荷密度为设带电板的面电荷密度为 +en对称性分析对称性分析q在直角坐标下分析在直角坐
10、标下分析q对对yz平面平面，镜像反射变换不镜像反射变换不变变,场也不变场也不变qEx=0q对对zx平面平面镜像反射变换不变，镜像反射变换不变，场也不变场也不变qEy=0q只有只有Ez不为零，不为零，无限大平面自身具有平无限大平面自身具有平移不变性，移不变性， Ez与与场点的场点的坐标无关坐标无关n结结论论：均均匀匀带带电电的的无无限限大大平平面面板板产产生生的的场场强强大大小小与场点到平面的距离无关与场点到平面的距离无关n图示图示c板间场强为何？板间场强为何？ES0？如图，一点电荷q位于立方体的A角上，则通过abcd面的E通量是多少。点电荷q位于立方体中 心，则通过每一侧面的通量都为总通量作7
11、个体积相同的立方体，使A点位于一个大立方体的正中。 所以通过abcd的通量为abcdA计算无限大均匀带电平板（厚度为d）的电场。xd讨论讨论： n 以上三例电荷分布分别具有球对称性、轴对称性、面以上三例电荷分布分别具有球对称性、轴对称性、面对称性，电荷分布的对称性决定了场的对称性。对称性，电荷分布的对称性决定了场的对称性。n用用 GaussGauss定理可以计算具有强对称性场的场强定理可以计算具有强对称性场的场强 q注意选取合适的注意选取合适的GaussGauss面面 nGaussGauss定理可以和场强叠加原理结合起来运用，计算定理可以和场强叠加原理结合起来运用，计算各种球对称性、轴对称性、面对称性的场。各种球对称性、轴对称性、面对称性的场。q上述三个例子的结论可以作为已知结论运用，例如上述三个例子的结论可以作为已知结论运用，例如 q 求两块无限大带电平面板的场分布求两块无限大带电平面板的场分布q 求均匀带电球体内外的场分布求均匀带电球体内外的场分布q 求均匀带电的无限长圆柱内外场分布求均匀带电的无限长圆柱内外场分布q整整体体不不具具有有对对称称性性，但但局局部部具具有有对对称称性性的的电电荷荷分分布布的的电电场场，可以分别求出场强再叠加可以分别求出场强再叠加
