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1、第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 第第3章章 MATLAB在高等数学中的运用在高等数学中的运用 3.1 矩阵分析矩阵分析3.2 多项式运算多项式运算 3.3 数据的分析与统计数据的分析与统计 3.4 函数分析与数值积分函数分析与数值积分 第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3.1 矩阵分析矩阵分析 1 1矢量范数和矩阵范数矢量范数和矩阵范数 矩阵范数是对矩阵的一种测度。矢量的p范数和矩阵A的p范数分别定为： 当p2时为常用的欧拉范数，普通p还可取l和。这在MATLAB中可利用norm函数实现，p缺省时为p=2。格式：nnorm(A)功能：计算矩阵A的最大奇特值，相当于n=ma
2、x(svd(A)。格式：nnorm(A，p)功能：norm函数可计算几种不同类型的矩阵范数，根据p的不同可得到不同的范数 第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 2 2矩阵求逆及行列式值矩阵求逆及行列式值 矩矩阵求逆函数求逆函数inv及行列式及行列式值函数函数det逆矩逆矩阵的定的定义：对于恣意于恣意阶 nn 方方阵A，假，假设能找到一个同能找到一个同阶的方的方阵V，使得，使得满足：足：A*V=I。其中。其中I为n阶的的单位矩位矩阵eye(n)。那么。那么V就是就是A的逆矩的逆矩阵。数学符号表示。数学符号表示为：V=A-1。逆。逆矩矩阵V存在的条件是存在的条件是A的行列式不等于的行列式不等
3、于0。格式：格式：V=inv(A)功能：前往方功能：前往方阵A的逆矩的逆矩阵V。格式：格式：X=det(A)功能：功能：计算方算方阵A的行列式的行列式值。 伪逆矩逆矩阵函数函数pinv伪逆矩逆矩阵的的MATLAB定定义：从数学意：从数学意义上上讲，当矩，当矩阵A为非方非方阵时，其矩，其矩阵的逆的逆是不存在的。在是不存在的。在MATLAB中，中，为了求了求线性方程性方程组的需求，把的需求，把inv(A*A)*A的运算的运算定定义为伪逆函数逆函数pinv，这样对非方非方阵，利用，利用伪逆函数逆函数pinv可以求得矩可以求得矩阵的的伪逆，逆，伪逆在一定程度上代表着矩逆在一定程度上代表着矩阵的逆。的逆
4、。格式：格式：C=pinv(A)功能：功能：计算非方算非方阵A的的伪逆矩逆矩阵。第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3 3线性代数方程求解线性代数方程求解 写成矩阵方式可表示为：AXB 或 XAB。其中系数矩阵A的阶数为mn。在MATLAB中，引入矩阵除法求解。 (1)求解方程AX=B 格式：X=AB 条件：矩阵A与矩阵B的行数必需相等。 (2)求解方程XA=B 格式： X=B/A 条件：矩阵A与矩阵B的列数必需相等。普通线性方程组的第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 4矩阵的分解 (1)三角(LU)分解函数lu 所谓三角解就是将一个方阵表示成两个根本三角阵的乘积(A=LU，其
5、中一个为下三角矩阵L，另一个为上三角形矩阵 U， 因 此 矩 阵 的 三 角 分 解 又 叫 LU分 解 或 叫 LR分 解 。 矩 阵 分解的两个矩阵分别可表示为： 格式一：格式一：L,U=lu(A) 功能：前往一个上三角矩阵功能：前往一个上三角矩阵U和一个置换下三角矩阵和一个置换下三角矩阵L(即下三角矩阵与置换矩阵即下三角矩阵与置换矩阵的乘积的乘积)，满足，满足A=L*U。格式二：格式二：L,U,P=lu(A)功能：前往上三角矩阵功能：前往上三角矩阵U，真正下三角矩阵，真正下三角矩阵L，及一个置换矩阵，及一个置换矩阵P(用来表示陈列规用来表示陈列规那么的矩阵那么的矩阵)，满足，满足L*U=
6、P*A；假设；假设P为单位矩阵，满足为单位矩阵，满足A=L*U。第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 (2)正交正交(QR)分解函数分解函数 将矩将矩阵A分解分解为一个正交矩一个正交矩阵与另一个矩与另一个矩阵的乘的乘积称称为矩矩阵A的正交的正交分解。分解。格式一：格式一：Q, R=qr(A)功能：功能：产生与生与A同同维的上三角矩的上三角矩阵R和一个和一个实正交矩正交矩阵或复或复归一化矩一化矩阵Q，满足：足：A=Q*R，Q*Q=I。格式二：格式二：Q,R,E=qr(A)功能：功能：产生一个置生一个置换矩矩阵E，一个上三角矩，一个上三角矩阵R(其其对角角线元素降序元素降序陈列列)和一个和一
