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1、量纲分析模型 一、单位与量纲一、单位与量纲1 1、单位、单位 数学建模的目的是解决实际问题，而实际问题中的量都有数学建模的目的是解决实际问题，而实际问题中的量都有相应的单位。数学中纯粹的数在实际问题中不具有明确的含义。相应的单位。数学中纯粹的数在实际问题中不具有明确的含义。如在实际问题中谈某个长度量，在关注其数值的同时还必须关如在实际问题中谈某个长度量，在关注其数值的同时还必须关注其单位，否则，我们便没有把这个量完全弄清楚。但实际问注其单位，否则，我们便没有把这个量完全弄清楚。但实际问题中的诸多量并非全是相互独立的，其中一些量能起到基本量题中的诸多量并非全是相互独立的，其中一些量能起到基本量的
2、作用，其它量是这些基本量的符合某种规律的组合，如速度的作用，其它量是这些基本量的符合某种规律的组合，如速度是长度与时间这两个基本量的一种规定的组合。是长度与时间这两个基本量的一种规定的组合。如果规定了基本量的单位，其它量的单位也随之确定。如果规定了基本量的单位，其它量的单位也随之确定。2.10 量纲分析与无量纲化量纲分析与无量纲化定义定义：一组物理量，若彼此相互独立，且其它物一组物理量，若彼此相互独立，且其它物理量均是这些物理量的合乎某种规律的组合，理量均是这些物理量的合乎某种规律的组合，则称这些物理量为基本物理量。则称这些物理量为基本物理量。2 2、基本物理量、基本物理量导出量：由基本量通过
3、自然规律导出的量。例如：导出量：由基本量通过自然规律导出的量。例如：速度、加速度、力、速度、加速度、力、类似于向量空间中的基的概念，一方面基中的向类似于向量空间中的基的概念，一方面基中的向类似于向量空间中的基的概念，一方面基中的向类似于向量空间中的基的概念，一方面基中的向量线性无关（独立）；一方面向量空间中的任何量线性无关（独立）；一方面向量空间中的任何量线性无关（独立）；一方面向量空间中的任何量线性无关（独立）；一方面向量空间中的任何向量均可由其线性表示（导出量）。向量均可由其线性表示（导出量）。向量均可由其线性表示（导出量）。向量均可由其线性表示（导出量）。定定义义：一一物物理理量量与与基
4、基本本物物理理量量之之间间的的规规定定关关系系，称称为为该该量量的的量量纲纲。这这种种规规定定关关系系常常以以以以基基基基本本本本物物物物理理理理量量量量的的的的幂幂幂幂指指指指乘乘乘乘积积积积形形形形式式式式表表表表示示示示，因因此此也也称称为为量量纲纲积积。即即任任一一物物理理量量Q的量纲皆可表示成的量纲皆可表示成Q=LM TIJN其中，其中，L，M，T，I，J，N是基本物理量的量纲；是基本物理量的量纲；称量纲指数均为称量纲指数均为0 0的物理量为无量纲量。的物理量为无量纲量。基本物理量 名称 量纲 单位 符号 长度 L 米 m 质量 M 千克 kg 时间 T 秒 s电流强度 I 安培 A
5、 温度 开尔文 K 光强 J 坎德拉 cd物质的量 N 摩尔 mol, , , , , , , , , , , , 称为量纲指数。称为量纲指数。物物理理量量的的量量纲纲长度长度 l 的量纲记的量纲记 L=l质量质量 m的量纲记的量纲记 M=m时间时间 t 的量纲记的量纲记 T=t动力学中动力学中基本量纲基本量纲 L, M, T速度速度 v 的量纲的量纲 v=LT-1导出量纲导出量纲加速度加速度 a 的量纲的量纲 a=LT-2力力 f 的量纲的量纲 f=LMT-2引力常数引力常数 k 的量纲的量纲 k对无量纲量对无量纲量 ， =1(=L0M0T0)=fl2m-2=L3M-1T-24 4、量纲与单
6、位的关系、量纲与单位的关系1 1）、量纲和单位都在反映物理量的特征，反映该物理量与基）、量纲和单位都在反映物理量的特征，反映该物理量与基本物理量间的关系。本物理量间的关系。2 2）、任何物理量的量纲是唯一的，但单位可以有多个。）、任何物理量的量纲是唯一的，但单位可以有多个。3 3）、有的量可以没有量纲，但它可能有单位。如角度）、有的量可以没有量纲，但它可能有单位。如角度4 4）、物理量的量纲及其相互关系反映了各量之间的内在属）、物理量的量纲及其相互关系反映了各量之间的内在属性，这是量纲关系能用于建立数学模型的理论基础。性，这是量纲关系能用于建立数学模型的理论基础。量纲齐次法则量纲齐次法则 用数
