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1、2 边缘分布边缘分布边缘分布函数边缘分布函数边缘分布律边缘分布律边缘概率密度边缘概率密度第三章 随机变量及其分布退 出前一页目 录一、边缘分布函数一、边缘分布函数边缘分布也称为边沿分布或边际分布边缘分布也称为边沿分布或边际分布第三章 随机变量及其分布2 边缘分布1）边缘分布的定义：）边缘分布的定义：退 出前一页后一页目 录2 2）已知联合分布函数求边缘分布函数）已知联合分布函数求边缘分布函数第三章 随机变量及其分布2 边缘分布退 出前一页后一页目 录的分布函数为的分布函数为则分量则分量 X( ( ) )xFX xXP = = + = =YxXP，( () ) + += =，xF的分布函数为的分
2、布函数为同理，分量同理，分量 Y( ( ) )yFY yYP = = yYXP + = =，( () )yF， + += =例例1第三章 随机变量及其分布2 边缘分布退 出前一页后一页目 录( () ) - -= =，xF0 - - + += =22arctanp pCxBA( () )yF， - -= =0 + + - -= =3arctan2yCBAp p第三章 随机变量及其分布2 边缘分布退 出前一页后一页目 录由以上三式可得，由以上三式可得，2212p pp pp p= = = =CBA的边缘分布函数为的边缘分布函数为X( ( ) )( () ) = =，xFxFX + + + +=
3、=+3arctan22arctan21lim2yxyp pp pp p + += =2arctan21xp pp p( () )( () ) + + - - ，xp pp p + + + += =3arctan22arctan21),(2yxyxFp p则则 第三章 随机变量及其分布2 边缘分布退 出前一页后一页目 录的边缘分布函数为的边缘分布函数为同理，同理， Y( ( ) )( () )yFyFY， = = + + + += =+3arctan22arctan21lim2yxxp pp pp p + += =3arctan21yp pp p( () )( () ) + + - - ，y二、
4、已知联合分布律求边缘分布律二、已知联合分布律求边缘分布律第三章 随机变量及其分布2 边缘分布退 出前一页后一页目 录的分布律：的分布律：现求随机变量现求随机变量 X iixXPp= = =. = = = =jjiyYxXP， = =jijp的分布律为：的分布律为：同理，随机变量同理，随机变量 Y jjyYPp= = =. = = = =ijiyYxXP， = =iijp第三章 随机变量及其分布2 边缘分布退 出前一页后一页目 录例例 2 2第三章 随机变量及其分布2 边缘分布退 出前一页后一页目 录( () )分布律分布律各自的边缘各自的边缘及及的联合分布律与的联合分布律与，试求试求，记为记为
5、中随机地取出一个数，中随机地取出一个数，到到再从再从，记为记为个数中随机取出一个，个数中随机取出一个，这这，从从YXYXYXX144321解：解：，的可能取值都是的可能取值都是与与4321YX，而且而且YX 时，时，当当ji jYiXPpij= = = =，时，由乘法公式，得时，由乘法公式，得当当ji jYiXPpij= = = =， iXjYPiXP= = = = =ii41141= = =第三章 随机变量及其分布2 边缘分布例例 2 2（续）（续）退 出前一页后一页目 录再由再由 = =jiji .pp = =iij. jpp及及( () )的边缘分布律为的边缘分布律为及及与与，可得可得Y
6、XYX例例3 掷一枚骰子，直到出现小于掷一枚骰子，直到出现小于5点为止。点为止。 X 表示最后一次掷出的点数，表示最后一次掷出的点数，Y 为掷骰子的次数。为掷骰子的次数。求：求：随机变量（随机变量（X,Y ) 的联合分布率及的联合分布率及 X、Y 的边缘分的边缘分 布率。布率。解：解：X 的可能取值为的可能取值为1，2，3，4，Y 的可能取值为的可能取值为1，2，3，(X,Y)的联合分布率为的联合分布率为第三章 随机变量及其分布2 边缘分布退 出前一页后一页目 录X 的边缘分布率为的边缘分布率为Y 的边缘分布率为的边缘分布率为第三章 随机变量及其分布例例3（续）（续）退 出前一页后一页目 录三