7、个归一化矩一化矩阵Q，满足足A*E=Q*R；第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 5 5奇特值分解奇特值分解 矩阵A的奇特值和相应的一对奇特矢量u、v满足：同样利用奇特值构成对角阵，相应的奇特矢量作为列构成两个正交矩阵U、V，那么有：其中AT表示转置矩阵。由于U和V正交，因此可得奇特值分解：格式一：U,S,V=svd(x)功能：前往3个矩阵，使得X=U*S*V。其中S为与X一样维数的矩阵，且其对角元素为非负递减。格式二：S=svd(A)功能：前往奇特值组成的向量。第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 6 6矩阵的特征值分析矩阵的特征值分析 矩阵A的特征值 和特征矢量 ，满足：以特征
8、值构成对角阵 ，相应的特征矢量作为列构成矩阵V，那么有：假设V为非奇特，那么上式就变成了特征值分解：格式一：d=eig(A)功能：前往方阵A的全部特征值所构成的向量。格式二：V,D=eig(A)功能：前往矩阵V和D。其中对角阵D的对角元素为A的特征值，V的列向量是相应的特征向量，使得A*V=V*D。第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 7 7矩阵的幂次运算矩阵的幂次运算: Ap: Ap 在MATLAB中，矩阵的幂次运算是指以下两种情况： 1、矩阵为底数，指数是标量的运算操作； 2、底数是标量，矩阵为指数的运算操作。 两种情况都要求矩阵是方阵，否那么，将显示出错信息。(1) 矩阵的正整数幂
9、 假设A是一个方阵，p是一个正整数，那么幂次表示A本人乘p次。(2) 矩阵的负数幂 假设A是一个非奇特方阵，p是一个正整数，那么A(p)表示inv(A)本人乘p次。 (3) 矩阵的分数幂假设A是一个方阵，p取分数，它的结果取决于矩阵的特征值的分布。(4) 矩阵的元素幂、按矩阵元素的幂 利用运算符“A.p实现矩阵的元素幂或按矩阵元素的幂运算。 第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 8 8矩阵构造方式的提取与变换矩阵构造方式的提取与变换 (1) 矩矩阵左右翻左右翻转函数函数fliplr( )格式：格式：X=fliplr(A)(2) 矩矩阵上下翻上下翻转函数函数flipud格式：格式：X=fl
10、ipud(A)(3) 矩矩阵阶数重数重组函数函数reshape格式一：格式一：X=reshape(A,n,m)功功能能：将将矩矩阵A中中的的一一切切元元素素按按列列的的次次序序重重组成成nm阶矩矩阵X，当当A中中没没有有mn个个元素元素时会会显示出示出错信息。信息。格式二格式二 ：X=reshape(A,m,n,p,.) 或或 X=reshape(A,m,n,p,.)功能：从功能：从A中构成多中构成多维阵列列(mnp.)。第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 (4) 矩阵整体反时针旋转函数矩阵整体反时针旋转函数rot90( )格式一：格式一：X=rot90(A)功能：将矩阵按反时针旋转功
11、能：将矩阵按反时针旋转90o。格式二：格式二：X=rot90(A, k)功能：将矩阵按反时针旋转功能：将矩阵按反时针旋转k*90o，其中，其中k应为整数。应为整数。(5) 对角矩阵和矩阵的对角化函数对角矩阵和矩阵的对角化函数diag( )格式一：格式一：X=diag(A,k)功功能能：当当A为为n元元向向量量时时，可可得得n+abs(k)阶阶的的方方阵阵X，其其A的的元元素素处处于于第第k条条对对角角线线上上；k=0表表示示主主对对角角线线，k0表表示示在在主主对对角角线线之之上上，k0表示主表示主对角角线之上，之上，k0表示主表示主对角角线之上，之上，k0表示主表示主对角角线以下。以下。格式
12、二：格式二：X=triu(A)功能：得到矩功能：得到矩阵A的右上三角的右上三角阵。(8) 利用利用“：将矩：将矩阵元素按列取出排成一列元素按列取出排成一列方法：方法：X=A(:)第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3.2 多项式运算3.2.1 3.2.1 多项式表示及其四那么运算多项式表示及其四那么运算1MATLAB的多项式表示的多项式表示 对多项式：对多项式：可表示成行向量：p=1,0,2, 5。 用其系数的行向量p=an, an-1, ,a1, a0来表示。留意：假设 x的某次幂的系数为零，这个零必需列入系数向量中。例如一个一元3次多项式： 2多项式的加减运算多项式的加减运算格式：