7、学表达式表示一个物理定律时，等式两边用数学表达式表示一个物理定律时，等式两边的量纲必须是一致的（或者都是无量纲量）。的量纲必须是一致的（或者都是无量纲量）。例如例如, , 牛顿第二定律牛顿第二定律 F=ma, F=MLT-2, ma=MLT-22.10.1 量纲分析建模和量纲分析建模和PiPi定理定理 量纲分析量纲分析是在物理领域中建立数学模型的方法，利是在物理领域中建立数学模型的方法，利用物理量的量纲提供的信息，根据量纲齐次法则确用物理量的量纲提供的信息，根据量纲齐次法则确定物理量之间的关系。定物理量之间的关系。问题的解是依据适当的物理基本量的量纲问题的解是依据适当的物理基本量的量纲问题的解
8、是依据适当的物理基本量的量纲问题的解是依据适当的物理基本量的量纲齐次方程给出的。齐次方程给出的。齐次方程给出的。齐次方程给出的。首首首首先先先先找找找找出出出出所所所所有有有有与与与与问问问问题题题题的的的的解解解解（因因因因变变变变物物物物理理理理量量量量）有关的物理量和基本量；有关的物理量和基本量；有关的物理量和基本量；有关的物理量和基本量；其其其其次次次次寻寻寻寻求求求求一一一一个个个个适适适适当当当当的的的的无无无无量量量量纲纲纲纲齐齐齐齐次次次次方方方方程程程程来来来来确确确确定定定定待待待待定定定定方方方方程程程程的的的的形形形形式式式式（即即即即变变变变量量量量是是是是独独独独立
9、立立立的的的的无无无无量量量量纲积的方程纲积的方程纲积的方程纲积的方程）；）；）；）；最后把因变物理量解出来。最后把因变物理量解出来。最后把因变物理量解出来。最后把因变物理量解出来。量纲分析在实际问题中的应用量纲分析在实际问题中的应用假设假设任任务务量纲齐次原则量纲齐次原则等式两端的量纲一致等式两端的量纲一致例：单摆运动例：单摆运动lmgm求摆动周期求摆动周期 t 的表达式的表达式设物理量设物理量 t, m, l, g 之间之间有关系式有关系式 1, 2, 3 为待定系数，为待定系数， 为无量纲量为无量纲量 (1)的量纲表达式的量纲表达式对比对比公式中的系数是无量纲的，实际上是与摆角有关的，当
10、摆角不大于15度时，近似等于2派。对对 x,y,z的两组量测值的两组量测值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2, p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )为什么假设这种形式为什么假设这种形式?设设p= f(x,y,z)x,y,z的量纲单的量纲单位缩小位缩小a,b,c倍倍p= f(x,y,z)的形式为的形式为量纲齐量纲齐次原则次原则单摆运动单摆运动单摆运动规律和物理量单摆运动规律和物理量 t, m, l, g 有关，这有关，这个规律可以表示为左边的一般表达式：个规律可以表示为左边的一般表达式：y1y4 为待定常数为待定常数, 为无量纲量为无量纲量齐齐次次线线
11、性性方方程程组组的的基基础础解解系系只只含含一一个个向向量量，说说明明以以t t，m m，l l，g g构构成成的的完完备备无无量量纲纲幂幂积组只有一个无量纲幂积积组只有一个无量纲幂积。设设 f(q1, q2, , qm) = 0 ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价, F未定未定.Pi定理定理 (Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, Xn 是基本是基本量纲量纲, n m, q1, q2, qm 是与是与寻求问题
12、有关的物理寻求问题有关的物理量。量。量纲矩阵记作量纲矩阵记作线性齐次方程组线性齐次方程组有有 m-r 个基本解，记作个基本解，记作为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量, 且且则则构成一个完构成一个完备无量纲组。备无量纲组。由由单单摆摆运运动动求求周周期期的的方方法法我我们们知知道道方方程程f(q1, q2, , qm) = 0与与一一个个无无量量纲纲方方程程等等价价，并并且且此此方方程程的的变变量量是是所所有有由由q1, q2, , qm构构成成的的独独立立的的无无量量纲纲积积（称称为为完完备备无无量纲组）。量纲组）。q1, q2, qm量纲可表示量纲可表示为为由由q1, q2