7、、已知联合密度函数求边缘密度函数三、已知联合密度函数求边缘密度函数第三章 随机变量及其分布2 边缘分布退 出前一页后一页目 录的边缘密度函数：的边缘密度函数：求随机变量求随机变量 X( ( ) )xfX( ( ) ) xXPxFX = =由由( () ) + += =，xF( () ) - -+ - - = =xdudyyuf，第三章 随机变量及其分布2 边缘分布退 出前一页后一页目 录同理，由同理，由( ( ) ) yYPyFY = =( () )yF， + += =( () ) - -+ - - = =ydvdxvxf，例例 4 4yoy=xy=x21D第三章 随机变量及其分布2 边缘分布
8、退 出前一页后一页目 录yoy=xy=x21xD第三章 随机变量及其分布2 边缘分布例例 4 4（续）（续）退 出前一页后一页目 录解：解：的面积为的面积为区域区域D = =xxdydxA21010323121 - -= =xx3121- -= =61= =( () )的联合密度函数为的联合密度函数为，所以，二维随机变量所以，二维随机变量YX( () )( () )( () ) = =DyxDyxyxf，06yoy=xy=x21 x第三章 随机变量及其分布2 边缘分布例例 4 4（续）（续）退 出前一页后一页目 录的边缘密度函数为的边缘密度函数为随机变量随机变量X时，时，当当10 x( ()
9、)( () )( () ) = =DyxDyxyxf，06( ( ) )( () ) + - -= =dyyxfxfX，( () )26xx - -= = = =xxdy26所以，所以，( ( ) )( () ) - -= =.0, 1062其它其它xxxxfXyo1x第三章 随机变量及其分布2 边缘分布例例 4 4（续）（续）退 出前一页后一页目 录的边缘密度函数为的边缘密度函数为同理，随机变量同理，随机变量 Y时，时，当当10 y( ( ) )( () ) + - -= =dxyxfyfY， = =yydx6( () )yy - -= = 6所以，所以，( ( ) )( () ) - -=
10、 =.0, 106其它其它yyyyfY例例 5 5第三章 随机变量及其分布2 边缘分布退 出前一页后一页目 录( () )的联合密度函数为的联合密度函数为，设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量YX( () ) + x( () ) + = =- -000xxxexfxX例例 5 5（续）（续）第三章 随机变量及其分布2 边缘分布退 出前一页后一页目 录时，时，当当0 y( () ) + = =- -000212yyeyyfyY例例 6 6第三章 随机变量及其分布2 边缘分布退 出前一页后一页目 录( () )( () )rNYX，设二维随机变量设二维随机变量222121s ss sm mm
11、m的边缘密度函数的边缘密度函数及及试求试求YX解：解：( () )的联合密度函数为的联合密度函数为， YX第三章 随机变量及其分布2 边缘分布退 出前一页后一页目 录( ( ) )( () ) + - -= =dyyxfxfX，第三章 随机变量及其分布2 边缘分布退 出前一页后一页目 录所以，所以，第三章 随机变量及其分布2 边缘分布退 出前一页后一页目 录结结 论论 1: 1:结结 论论 2: 2:第三章 随机变量及其分布2 边缘分布退 出前一页后一页目 录( () )( () ),222121rNYX，即若即若s ss sm mm m结结 论论 3: 3:第三章 随机变量及其分布2 边缘分
12、布说明：边缘分布可由联合分布唯一确定，反之不然，说明：边缘分布可由联合分布唯一确定，反之不然， 即：不能由边缘分布确定联合分布。即：不能由边缘分布确定联合分布。退 出前一页后一页目 录( () )( () )122212111rNYX，s ss sm mm m( () )( () )222212122rNYX，s ss sm mm m），），（其中（其中21rr ( () ) ( () )的分布不相同，的分布不相同，与与，则则2211:YXYX的分布相同，的分布相同，与与但是但是21XX的分布相同的分布相同与与21YY第三章 随机变量及其分布2 边缘分布小结：小结： 1 1 二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系：二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系： 边缘分布可由联合分布唯一确定，但不能由边边缘分布可由联合分布唯一确定，但不能由边 缘分布确定联合分布。缘分布确定联合分布。2 2 二维正态分布的性质。二维正态分布的性质。难点：难点：求边缘分布时如何确定积分区域及边缘求边缘分布时如何确定积分区域及边缘 密度不为零的范围。密度不为零的范围。退 出前一页后一页目 录