13、格式：A=B+C3多项式相乘运算多项式相乘运算格式：格式：w=conv(u,v)功能：前往功能：前往u和和v两向量的卷积，也就是两向量的卷积，也就是u和和v代表的两多项式的乘积。代表的两多项式的乘积。4多项式相除多项式相除格式：格式：q , r=deconv(u , v)功能：给出商多项式功能：给出商多项式q和余数多项式和余数多项式r ，u为被除多项式为被除多项式 第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 1多项式求导函数多项式求导函数polyder格式一：格式一：k=polyder(p)功能：前往多项式功能：前往多项式p的一阶导数。的一阶导数。格式二：格式二：k=polyder(u,v)功
14、功 能：前往多项式能：前往多项式u与与v乘积的导数。乘积的导数。格式三：格式三：q,d=polyer(u,v)功功 能：前往多项式商能：前往多项式商u/v的导数的导数, 前往的格式为：前往的格式为：q为分子为分子, d为分母。为分母。2多项式的根多项式的根求解多项式的根，即求解多项式的根，即p(x)=0的解。的解。格式：格式：r=roots(p)功能：前往多项式功能：前往多项式p(x)的根。留意，的根。留意，MATLAB按惯例规定，多项式是行向量，按惯例规定，多项式是行向量，根是列向量。根是列向量。3.2.2 3.2.2 多项式求导、求根和求值多项式求导、求根和求值第 3 章 MATLAB在高
15、等数学中的应用 3多项式求值函数多项式求值函数polyval( )利用函数利用函数polyval可以求得多项式在某一点的值。可以求得多项式在某一点的值。格式：格式：y=polyval(p,x)功能：前往多项式功能：前往多项式p在在x处的值。其中处的值。其中x可以是复数，也可以是数组。可以是复数，也可以是数组。当多项式的变量是矩阵时，构成的矩阵多项式可以利用当多项式的变量是矩阵时，构成的矩阵多项式可以利用polyvalm函数求值。函数求值。格式：格式：Y=polyvalm(p,X)功能：前往矩阵多项式功能：前往矩阵多项式p在在X处的值。处的值。4部分分式展开函数部分分式展开函数residue(
16、)格式一：格式一：r,p,k=residue(b,a)功能：把功能：把b(s)/a(s)展开成：展开成：其中r代表余数数组，p代表极点数组，ks代表部分分式展开的常数项。当分母多项式的阶次数高于分子多项式的阶次数时ks=0格式二：b, a=residue(r, p, k)功能：格式一的逆作用。第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3.3.3 3.3.3 多项式拟合与多项式插值多项式拟合与多项式插值1 1多项式拟合函数多项式拟合函数polyfit( )polyfit( )格式：格式：p=polyfit(x,y,n)p=polyfit(x,y,n)功能：利用知的数据向量功能：利用知的数据向量
17、x x和和y y所确定的数据点，采用最小所确定的数据点，采用最小二乘法构造出二乘法构造出n n阶多项式去逼近知的离散数据，实现多项式阶多项式去逼近知的离散数据，实现多项式曲线的拟合。其中曲线的拟合。其中p p是求出的多项式系数，是求出的多项式系数，n n阶多项式应该有阶多项式应该有n+1n+1个系数，故个系数，故p p的长度为的长度为n+1n+1。2多多项式插式插值插插值和和拟合的不同点在于：合的不同点在于：插插值函数通常是分段的，人函数通常是分段的，人们关关怀的不是函数的表的不是函数的表达式，而是插达式，而是插值出的数据点；出的数据点；插插值函数函数应经过给定的数据点。定的数据点。(1)一一
18、维插插值函数函数interpl( )格式：格式：yiinterpl (x, y, xi, method)功能：功能：为给定的数据定的数据对(x,y)以及以及x坐坐标上的插上的插值范范围向量向量xi，用指定所运用的插，用指定所运用的插值方法方法method实现插插值。yi是插是插值后的后的对应数据点集的数据点集的y坐坐标。插。插值的方法的方法method有以下有以下6种可供种可供选择： nearest(最最临近插近插值法法)、linear(线性插性插值)、 spline(三次三次样条条插插值)、cubic(立方插立方插值)、pchip(三次三次Hermite插插值)、v5cubic。 第 3 章