13、, , qm构构成成的的无无量量纲纲积积与与此此线线性性齐齐次次方方程程组组的的解解之之间间存存在在一一一一对对应应关关系系，所所以以求求适适当当的的一一个个完完备备无无量量纲纲积积组组的的问问题题转转化化为为求求线线性性方程组的一个方程组的一个适当的适当的基础解系。基础解系。思思考考：Pi定定理理的的实实际际意意义是什么？义是什么？方程变量的个数方程变量的个数由由m个减少到了个减少到了mr个。个。g = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2量纲分析示例：量纲分析示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力航船阻力航船阻力 f航船速度航船速
14、度v, 船体尺寸船体尺寸l, 浸没面积浸没面积 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g .m=6, n=3Ay=0 有有m-r=3个基本解个基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有有m-r个基本解个基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rm-r 个无量纲量个无量纲量量纲分析示例：量纲分析示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力 F( 1, 2 , 3 ) = 0与与 (g,l, ,v,s,f) = 0 等等价价为得到阻力为得到阻力 f 的显式表达式的显式表达式F=0 未定未定F( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1,
15、 q2, , qm) =0 等价等价量纲分析示例：量纲分析示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力此此适适当当指指的的是是：要要保保证证所所求求的的物物理理量量f只只出出现现在在一一个个无无量量纲纲积积中中，只只有有这这样样我我们们才才能能得得到到f的的显显示示表表达达式式，即求出即求出f。适适当当的的基基础础解解系系对对应应着着适适当当的的一一组组完完备备无无量量纲纲积积组组。此此适适当当指指的是什么？的是什么？量纲分析法的评注量纲分析法的评注 物理量的选取物理量的选取 基本量纲的选取基本量纲的选取 基本解的构造基本解的构造 结果的局限性结果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至关重要的中
16、包括哪些物理量是至关重要的.基本量纲个数基本量纲个数n; 选哪些基本量纲选哪些基本量纲.有有目的地构造目的地构造 Ay=0 的基本解的基本解. 方法的普适性方法的普适性函数函数F和无量纲量未定和无量纲量未定.不需要特定的专业知识不需要特定的专业知识.2.10.2 量纲分析在物理模拟中的应用量纲分析在物理模拟中的应用 例例: 航船阻力的物理模拟航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力通过航船模型确定原型船所受阻力 模型船的参数模型船的参数(均已知均已知可控的可控的)可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力 原型船的参数原型船的参数(f1未知，其它已知未知，
17、其它已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同假如我们诸如海浪拍打巨轮的效应，以及潜艇的热损耗和在水下环境中受到的阻力，或作用在飞机机翼上的风力绕有兴趣。通常，在实验室里重复实际的现象是不可能的。我们需要在模拟的环境中研究经过缩减的模型来精确预测物理系统的性能。问题是我们怎样在实验室中调节实验比例，从怎样在实验室中调节实验比例，从而确保对模型观测到的效应与实际的效应相互而确保对模型观测到的效应与实际的效应相互一致。一致。只只要要按按一一定定尺尺寸寸比比例例造造模模型型船船，控控制制速速度度v，使使用用同同一一种种流流体体。这这样样就就可可通通过量测过量测 f，知道知道 f1的大小的大小 物理模拟
