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1、利用向量法求二面角利用向量法求二面角利用向量法求二面角利用向量法求二面角一、平面的法向量与二面角的关系一、平面的法向量与二面角的关系平面的法向量与二面角的关系平面的法向量与二面角的关系()()若若PD=ADPD=AD，求二面角，求二面角A-PB-CA-PB-C的余弦值。的余弦值。zxPCBADy建系建系找量：找量：点的坐标点的坐标向量坐标向量坐标解：解：如图，以如图，以D D为坐标原点，为坐标原点，建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系D-D-xyzxyz， 设设AD=1AD=1，则则设平面设平面PABPAB的法向量为的法向量为 ，则，则设平面设平面PBCPBC的法向量为的法向量为 ，则，则二面
2、角二面角A-PB-CA-PB-C的平面角为钝角，的平面角为钝角，故二面角故二面角A-PB-CA-PB-C的余弦值为的余弦值为计算：计算：法向量、夹角法向量、夹角作答：作答：观察图形、定值观察图形、定值1 1分分2 2分分4 4分分1 1分分1 1：正方体：正方体ABEF-DCEFABEF-DCEF中中, M,N, M,N分别为分别为AC,BFAC,BF的中点的中点( (如图如图),),求平面求平面MNAMNA与平面与平面MNBMNB所成角的余弦值所成角的余弦值. .三、变式练习三、变式练习解：设正方体棱长为解：设正方体棱长为1.1.以以B B为坐标原点，为坐标原点，BABA，BEBE，BCBC
3、所在直线分别为所在直线分别为x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴建立空间直角轴建立空间直角坐标系坐标系B-xyzB-xyz，则，则A(1A(1，0 0，0)0)，B(0B(0，0 0，0)0)设平面设平面AMNAMN的法向量的法向量n1 1(x(x，y y，z)z)令令x x1 1，解得，解得y y1 1，z z1 1，所以所以n1 1(1(1，1 1，1)1)同理可求得平面同理可求得平面BMNBMN的一个法向量的一个法向量n2 2(1(1，1 1，1)1)所以所以 coscosn1 1，n2 2= =故所求两平面所成角的余弦值为故所求两平面所成角的余弦值为四、例题精讲四、例题精讲：恰当建系，
4、求二面角：恰当建系，求二面角O4 4分分Ox xy yz z建系建系找量：找量：点的坐标点的坐标向量坐标向量坐标计算：计算：法向量、夹角法向量、夹角2 2分分2 2分分1 1分分计算：计算：法向量、夹角法向量、夹角作答：作答：观察图形、定值观察图形、定值2 2分分1 1分分如图所示，四棱锥如图所示，四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD为正方为正方形，形，PDPD平面平面ABCDABCD，PDPDABAB2 2，E E，F F，G G分别分别为为PCPC，PDPD，BCBC的中点的中点(1)(1)求证：求证：PAEF.PAEF.(2)(2)求二面角求二面角D-FG-ED
5、-FG-E的余弦值的余弦值变式练习变式练习2 2【解析解析】以以D D为坐标原点为坐标原点, ,建立如图所示的建立如图所示的空间直角坐标系空间直角坐标系D-xyz,D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),ED-xyz,D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1), F(0,0,1),G(-2,1,0)(1)(-1,0,1), F(0,0,1),G(-2,1,0)(1)证明：由于证明：由于(0(0，2 2，2)2)，(1(1，0 0，0)0)，则，则 1 10 00 02 2( (2)2)0 00 0，所以所以PA
6、EF.PAEF.(2)(2)易知易知 (0(0，0 0，1)1)， (1(1，0 0，0)0)， ( (2 2，1 1，1)1)，设平面设平面DFGDFG的法向量的法向量m m(x(x1 1，y y1 1，z z1 1) )，令令x x1 11 1，得，得m m(1(1，2 2，0)0)是平面是平面DFGDFG的的一个法向量一个法向量设平面设平面EFGEFG的法向量的法向量n n(x(x2 2，y y2 2，z z2 2) )，同理可得同理可得n n(0(0，1 1，1)1)是平面是平面EFGEFG的一个法的一个法向量向量因为因为coscosm m，n n设二面角设二面角D-FG-ED-FG-
7、E的平面角为的平面角为，由图可知，由图可知m m，n n，所以所以cos cos 所以二面角所以二面角D-FG-ED-FG-E的余弦值为的余弦值为 . .解（解（I I）连接）连接BDBD交交ACAC于点于点O,O,连结连结EOEO。又又E E为为PDPD的中点，的中点， EOPB EOPB。 ABCDABCD为矩形，为矩形， O O为为BDBD的中点。的中点。O O4 4分分五五：（课堂延展）（课堂延展）已知二面角，恰当建系解决问题已知二面角，恰当建系解决问题设面设面ACEACE的法向量为的法向量为 取面取面DAEDAE的法向量的法向量如图，以如图，以A A为坐标原点为坐标原点建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系D-D-xyzxyz，建系建系找量：找量：点的坐标点的坐标向量坐标向量坐标计算：计算：法向量法向量夹角夹角1 1分分2 2分分2 2分分利用二面角大小利用二面角大小 求边长求边长1 1分分2 2分分六、课堂小结六、课堂小结1、向量法求二面角的步骤、向量法求二面角的步骤建系、找量、计算、作答建系、找量、计算、作答数形结合思想数形结合思想2 2、数学思想：、数学思想： 恰当建系，结合向量知识准确标出点的坐标是关键恰当建系，结合向量知识准确标出点的坐标是关键方程的思想方程的思想化归与转化的思想化归与转化的思想z zx xy y七、课堂作业七、课堂作业