19、 MATLAB在高等数学中的应用 2二二维插插值函数函数格式：格式：zi=griddata(x,y,z,xi,yi,method)功能：非等距插功能：非等距插值。知的元素。知的元素值由由3个向量来描画：个向量来描画：x、y和和z。函数前往。函数前往值为一矩一矩阵zi，其元素的，其元素的值由由x、y和和z确定的二元函数插确定的二元函数插值得到。得到。method可可为：linear(默默许值)、cubic 、nearest 、v4 。格式：格式：zi=interp2(x, y, z, xi, yi, method)功功能能：单调理理点点插插值。知知的的元元素素值由由3个个向向量量来来描描画画：x
20、、y和和z。其其中中，x、y是是知知数数据据组并并且且大大小小一一样，z是是相相对应的的知知点点上上的的函函数数值；xi、yi是是用用于于插插值的的矢矢量量； zi是是根根据据相相应的的插插值方方法法并并且且与与(xi, yi)对应的的插插值结果果。插插值方方法法method：linear(默默许值)、cubic 、nearest 、spline 。第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 (3) 高高维插插值和交互式和交互式样条插条插值高高维插插值函数：三函数：三维插插值及三及三维以上的插以上的插值称称为高高维插插值。用用于于实现高高维插插值的的函函数数有有：interp3(三三维插插值函
21、函数数)、interpn(n维插插值函函数数)、ndgrid(n维数数据据网网格格)。其其调用用格格式式与与interp2函函数数很很类似似，这里里就不再重述了，就不再重述了，详细调用格式用格式读者可利用者可利用help来得。来得。交互式交互式样条插条插值函数函数在在MATLAB 6.0及及以以上上版版本本中中，样条条工工具具箱箱新新添添加加了了交交互互式式插插值样条条函数函数splinetool。该函数以函数以对话框的方式框的方式为用用户提供了插提供了插值过程。程。格式一：格式一：splinetool功功能能：用用于于生生成成各各种种样条条曲曲线，这里里几几乎乎包包括括一一切切生生成成样条条
22、曲曲线方方法法。在它的初始菜在它的初始菜单中提供了各种数据，用中提供了各种数据，用户可以可以选择一种生成的一种生成的样条曲条曲线。格式二：格式二：splinetool(x,y)功能：用功能：用户输入数入数组x、y，并在用，并在用户图形界面下生成形界面下生成样条曲条曲线。 第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3.3 数据分析与统计3.3.1 3.3.1 数据根本操作数据根本操作1 1求最大求最大值函数函数maxmax格式一：格式一：xMxMmax(x)max(x)功功能能：假假设x x是是向向量量，前前往往x x中中最最大大值元元素素；假假设x x是是矩矩阵，那那么么将将矩矩阵每每列列作
23、作为处置置向向量量，前前往往一一个个行行向向量量，其其元元素素为矩矩阵每每列列中中的的最最大大元元素素；假假设x x为多多维数数组，那那么么沿沿第第一一个个非非单元素元素维进展展处置，求得各向量的最大置，求得各向量的最大值。格式二：格式二：xM=max(x, y)xM=max(x, y)功功能能：前前往往一一个个与与x x和和y y一一样大大小小的的数数组，其其元元素素取取x x或或y y中中最大的一个。最大的一个。格式三：格式三：xM=max(xxM=max(x， ，dim)dim)功功能能：前前往往数数组( (矩矩阵)x)x由由标量量dimdim所所指指定定的的维数数( (或或行行) )中
24、中的的最大最大值。格式四：格式四：xMxM，I Imax()max()功能：前往最大功能：前往最大值同同时，前往一个下，前往一个下标向量。向量。假假设输入入数数据据x x为复复数数，maxmax函函数数前前往往复复数数最最大大模模：max(abs(x)max(abs(x)。第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 2求最小值函数求最小值函数min min函函数数的的调调用用格格式式与与max函函数数的的调调用用格格式式一一样样，只只是是功功能能与与max函函数数相相反反，所所得结果为最小值。假设输入数据得结果为最小值。假设输入数据x为复数，为复数，min函数前往复数最小模：函数前往复数最小模