18、物理模拟如果2.10.2 量纲分析在物理模拟中的应用量纲分析在物理模拟中的应用 例例: 航船阻力的物理模拟航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力通过航船模型确定原型船所受阻力 模型船的参数模型船的参数(均已知均已知)可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力 原型船的参数原型船的参数(f1未知，其他已知未知，其他已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同 按一定尺寸比例造模型船，按一定尺寸比例造模型船，量测量测 f，可算出可算出 f1 物理模拟物理模拟2.10.3 无量纲化无量纲化例：火箭发射例：火箭发射m1m2xrv0g星球表面竖直发射火箭。初速星球表面
19、竖直发射火箭。初速v, 星星球半径球半径r, 星球表面重力加速度星球表面重力加速度g.研究火箭高度研究火箭高度 x 随时间随时间 t 的变化规律的变化规律.t=0 时时 x=0, 火箭质量火箭质量m1, 星球质量星球质量m2牛顿第二定律，万有引力定律牛顿第二定律，万有引力定律3个独立参数个独立参数用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数x=L, t=T, r=L, v=LT-1, g=LT-2变量变量 x,t 和独立参数和独立参数 r,v,g 的的量纲量纲用用参数参数r,v,g的组合的组合, ,分别分别构造与构造与x,t具有相同具有相同量纲量纲的的xc, tc （特征尺度）
20、特征尺度）无量纲变量无量纲变量如利用新变量利用新变量将被简化将被简化令令 xc, tc的不同构造的不同构造1）令 为无量纲量为无量纲量用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数的不同简化结果的不同简化结果3）令 为无量纲量为无量纲量2）令 为无量纲量为无量纲量用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数1) 2) 3) 的共同点的共同点只含只含1个参数个参数无量纲量无量纲量 解解1) 2) 3) 的重要差别的重要差别考察无量纲量考察无量纲量在在1) 2) 3) 中能否忽略以中能否忽略以 为因子的项？为因子的项？1)忽略忽略 项项无解无解不能忽略不能忽略 项项无
21、量纲无量纲化方法化方法2)3)忽略忽略 项项不能忽略不能忽略 项项忽略忽略 项项1) 2) 3) 的重要差别的重要差别无量纲无量纲化方法化方法火箭发射过程火箭发射过程中引力中引力m1g不变不变 即即 x+r r原原问问题题可以忽略可以忽略 项项是原问题是原问题的近似解的近似解1) 2) 3) 的重要差别的重要差别无量纲化方法无量纲化方法为什么为什么3)能忽略能忽略 项，得到原问题近似解，而项，得到原问题近似解，而1) 2)不能不能?1）令）令2）令）令3）令）令火箭到达最高点时间为火箭到达最高点时间为v/g, 高度为高度为v2/2g,大体上具有单位尺度大体上具有单位尺度项可以忽略项可以忽略项不
22、能忽略项不能忽略无量纲化方法无量纲化方法 选择特征尺度的一般讨论见：选择特征尺度的一般讨论见：林家翘著林家翘著自然科学中确定性问题的应用数学自然科学中确定性问题的应用数学无无 量量 纲纲 化化 无量纲化无量纲化是研究物理问题常用的数学方法是研究物理问题常用的数学方法. 选择选择特征尺度特征尺度主要依赖于物理知识和经验主要依赖于物理知识和经验. 恰当地选择特征尺度可以减少独立参数恰当地选择特征尺度可以减少独立参数个数，还可以辅助确定舍弃哪些次要因素个数，还可以辅助确定舍弃哪些次要因素.思考题：第思考题：第57页第页第15、16、18。保持量纲协调例1：描述单摆运动的周期 问题：质量为m的小球系在
23、长度 为 l的线的一端, 铅垂悬挂。小 球稍稍偏离平衡位置后将在重 力的作用下做往复的周期运动。 分析小球摆动周期的规律。 xlm假设： 1. 忽略空气阻力； 2. 忽略可能的磨擦力； 3. 平面运动，忽略地球自转； 4. 忽略摆线的质量和变形。一：量纲分析法实例一：量纲分析法实例分析建模 10. 列出有关的物理量 运动周期 t，摆线长 l，摆球质量 m，重力加速度 g，振幅 . 20. 写出量纲 t=T，l=L，m=M，g=LT-2，=1. 30. 写出规律 F(t, l, m, g, )= 0. 40. 写出规律中加项 的形式 =t 1 l 2 m 3 g 4 5 50. 计算 的量纲 =
