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1、5.2 5.2 第一类第一类换元法换元法 问题问题解决方法解决方法设置中间变量设置中间变量u.过程过程令令一、第一类换元法第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明凑凑出出定理定理1 1例例1 1 求求解解（一）（一）解解（二）（二）解解（三）（三）例例2 2 求求解解一般地一般地例例3 3 求求解解例例4 4 求求解解例例5 5 求求原式原式例例6 6 求求解解例例7 7 求求解解例例8 8 求求解解例例9 9 求求解解说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例例1010 求求解解解解（1）例例1111 求求例例1
2、111 求求解解（2）类似地可推出类似地可推出例例1212 求求解解例例1313 求求解解例例1414 求求解解5.5.4 4 第二类第二类换元法换元法 问题问题解决方法解决方法令令（应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元法则有换元公式则有换元公式定理定理2 2例例1515 求求解解 令令例例1616 求求解解 令令例例1717 求求解解令令令令故原式故原式方法方法(1)(1) 三角代换三角代换三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令方法方法(2)(2) 积分中为了化掉根
3、式除采用三角代积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用换外还可用双曲代换双曲代换.也可以化掉根式也可以化掉根式例例 中中, 令令化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不绝对，需根据被积函数的情况来定并不绝对，需根据被积函数的情况来定.方法方法(3)(3)例例1818 求求令令解解例例1919 求求解解 令令例例2020 求求解解令令（分母的阶较高）（分母的阶较高）当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换倒代换方法方法(4)(4)例例2121 求求令令解解 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） 例例2222 求求解解令令方法方法(5)(5)基基本本积积分分表表三、小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)思考题思考题求积分求积分思考题解答思考题解答