25、：min(abs(x)3求平均值函数求平均值函数mean格式：格式：Mmean(x)功功能能：假假设设x为为向向量量，那那么么前前往往向向量量x的的平平均均值值；假假设设x为为矩矩阵阵，那那么么将将矩矩阵阵每每列列当当作作向向量量处处置置，前前往往一一个个平平均均值值行行向向量量；假假设设A为为多多维维数数组组，那那么么沿沿第第一一个个非非单单元元素维进展处置，前往一个平均值数组。素维进展处置，前往一个平均值数组。4. 求中间值函数求中间值函数median 格式：格式：M=median(x)功功能能：假假设设x为为向向量量，那那么么前前往往向向量量x的的中中间间值值；假假设设x为为矩矩阵阵，那
26、那么么将将矩矩阵阵每每列列当当作作为为处处置置向向量量，前前往往一一个个中中间间值值行行向向量量； 假假设设A为为多多维维数数组组，那那么么沿沿第第一一个个非单元素维进展处置，前往一个中间值数组。非单元素维进展处置，前往一个中间值数组。5求元素和函数求元素和函数sum格式：格式：s=sum(x)功功能能：假假设设x为为向向量量，那那么么前前往往向向量量x的的元元素素和和；假假设设x为为矩矩阵阵，那那么么将将矩矩阵阵每每列列当当作作向向量量处处置置，前前往往一一个个元元素素分分别别为为各各列列和和的的行行向向量量；假假设设A为为多多维维数数组组，那那么沿第一个非单元素维进展计算，前往一个元素和数
27、组。么沿第一个非单元素维进展计算，前往一个元素和数组。第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 6求规范偏向函数求规范偏向函数std与方差函数与方差函数var对于向量对于向量 有两种规范差定义方法：其中 为样本的元素个数。格式一：格式一：s=std(x)功功能能：x为为向向量量，那那么么前前往往用用s1计计算算的的规规范范偏偏向向s。假假设设x是是服服从从正正态态分分布布的的随随机机样样本本，那那么么s2为为其其方方差差的的最最正正确确无无偏偏估估计计；假假设设x为为矩矩阵阵，那那么么前前往往矩矩阵阵每每列列规规范范差差的的行行向向量量；假假设设x为为多多维维数数组组，那那么么沿沿x第第一一
28、个个非非单单元元素素维维计计算算元元素素的的规规范偏向。范偏向。格式二：格式二：s=std(x, flag)功功能能：假假设设flag=0，与与s=std(x)一一样样 ；假假设设 flag =1，那那么么前前往往用用s2计计算算的的规规范范差。差。第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 7 7排序函数排序函数sortsort格式一：格式一：A=sort(x)A=sort(x)功功能能：沿沿数数组组的的不不同同维维，以以升升序序陈陈列列元元素素。元元素素可可以以为为实实数数、复复数数和和字字符符串串。假假设设x x是是一一个个复复数数，其其元元素素按按其其模模的的大大小小进进展展陈陈列列，
29、假假设设模模相相等等，那那么么按按其其在在区区间间-pi, pipi, pi上的相角进展排序。上的相角进展排序。格式二：格式二：A ,index=sort(x)A ,index=sort(x)功能：同时前往一个下标数组功能：同时前往一个下标数组indexindex。8元素乘积函数元素乘积函数prod格式一：格式一：A=prod(x)功功能能：假假设设x为为向向量量，那那么么计计算算其其一一切切元元素素的的乘乘积积；假假设设x为为矩矩阵阵，那那么么每每列列作作为为向向量量处处置置，回回一一个个每每列列元元素素积积的的行行向向量量；假假设设x为为多多维维数数组组，那那么么沿沿第第一一个个非非单单元
30、元素素维进展处置，前往元素积数组。维进展处置，前往元素积数组。格式二：格式二：A=prod(x,dim) 功能：沿功能：沿dim指定维，前往元素积。指定维，前往元素积。第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 9列元素累乘积函数列元素累乘积函数cumprod( )格式一：格式一：A=cumprod(x)功功能能：沿沿数数组组不不同同维维，前前往往累累乘乘积积，前前往往值值A与与x大大小小一一样样，与与元元素素全全乘乘积积不不同同，它它只只将将x中中相相应应元元素素与与其其之之前前的的一一切切元元素素相相乘乘。当当x是是向向量量，前前往往x的的元元素素累累计计积积向向量量；假假设设x为为矩矩阵
31、阵，前前往往一一个个与与x大大小小一一样样的的每每列列累累乘乘积积的的矩矩阵阵；假假设设x为为多多维维数数组组那么沿第一个非单元素维计算累乘积。那么沿第一个非单元素维计算累乘积。格式二：格式二：A=cumprod(x, dim)功功 能：前往沿能：前往沿dim指足的维的元素的累乘积。指足的维的元素的累乘积。10累计和累计和cumsum函数函数格式一：格式一：A=cumsum(x)功功 能能：沿沿数数组组不不同同维维，前前往往累累乘乘和和。当当x是是向向量量，前前往往x的的元元素素累累计计和和；假假设设x为为短短阵阵，前前往往一一个个与与x大大小小一一样样按按列列累累计计和和的的矩矩阵阵；假假设