24、 T1L2M3( LT-2)4 = T1-24L2 + 4M 3 60. 应用量纲齐次原理 由 = 1, 可得关于i (i 1, , 5)的方程组 1 - 24 = 0 2 + 4 = 0 3 = 0 5 任意 70. 解方程组解空间的维数是二维。对自由变量(4， 5)选取基底(1, 0)和(0, 1)。关于 1, 2, 3 求解方程组可得基础解系 80. 求 将方程的解代入加项 的表达式，可得 1 = t2 l-1 g = t2 g / l ， 2 = . 90. 建模 单摆运动的规律应为 f (1, 2) = 0， 解出 1 可得 1 = k1(2) ，即 t2 g / l = k1()
25、， 100. 检验 周期与 质量 m m=390g m=237gl = 276cm 3.327s 3.350sl = 226cm 3.058s 3.044s 周期与振幅 (l=276cm, m=390g) (0) 8.34 13.18 18.17 23.31 28.71 33.92 39.99 46.62 k() 6.35 6.35 6.354 6.354 6.388 6.388 6.471 6.524 150 时, k( ) 2 。 k() 与 有关。 1. 模型与量纲 模型描述的是实际问题的内蕴的特征。 量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。模型所描述的规律应该独立于量纲的影响
26、机理模型的深入探讨应该排除量纲的影响因此机理模型需要无量纲化。使用无量纲量来描述客观规律。二. 模型的无量纲化 2. 模型无量纲化举例 例1. 单摆的运动：建模描述单摆运动的规律 假设：同前。 变量、参量：同前。 坐标系: (x，y)，(r, ) 平衡关系： 受力物体运动的加速度与其质量的乘积等于它所受的外力。 外力：重力 mg，张力 T。 模型注意到摆球的坐标的表达式，则有第一个方程描述了摆球沿摆弧的切线方向运动的情况，是量纲齐次的。 对它进行无量纲化。 变量的无量纲化 令 称之为无量纲时间代入模型可得选择变换因子为 则有 无量纲模型的分析 1. 换算因子 w0:令T0为单摆的周期，则 w0
27、 为角频率以2为时间单位时摆动的频率数。 2. 特征时间 tc,称tc=1/w0=T0/2 为特征时间。以2为时间单位时，摆动一次所需的时间3.无量纲时间 = t/tc。是以特征时间为单位的时间计量。 例2. 抛射问题：从地球表面以速度 v 竖直向上发射火箭。讨论火箭发射的高度随时间变化的规律。假设： 1. 地球是球体。 2. 火箭升空只需克服地球的引力。 3. 火箭在地球的表面附近在引力作用下将具有自由下落的加速度 g。平衡关系：牛顿定律，万有引力定律 火箭升空后由于地球吸引力的作而减速运动用。 变量、参量时间：t，火箭的高度：y(t), 地球半径：r, 初速度：v，重力加速度：g，火箭质量
28、：m1,地球质量：m2.模型 m1y= - k m1m2/(y+r)2。由假设3, y = 0 时, y= - g。故有 g = k m2/r2. y= - r2 g / (y+r)2, y(0) = 0, y(0) = v. 模型的无量纲化 将模型中的变量变换为无量纲变量 令 tc，yc 分别为具有时间量纲和长度量纲的量。则 t*= t / tc，y*= y / yc 就成为无量纲的时间和长度。注意到模型就可以化为 令 tc2g / yc = 1, vtc/ yc = 1, 则有 tc = v / g, yc=v2/g分别称 tc和 yc为特征时间和特征尺度模型可以化简为 y*=-(Ay*+
29、1)-2, y*(0)=0, y*(0)=1, 其中 A=v2/rg 这时模型是简单的，而且其中所有的量都是无量纲的。 无量纲化模型的分析 1. 模型的化简 地球的半径 r = 6370千米， r g = 62426000米2/秒2 火箭的速度 故，近似地有 A = 0，从而有 y*= - 1，y*(0)=0，y*(0)=1。有解 y* = - t2* / 2 + t*，y(t) = - g t2 / 2 + v t还原到原模型为 y=-g，y(0)=0, y(0)=v。刚好是由于高度 ，近似取 y=0 得到的。 2. 特征时间和特征距离 不难看出，t c= v / g 给出了对于 较小的 v，火箭在定常的引力作用下达到最高点的时间yc / 2 = v2 / 2g 是火箭所能达到的最高距离常数 tc，yc是抛射问题的两个内在的特征指标。称之为特征时间和特征距离。 当以特征时间和特征距离为单位来度量变量时抛射体的运动规律是最简单的而且是最本质的，并且是与物理量的量纲无关。
