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1、第三节 方向导数上一页上一页下一页下一页返回返回实例实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？地点？问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行向（即梯
2、度方向）爬行一、问题的提出上一页上一页下一页下一页返回返回 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某一方向沿某一方向的变化率问题的变化率问题二、方向导数的定义（如图）（如图）上一页上一页下一页下一页返回返回当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，是否存在？是否存在？上一页上一页下一页下一页返回返回记为记为上一页上一页下一页下一页返回返回证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为两边同除以两边同除以得到得到上一页上一页下一页下一页返回返回故有方向导数故有方向导数上一页上一页下一页下一页返回返回解解上一页上一页下一页下一页返回返回解解由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知上一页上
3、一页下一页下一页返回返回故故上一页上一页下一页下一页返回返回推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回解解令令故故方向余弦为方向余弦为上一页上一页下一页下一页返回返回故故上一页上一页下一页下一页返回返回三、梯度的概念上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回结论结论上一页上一页下一页下一页返回返回在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图等高线等高线梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量上一页上一页下一
4、页下一页返回返回等高线的画法等高线的画法播放播放上一页上一页下一页下一页返回返回例如例如,上一页上一页下一页下一页返回返回梯度与等高线的关系：梯度与等高线的关系：上一页上一页下一页下一页返回返回 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故上一页上一页下一页下一页返回返回1、方向导数的概念、方向导数的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）四、小结上一页上一页下一页下一页返回返回思考题思考题上一页上一页下一页下一页返回返回思考题解答思考题解答上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回练练 习习 题题上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回练习题答案练习题答案