32、设x为为多多维维数数组组那那么么沿沿第第一一个非单元素维计算累计和。个非单元素维计算累计和。格式二：格式二：A=cumsum(x,dim)功功 能：沿能：沿dim指定的维计算元素的累计和。指定的维计算元素的累计和。第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3.3.2 3.3.2 协方差与相关系数协方差与相关系数1求协方差函数求协方差函数cov( )协方差函数定义为：协方差函数定义为：其中E表示数学期望； 格式一：格式一：C=cov(x)功功能能：假假设设x为为向向量量，那那么么前前往往向向量量元元素素的的方方差差；假假设设x为为矩矩阵阵，每每列列产产生生一一个个方方差差 向向 量量 ， co
33、v(x) 是是 一一 个个 协协 方方 差差 矩矩 阵阵 ， diag(cov(x)为为 每每 列列 的的 方方 差差 向向 量量 ，sqrt(diag(cov(x)是一个规范差向量。是一个规范差向量。格式二：格式二：C=cov(x, y)功能：前往功能：前往x、y的协方差。的协方差。x、y为长度一样的列向量。也可用为长度一样的列向量。也可用C=cov(x,y)。第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 格式二：格式二：S=corrcoef(x,y)功能：前往列向量功能：前往列向量x和和y的相关系数，也可用的相关系数，也可用 S=corrcoef(x y)。2求相关系数函数求相关系数函数co
34、rrcoef( )格式一：格式一：S=corrcoef(x)功能：根据输入矩阵功能：根据输入矩阵x，前往一个相关系数矩阵，相关系数，前往一个相关系数矩阵，相关系数S的矩阵与协的矩阵与协方差矩阵方差矩阵 C=cov(x)有关，由下式确定：有关，由下式确定：第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3.3.3 3.3.3 有限差分有限差分1 1求元素之差函数求元素之差函数diff( ) diff( ) 格式一：格式一：A=diff(x)A=diff(x)功功能能：计算算x x中中相相邻元元素素之之间的的差差值或或近近似似导数数。假假设x x为向向量量，那那么么前前往往一一个个比比x x少少一一个
35、个元元素素的的向向量量，其其元元素素值为x(2)-x(2)-x(1)x(1)，x(3)-x(2)x(3)-x(2)，x(n)-x(n-1)x(n)-x(n-1)；假假设x x为矩矩阵，那那么么前前往往一个列一个列间差差值的矩的矩阵：x(2:n,:) - x(1:n-1,:)x(2:n,:) - x(1:n-1,:)。格式二：格式二：A=diff(x, n)A=diff(x, n)功功能能：运运用用diffdiff函函数数递归 n n 次次，计算算第第n n阶差差值。例例如如，diff(x,2) = diff(diff(x)diff(x,2) = diff(diff(x)。格式三：格式三：A=d
36、iff(x, n, dim)A=diff(x, n, dim)功功能能：沿沿dimdim指指定定的的维数数计算算第第n n阶差差值。假假设n n大大于于或或等等于于dimdim维的的长度，那么前往空数度，那么前往空数组。第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 2求数值梯度函数求数值梯度函数gradient( ) 两变量函数F(x, y)的梯度定义为 对N个变量函数 F(x,y,z, ) 其梯度为 梯度可看作指向F添加方向的向量集。 格式一：格式一：Fx=gradient(F)功能：功能：F为一向量，前往为一向量，前往F的一维数值梯度，的一维数值梯度，Fx与与 一致，表示x方向的差分。 格式
37、二：格式二：Fx, Fy=gradient(F)功能：功能：F为一矩阵，前往二维数值梯度的为一矩阵，前往二维数值梯度的x和和y分量。分量。 Fx与与 表示x(列)方向的差分 Fy与 一致，表示y(行)方向的差分。每个方向点间间隔设为1。第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3.4 函数分析与数值积分3.4.1 3.4.1 函数在函数在MATLABMATLAB中的表示与函数的绘图中的表示与函数的绘图1函数的表示与计算函数的表示与计算2函数的绘制函数的绘制(1) 单变量函数量函数绘画命令画命令fplot fplot( )函数的功能能确保在函数的功能能确保在输出的出的图形中表示出一切的奇特点。
38、形中表示出一切的奇特点。格式一：格式一：fplot(fun, xmin, xmax)功能：功能：变量在量在xmin, xmax范范围，绘制指定函数制指定函数fun的的图形。形。格式二：格式二：fplot(fun, xmin, xmax, tol)功功能能：在在xmin, xmax范范围，以以给定定的的精精度度tol1，绘制制指指定定函函数数fun的的图形形，tol的缺省的缺省值为2e-3。第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 (2) 简易的函数绘图命令简易的函数绘图命令ezplot( )格式一：格式一：ezplot(f, a,b)功能：当功能：当f=f(x)时，绘制函数时，绘制函数f=f
39、(x)在在a x b范围函数曲线，并且所绘图上还自动进展范围函数曲线，并且所绘图上还自动进展标注；当只输入函数文件名，而没有规定自变量的范围，其默许的自变量范围为标注；当只输入函数文件名，而没有规定自变量的范围，其默许的自变量范围为当只输入函数文件名，而没有规定自变量的范围，其默许的自变量范围为、格式二：格式二：ezplot(f, xmin,xmax,ymin,ymax) 功能：在功能：在xmin x xmax、ymin y ymax范围绘制范围绘制f(x,y) = 0的曲线。的曲线。格式三：格式三：ezplot(x,y, tmin,tmax)功能：在功能：在tmin t tmax范围绘制范围
40、绘制x = x(t)和和y = y(t)的曲线。范围缺省是变量的曲线。范围缺省是变量t的范围为的范围为0 t 2*pi。当f = f(x,y)时，那么绘制a x b 、 a y b范围内f(x,y) = 0的函数曲线；第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3.4.23.4.2函数的极点、零点分析函数的极点、零点分析 1 1极极值分析函数分析函数(1) (1) 单变量函数求极小量函数求极小值函数函数fminbnd( )fminbnd( )格式：格式：x=fminbnd (fun,x1,x2)x=fminbnd (fun,x1,x2)功能：前往函数功能：前往函数fun(x)fun(x)在区在
41、区间x1, x2x1, x2内的部分极小内的部分极小值。(2) (2) 多多变量函数求极小量函数求极小值函数函数fminsearch( )fminsearch( )fminsearchfminsearch函数与函数与fminbndfminbnd函数函数类似，但是它面向多似，但是它面向多变量函数。量函数。格式：格式：x=fminsearch(fun,x0)x=fminsearch(fun,x0)功能：前往功能：前往x0x0附近，函数附近，函数funfun的部分极小化向量的部分极小化向量x x。x0x0可以是可以是标量、向量或矩量、向量或矩阵。2单变量函数的零点分析量函数的零点分析格式：格式：x=
42、fzero(funname,x0)功功能能：在在x0附附近近，寻觅函函数数funname的的零零点点。funnamce为一一个个函函数数名名的的字字符符串串，函函数数为单变量量实值函函数数。Funnamce可可以以为函函数数句句柄柄，也也可可以以是是inline对象象。函函数数前前往往值的的附附近近函函数数变号号。假假设x为两两元元素素向向量量 , 那那么么以以为x0为区区间，f(x0(1)的的符符号号与与f(x0(2)的的符符号号相相反反，否否那那么么前前往往NaN。假假设找找到到Inf、NaN，或或复复数数值，那那么么停停顿在在查找找区区间内的搜索。内的搜索。第 3 章 MATLAB在高等
43、数学中的应用 3.4.33.4.3函数的数值积分与微分函数的数值积分与微分1函数的数函数的数值积分分(1) 低低阶数数值积分函数分函数quad格式一：格式一：q=quad(fun,a,b)功功能能：采采用用自自顺应的的Simpson积分分方方法法，前前往往函函数数fun 在在上上限限 a 和和下下限限 b之之间的的数数值积分分。当当给定定一一个个输入入值向向量量，fun 必必需需前前往往一一个个输出出向向量量。函函数数fun可可以以是是函函数名、函数句柄或字符串。数名、函数句柄或字符串。格式二：格式二：q=quad(fud,a,b,tol)功能：按指定功能：按指定绝对误差差tol前往数前往数值
44、积分分值, tol 缺省缺省值为 1e-6。(2) 高阶数值积分函数高阶数值积分函数quadl 第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 (3) 梯形面积法的积分函数梯形面积法的积分函数trapz( )格式一：格式一：T=trapz(Y)功功能能：以以单单位位间间隔隔，采采用用计计算算假假设设干干梯梯形形面面积积的的和和来来计计算算某某函函数数的的近近似似积积分分。假假设设Y为为向向量量，计计算算Y的的积积分分；假假设设Y是是矩矩阵阵，得得一一个个每每列列积积分分的的行行向向量量；假假设设Y为为多多维数组，那么沿第一个非单元素维计算。维数组，那么沿第一个非单元素维计算。格式二：格式二：T=t
45、rapz(X,Y)功功能能：用用梯梯形形积积分分法法，根根据据X计计算算Y的的积积分分。假假设设X为为矢矢量量，那那么么Y必必需需是是同同大大小小的的矢矢量量；假假设设X是是一一列列向向量量，并并且且数数组组Y第第一一非非单单元元素素维维长长度度为为length(X)，那那么么在在该该维中计算。维中计算。(4) 双重积分函数双重积分函数dblquadMATLAB提供了一个求双重积分的函数提供了一个求双重积分的函数dblquad，其根本调用格式为：，其根本调用格式为：格式：格式：Q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)功功能能：按按指指定定精精度度tol，对对
46、指指定定函函数数 f(x, y)在在xmin, xmax范范围围和和ymin, ymax范范围进展双重积分。精度围进展双重积分。精度tol缺省时默许精度为缺省时默许精度为1e-6。 第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 (5) 不定积分的计算不定积分的计算 对于函数不定积分的计算，可以采用定积分函数来求不定积分的数值解。方法是：对于函数不定积分的计算，可以采用定积分函数来求不定积分的数值解。方法是：固定积分下限，用固定积分下限，用for循环，把积分上限逐渐添加即可实现。循环，把积分上限逐渐添加即可实现。2函数的数值微分函数的数值微分(1)经过计算数组中元素间的差分函数diff来粗略计算微
47、分函数。 (2)对数据拟合后再利用polyder函数微分 为了实现对数值较准确的微分，最好先用最小二乘曲线拟合这种数据，然后对所得到的多项式进展微分。 第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 3.4.4 3.4.4 常微分方程的数值求解常微分方程的数值求解1初始初始值的常微分方程求解的常微分方程求解格式：格式：T,Y = ode45(odefun,tspan,y0)功功能能：前前往往由由文文件件odefun所所定定义的的具具有有初初始始条条件件为y0、时间t变化化范范围为t0, tfinal 的的微微分分方方程程y = f(t,y)的的解解，其其中中tspan = t0,tfinal。向向
48、量量T中中的的每每一一列列对应着矩着矩阵Y的每一列。的每一列。 任何高阶常微分方程都可以变换成一阶微分方程，即表示成右函数方式，这是利用龙格-库塔法求解微分方程的前提。 第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 2边境条件的常微分方程求解边境条件的常微分方程求解对于如下的微分方程： 用于边境条件的常微分方程求解问题: 函数bvp4c格式：sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit)其中odefun为常微分方程函数，bcfun为边境条件函数，solinit为求解的初始值。输出sol是一个构造，它有4个属性。sil.xbvp4v选择的网格节点sil.y 网格点sil.x处y(x)的近似值sil.yp网格点sil.x处y(x)的近似值sil.parameters未知参数的值。假设存在未知参数，那么求解函数会自动求得。第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用 MATLAB提供了dpepe函数来求解该问题的数值解。其根本调用格式为：sol = pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan)其中有t0ttf ，ax0，那么必需a0，求满足初始条件 u(x, t0)=u0(x)边境条件如下的解：3偏微分方程的求解偏微分方程的求解 思索如下的偏微分方程：思索如下的偏微分方程：
